2023학년도 대학수학능력시험 수학 기출문제 홀수형의 문제와 풀이를 정리한 자료입니다. 오류가 있는 풀이나 문제는 아래의 기출문제 파일과 EBS 해설을 참고해 주세요.
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2023학년도 수학 수능 기출문제 풀이 해설
공통과목
공통과목 5지선다형
1. $(\dfrac{4}{2^{\sqrt2}})^{2+\sqrt2}$의 값은? [2점]
① $\dfrac14$ ② $\dfrac12$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $4$
풀이
$4=2^2$이고 지수법칙에 의하여 $\dfrac{4}{2^{\sqrt2}}=2^{2-\sqrt2}$이다.
$\begin{aligned}\left(\dfrac{4}{2^{\sqrt2}}\right)^{2+\sqrt2}&=(2^{2-\sqrt2})^{2+\sqrt2}\\&=2^{(2-\sqrt2)(2+\sqrt2)}\\&=2^{4-2}=2^2=4\end{aligned}$
정답: ⑤ $4$
2. $\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-2}+3x}{x+5}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$x\to\infty$에서는 $x>0$이므로 분자와 분모를 $x$로 나눌 수 있다.
$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^2-2}+3x}{x+5}&=\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{1-\dfrac2{x^2}}+3}{1+\dfrac5x}\\&=\dfrac{1+3}{1+0}=4\end{aligned}$
정답: ④ $4$
3. 공비가 양수인 등비수열 $\{a_n\}$이 $a_2+a_4=30$, $a_4+a_6=\dfrac{15}{2}$를 만족시킬 때, $a_1$의 값은? [3점]
① $48$ ② $56$ ③ $64$ ④ $72$ ⑤ $80$
풀이
공비를 $r$ ($r>0$)이라 하면 $a_4+a_6=r^2(a_2+a_4)$이므로 $30r^2=\dfrac{15}{2}$이다.
$r^2=\dfrac14$이고 $r>0$이므로 $r=\dfrac12$이다.
$\begin{aligned}a_2+a_4&=a_1r+a_1r^3=30\\a_1\left(\dfrac12+\dfrac18\right)&=30\\a_1&=30\times\dfrac85=48\end{aligned}$
정답: ① $48$
4. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를
$g(x)=x^2f(x)$
라 하자. $f(2)=1$, $f'(2)=3$일 때, $g'(2)$의 값은? [3점]
① $12$ ② $14$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$
풀이
곱의 미분법에 의해 $g'(x)=2xf(x)+x^2f'(x)$이다.
$g'(2)=4f(2)+4f'(2)=4\times1+4\times3=16$이다.
정답: ③ $16$
5. $\tan\theta<0$이고 $\cos\left(\dfrac\pi2+\theta\right)=\dfrac{\sqrt5}{5}$일 때, $\cos\theta$의 값은? [3점]
① $-\dfrac{2\sqrt5}{5}$ ② $-\dfrac{\sqrt5}{5}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{\sqrt5}{5}$ ⑤ $\dfrac{2\sqrt5}{5}$
풀이
$\cos\left(\dfrac\pi2+\theta\right)=-\sin\theta$이므로 $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt5}{5}$이다.
$\tan\theta<0$, $\sin\theta<0$이므로 $\cos\theta>0$이다.
$\begin{aligned}\cos^2\theta&=1-\sin^2\theta=1-\left(-\dfrac{\sqrt5}{5}\right)^2=\dfrac45\\\cos\theta&=\dfrac{2\sqrt5}{5}\end{aligned}$
정답: ⑤ $\dfrac{2\sqrt5}{5}$
6. 함수 $f(x)=2x^3-9x^2+ax+5$는 $x=1$에서 극대이고, $x=b$에서 극소이다. $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [3점]
① $12$ ② $14$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$
풀이
$f'(x)=6x^2-18x+a$이다. $x=1$에서 극대이므로 $f'(1)=6-18+a=0$, 즉 $a=12$이다.
$f'(x)=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$이다.
$x<1$에서 $f'(x)>0$, $1<x<2$에서 $f'(x)<0$, $x>2$에서 $f'(x)>0$이므로 $x=1$에서 극대, $x=2$에서 극소이다.
$b=2$이므로 $a+b=12+2=14$이다.
정답: ② $14$
7. 모든 항이 양수이고 첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{a_n\}$이 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{15}\dfrac1{\sqrt{a_k}+\sqrt{a_{k+1}}}=2$를 만족시킬 때, $a_4$의 값은? [3점]
① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$
풀이
첫째항과 공차를 양수 $a$로 놓으면 $a_k=ka$, $a_{k+1}=(k+1)a$이다.
$\dfrac1{\sqrt{ka}+\sqrt{(k+1)a}}=\dfrac{\sqrt{(k+1)a}-\sqrt{ka}}a$로 유리화한다.
$\begin{aligned}2&=\dfrac1a\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{15}\left(\sqrt{(k+1)a}-\sqrt{ka}\right)\\&=\dfrac{\sqrt{16a}-\sqrt a}{a}=\dfrac3{\sqrt a}\end{aligned}$
$\sqrt a=\dfrac32$, $a=\dfrac94$이므로 $a_4=4a=9$이다.
정답: ④ $9$
8. 점 $(0,4)$에서 곡선 $y=x^3-x+2$에 그은 접선의 $x$절편은? [3점]
① $-\dfrac12$ ② $-1$ ③ $-\dfrac32$ ④ $-2$ ⑤ $-\dfrac52$
풀이
접점을 $(t,t^3-t+2)$라 하면 미분계수는 $3t^2-1$이다.
접선의 방정식은 $y-(t^3-t+2)=(3t^2-1)(x-t)$이고, $(0,4)$를 지나므로 $4-(t^3-t+2)=(3t^2-1)(-t)$이다.
정리하면 $2+2t^3=0$이므로 $t=-1$이다.
$t=-1$에서 접선의 기울기는 $2$, 접점은 $(-1,2)$이므로 $y-2=2(x+1)$, 즉 $y=2x+4$이다.
$y=0$일 때 $x=-2$이므로 $x$절편은 $-2$이다.
정답: ④ $-2$
9. 함수
$f(x)=a-\sqrt3\tan2x$
가 닫힌구간 $\left[-\dfrac\pi6,b\right]$에서 최댓값 $7$, 최솟값 $3$을 가질 때, $a\times b$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수이다.) [4점]
① $\dfrac\pi2$ ② $\dfrac{5\pi}{12}$ ③ $\dfrac\pi3$ ④ $\dfrac\pi4$ ⑤ $\dfrac\pi6$
풀이
$\tan2x$의 주기는 $\dfrac\pi2$이고 양 끝점에서 최댓값과 최솟값이 존재하므로 구간에 점근선이 없어야 한다. 따라서 $-\dfrac\pi6<b<\dfrac\pi4$이다.
$\left[-\dfrac\pi6,b\right]$에서 $f(x)$는 감소하므로 최댓값은 $f\left(-\dfrac\pi6\right)=7$이다.
$a-\sqrt3\tan\left(-\dfrac\pi3\right)=a+3=7$에서 $a=4$이다.
최솟값은 $f(b)=3$이므로 $4-\sqrt3\tan2b=3$, 즉 $\tan2b=\dfrac{\sqrt3}{3}$이다.
$-\dfrac\pi3<2b<\dfrac\pi2$이므로 $2b=\dfrac\pi6$, $b=\dfrac\pi{12}$이다.
$a\times b=4\times\dfrac\pi{12}=\dfrac\pi3$이다.
정답: ③ $\dfrac\pi3$
10. 두 곡선 $y=x^3+x^2$, $y=-x^2+k$와 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 두 곡선 $y=x^3+x^2$, $y=-x^2+k$와 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 하자. $A=B$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $4<k<5$) [4점]
① $\dfrac{25}6$ ② $\dfrac{13}3$ ③ $\dfrac92$ ④ $\dfrac{14}3$ ⑤ $\dfrac{29}6$
풀이
두 곡선의 높이 차는 $x^3+2x^2-k$이다. 함수 $D(x)=x^3+2x^2-k$는 $x\ge0$에서 증가하고 $D(0)=-k<0$, $D(2)=16-k>0$이므로 $(0,2)$에서 두 곡선은 정확히 한 번 만난다.
교점의 $x$좌표를 $c$ ($0<c<2$)라 하면 $A=\displaystyle\int\nolimits_0^c(-D(x))\,dx$, $B=\displaystyle\int\nolimits_c^2D(x)\,dx$이다.
$A=B$는 $\displaystyle\int\nolimits_0^2D(x)\,dx=0$과 동치이다.
$\begin{aligned}0&=\displaystyle\int\nolimits_0^2(x^3+2x^2-k)\,dx\\&=\left[\dfrac{x^4}4+\dfrac{2x^3}3-kx\right]_0^2\\&=4+\dfrac{16}3-2k=\dfrac{28}3-2k\end{aligned}$
따라서 $k=\dfrac{14}3$이며 $4<k<5$를 만족한다.
정답: ④ $\dfrac{14}3$
11. 그림과 같이 사각형 ABCD가 한 원에 내접하고 $\overline{AB}=5$, $\overline{AC}=3\sqrt5$, $\overline{AD}=7$, $\angle BAC=\angle CAD$
일 때, 이 원의 반지름의 길이는? [4점]
① $\dfrac{5\sqrt2}{2}$ ② $\dfrac{8\sqrt5}5$ ③ $\dfrac{5\sqrt5}3$ ④ $\dfrac{8\sqrt2}3$ ⑤ $\dfrac{9\sqrt3}4$
풀이
$\angle BAC=\angle CAD=\theta$라 하면 같은 원주각에 대응하는 현의 길이가 같으므로 $\overline{BC}=\overline{CD}$이다.
삼각형 ABC에서 코사인법칙에 의해 $\overline{BC}^{\,2}=5^2+(3\sqrt5)^2-2\cdot5\cdot3\sqrt5\cos\theta=70-30\sqrt5\cos\theta$이다.
삼각형 ACD에서 $\overline{CD}^{\,2}=7^2+(3\sqrt5)^2-2\cdot7\cdot3\sqrt5\cos\theta=94-42\sqrt5\cos\theta$이다.
$\overline{BC}=\overline{CD}$이므로 $70-30\sqrt5\cos\theta=94-42\sqrt5\cos\theta$이고, $\cos\theta=\dfrac2{\sqrt5}$이다.
$\sin\theta=\sqrt{1-\dfrac45}=\dfrac1{\sqrt5}$이고 $\overline{BC}^{\,2}=70-30\sqrt5\cdot\dfrac2{\sqrt5}=10$이므로 $\overline{BC}=\sqrt{10}$이다.
원 반지름을 $R$이라 하면 사인법칙 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin\theta}=2R$에서 $2R=\dfrac{\sqrt{10}}{1/\sqrt5}=5\sqrt2$이다.
정답: ① $\dfrac{5\sqrt2}{2}$
12. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
$n-1\le x<n$일 때, $|f(x)|=|6(x-n+1)(x-n)|$이다.
(단, $n$은 자연수이다.)
열린구간 $(0,4)$에서 정의된 함수
$g(x)=\displaystyle\int\nolimits_0^x f(t)\,dt-\displaystyle\int\nolimits_x^4 f(t)\,dt$
가 $x=2$에서 최솟값 $0$을 가질 때, $\displaystyle\int\nolimits_{\frac12}^4 f(x)\,dx$의 값은? [4점]
① $-\dfrac32$ ② $-\dfrac12$ ③ $\dfrac12$ ④ $\dfrac32$ ⑤ $\dfrac52$
풀이
연속성 및 절댓값 조건으로 각 구간 $[n-1,n]$에서 $f(x)=6(x-n+1)(x-n)$ 또는 $f(x)=-6(x-n+1)(x-n)$이다. 한 구간 안에서는 부호가 일정해야 한다.
$g'(x)=2f(x)$이고 $x=2$에서 $g(x)$가 최솟값을 가지므로 $x=2$의 바로 왼쪽인 $10$이다. 또한 $g(2)=0$에서 $\displaystyle\int\nolimits_0^2 f(t)\,dt=\displaystyle\int\nolimits_2^4 f(t)\,dt$이다.
각 단위구간에서 $\displaystyle\int\nolimits_{n-1}^n |6(x-n+1)(x-n)|\,dx=1$이다. 따라서 $[1,2]$에서는 적분값 $-1$, $[2,3]$에서는 $+1$이며 두 쪽 적분값이 같으려면 $[0,1]$에서 $+1$, $[3,4]$에서 $-1$이어야 한다.
그러므로 $0\le x\le1$에서 $f(x)=6x(x-1)$가 아니라 $f(x)=-6x(x-1)$이며, $\displaystyle\int\nolimits_0^4 f(x)\,dx=0$이다.
$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_{\frac12}^4f(x)\,dx&=-\displaystyle\int\nolimits_0^{\frac12}f(x)\,dx\\&=-\displaystyle\int\nolimits_0^{\frac12}(-6x(x-1))\,dx\\&=-\left[3x^2-2x^3\right]_0^{\frac12}=-\dfrac12\end{aligned}$
정답: ② $-\dfrac12$
13. 자연수 $m$ ($m\ge2$)에 대하여 $m^{12}$의 $n$제곱근 중에서 정수가 존재하도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$의 개수를 $f(m)$이라 할 때, $\displaystyle\sum\limits_{m=2}^{9}f(m)$의 값은? [4점]
① $37$ ② $42$ ③ $47$ ④ $52$ ⑤ $57$
풀이
$x^n=m^{12}$의 정수해가 존재하려면 $m^{12}$의 소인수분해에서 모든 지수가 $n$으로 나누어떨어져야 한다.
$(\mathrm{i})$ $m=2,3,5,6,7$이면 가능한 $n$은 $12$의 약수 $2,3,4,6,12$이고 각각 $f(m)=5$이다.
$(\mathrm{ii})$ $m=4=2^2$이면 $m^{12}=2^{24}$이므로 $n=2,3,4,6,8,12,24$이며 $f(4)=7$이다.
$(\mathrm{iii})$ $m=8=2^3$이면 $m^{12}=2^{36}$이므로 $n=2,3,4,6,9,12,18,36$이며 $f(8)=8$이다.
$(\mathrm{iv})$ $m=9=3^2$이면 $m^{12}=3^{24}$이므로 $n=2,3,4,6,8,12,24$이며 $f(9)=7$이다.
$\displaystyle\sum\limits_{m=2}^9f(m)=5\times5+7+8+7=47$이다.
정답: ③ $47$
14. 다항함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를 다음과 같이 정의한다.
$g(x)=\begin{cases}x &(x<-1\ \text{또는}\ x>1)\\f(x)&(-1\le x\le1)\end{cases}$
함수 $h(x)=\displaystyle\lim\limits_{t\to0+}g(x+t)\times\displaystyle\lim\limits_{t\to2+}g(x+t)$에 대하여 〈보기〉에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
〈보기〉
ㄱ. $h(1)=3$
ㄴ. 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
ㄷ. 함수 $g(x)$가 닫힌구간 $[-1,1]$에서 감소하고 $g(-1)=-2$이면 함수 $h(x)$는 실수 전체의 집합에서 최솟값을 갖는다.
① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄴ, ㄷ
풀이
ㄱ. $x=1$에서 오른쪽으로 접근하면 $g(1+t)=1+t$이고 $t\to2+$이면 $g(1+t)=1+t\to3$이다. 따라서 $h(1)=1\times3=3$이므로 참이다.
ㄴ.
$x<-3$ 또는 $x\ge1$이면 $h(x)=x(x+2)$이고, $-3<x<-1$이면 $h(x)=xf(x+2)$, $-1<x<1$이면 $h(x)=f(x)(x+2)$이다. 경계값은 $h(-3)=-3f(-1)$, $h(-1)=f(-1)$이다.
예를 들어 $f(-1)\ne-1$이면 $\displaystyle\lim\limits_{x\to-3-}h(x)=3$과 $h(-3)=-3f(-1)$이 다를 수 있으므로 연속성을 보장할 수 없다. 따라서 거짓이다.
ㄷ.
$g$가 $[-1,1]$에서 감소하고 $g(-1)=-2$일 때, 이 구간의 $f(x)\le-2$이다. $-1<x<1$에서 $h(x)=f(x)(x+2)$이며 최솟값이 반드시 존재한다고 할 수 없다.
구체적으로 $f(x)=-x-3$을 택하면 $f(-1)=-2$이고 감소한다. 이때 $-1<x<1$에서 $h(x)=-(x+3)(x+2)$이고 $x\to1-$에서 $h(x)\to-12$이지만 $h(1)=3$이다. 다른 구간에서는 $-12$보다 작은 값이 나타나지 않으므로 $h$의 최솟값은 존재하지 않는다. 따라서 거짓이다.
이상에서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.
정답: ① ㄱ
15. 모든 항이 자연수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $a_9$의 최댓값과 최솟값을 각각 $M$, $m$이라 할 때, $M+m$의 값은? [4점]
(가) $a_7=40$
(나) 모든 자연수 $n$에 대하여
$a_{n+2}=\begin{cases}a_{n+1}+a_n &(a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수가 아닌 경우})\\\dfrac13 a_{n+1}&(a_{n+1}\text{이 }3\text{의 배수인 경우})\end{cases}$
이다.
① $216$ ② $218$ ③ $220$ ④ $222$ ⑤ $224$
풀이
$a_7=40$은 $3$의 배수가 아니므로 $a_8=a_6+40$이다. 가능한 $a_6$을 $3$으로 나눈 나머지에 따라 분류한다.
$(\mathrm{i})$ $a_6$이 $3$의 배수이면 $a_7=\dfrac{a_6}{3}$이므로 $a_6=120$, $a_8=160$, $a_9=a_7+a_8=200$이다.
$(\mathrm{ii})$ $a_6=3k-2$이면 $a_5+a_6=40$이므로 $a_5=42-3k=3(14-k)$이다. $a_5$가 자연수이므로 $k<14$이다.
$a_5$가 $3$의 배수이므로 $a_6=\dfrac{a_5}{3}$이고 $3k-2=14-k$에서 $k=4$이다. 따라서 $a_6=10$, $a_8=50$, $a_9=90$이다.
$(\mathrm{iii})$ $a_6=3k-1$이면 $a_5+a_6=40$에서 $a_5=41-3k>0$, 즉 $k<\dfrac{41}{3}$이다.
$a_5$는 $3$의 배수가 아니므로 $a_4+a_5=a_6$이고 $a_4=(3k-1)-(41-3k)=6k-42=3(2k-14)>0$에서 $k>7$이다.
$a_4$가 $3$의 배수이므로 $a_5=\dfrac{a_4}{3}$이다. 따라서 $41-3k=2k-14$, $k=11$이며 $a_6=32$, $a_8=72$이다.
$a_8=72$가 $3$의 배수이므로 $a_9=\dfrac{72}3=24$이다.
세 경우에서 $M=200$, $m=24$이므로 $M+m=224$이다.
정답: ⑤ $224$