공통과목 단답형
16. 방정식
$\log_2(3x+2)=2+\log_2(x-2)$
를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
로그의 진수 조건은 $3x+2>0$, $x-2>0$이므로 $x>2$이다.
$2=\log_2 4$이므로 $\log_2(3x+2)=\log_2(4(x-2))$이다.
$3x+2=4x-8$에서 $x=10$이고 진수 조건 $x>2$를 만족한다.
정답: $10$
17. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=4x^3-2x$이고 $f(0)=3$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$f'(x)$를 적분하면 $f(x)=\displaystyle\int(4x^3-2x)\,dx=x^4-x^2+C$이다.
$f(0)=3$이므로 적분상수 $C=3$이다.
$f(2)=2^4-2^2+3=16-4+3=15$이다.
정답: $15$
18. 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(3a_k+5)=55,\quad\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(a_k+b_k)=32$
일 때, $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5 b_k$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
합의 성질로 $3\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k+25=55$이므로 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k=10$이다.
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(a_k+b_k)=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5b_k=32$이다.
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5b_k=32-10=22$이다.
정답: $22$
19. 방정식 $2x^3-6x^2+k=0$의 서로 다른 양의 실근의 개수가 $2$가 되도록 하는 정수 $k$의 개수를 구하시오. [3점]
풀이
$f(x)=2x^3-6x^2+k$라 하면 $f'(x)=6x^2-12x=6x(x-2)$이다.
$0<x<2$에서 $f'(x)<0$, $x>2$에서 $f'(x)>0$이므로 $x=2$에서 극솟값 $f(2)=k-8$을 갖는다. 또한 $f(0)=k$이다.
서로 다른 양의 실근이 정확히 $2$개 존재하려면 $x=0$의 오른쪽에서 함수가 양수로 시작하고 $x=2$에서 음수여야 한다. 따라서 $k>0$, $k-8<0$이다.
$0<k<8$을 만족하는 정수 $k$는 $1,2,3,4,5,6,7$의 $7$개이다.
정답: $7$
20. 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$ ($t\ge0$)에서의 속도 $v(t)$와 가속도 $a(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0\le t\le2$일 때, $v(t)=2t^3-8t$이다.
(나) $t\ge2$일 때, $a(t)=6t+4$이다.
시각 $t=0$에서 $t=3$까지 점 P가 움직인 거리를 구하시오. [4점]
풀이
$t\ge2$에서 $a(t)=v'(t)=6t+4$이므로 $v(t)=3t^2+4t+C$이다.
$v(2)=2\cdot2^3-8\cdot2=0$이므로 $12+8+C=0$, $C=-20$이다. 따라서 $t\ge2$에서는 $v(t)=3t^2+4t-20=(t-2)(3t+10)$이다.
$0<t<2$에서 $v(t)=2t(t-2)(t+2)<0$, $2<t\le3$에서 $v(t)>0$이므로 움직인 거리는 $\displaystyle-\int\nolimits_0^2v(t)\,dt+\displaystyle\int\nolimits_2^3v(t)\,dt$이다.
$\begin{aligned}s&=-\displaystyle\int\nolimits_0^2(2t^3-8t)\,dt+\displaystyle\int\nolimits_2^3(3t^2+4t-20)\,dt\\&=-\left[\dfrac{t^4}2-4t^2\right]_0^2+\left[t^3+2t^2-20t\right]_2^3\\&=8+9=17\end{aligned}$
정답: $17$
21. 자연수 $n$에 대하여 함수 $f(x)$를
$f(x)=\begin{cases}|3^{x+2}-n|&(x<0)\\|\log_2(x+4)-n|&(x\ge0)\end{cases}$
이라 하자. 실수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수를 $g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$의 최댓값이 $4$가 되도록 하는 모든 자연수 $n$의 값의 합을 구하시오. [4점]
풀이
$x<0$에서 $3^{x+2}$의 값의 범위는 $(0,9)$이고 단조증가한다. 따라서 $|3^{x+2}-n|=t$의 해의 개수는 수평선이 절댓값 그래프와 만나는 점의 개수이다.
$n<9$ 일 때
$n=9$ 일 때
$n>9$ 일 때
$x\ge0$에서 $\log_2(x+4)$의 값의 범위는 $[2,\infty)$이고 단조증가한다. 따라서 $|\log_2(x+4)-n|=t$의 해의 개수를 같은 방법으로 계산한다.
왼쪽 $x<0$에서 서로 다른 해 $2$개가 존재하려면 절댓값의 꺾이는 점이 내부에 있어야 하므로 $0<n<9$이다. $n\ge9$이면 왼쪽에서 최대 $1$개의 해만 생긴다.
$n=1$ 일 때
$n=2$ 일 때
$n>2$ 일 때
오른쪽 $x\ge0$에서 서로 다른 해 $2$개가 존재하려면 $n>2$이어야 한다. $n\le2$이면 오른쪽의 절댓값 그래프는 단조증가한다.
따라서 전체에서 서로 다른 해가 $4$개 존재할 가능성이 있으려면 $2<n<9$이다. 이 범위에서 두 쪽 꺾이는 점을 모두 포함하는 양수 $t$를 충분히 작게 택하면 각 쪽에서 $2$개의 해가 나오므로 실제 최댓값이 $4$이다.
가능한 자연수 $n$은 $3,4,5,6,7,8$이고 그 합은 $3+4+5+6+7+8=33$이다.
정답: $33$
22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$의 값을 구하시오. [4점]
(가) 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))$이다.
(나) 함수 $g(x)$의 최솟값은 $\dfrac52$이다.
(다) $f(0)=-3$, $f(g(1))=6$
풀이
$f(0)=-3$이고 최고차항의 계수가 $1$이므로 $f(x)=x^3+ax^2+bx-3$이라 놓는다.
조건 (가)에서 $x\ne1$일 때 $f'(g(x))=\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=x^2+(a+1)x+(a+b+1)$이다.
$f'(y)=3y^2+2ay+b$이므로 $y=g(x)$는 $3y^2+2ay=x^2+(a+1)x+a+1$의 근이다.
$\begin{aligned}g(x)&=\dfrac{-a\pm\sqrt{a^2+3[x^2+(a+1)x+a+1]}}3\\&=\dfrac{-a\pm\sqrt{3\left[\left(x+\dfrac{a+1}2\right)^2+\dfrac{(a+3)^2}{12}\right]}}3\end{aligned}$
$g$가 실수 전체에서 연속이고 최솟값을 가지므로 $+$ 가지를 선택해야 한다. 그 최솟값은 $\dfrac{-a+|a+3|/2}{3}=\dfrac52$이다.
$a\ge-3$이면 $(-a+(a+3)/2)/3=\dfrac{3-a}6=\dfrac52$에서 $a=-12$가 되어 모순이다. $a<-3$이면 $(-a-(a+3)/2)/3=\dfrac{-a-1}2=\dfrac52$에서 $a=-6$이다.
따라서 $f(x)=x^3-6x^2+bx-3$, $f'(x)=3x^2-12x+b$이다.
조건 (가)에서 $x\to1$을 취하고 $g$의 연속성을 적용하면 $f'(g(1))=f'(1)$이다. $g(1)=u$라 하면 $3u^2-12u+b=b-9$이므로 $(u-1)(u-3)=0$이다.
$g(1)\ge\dfrac52$이므로 $g(1)=3$이다. 조건 (다)의 $f(g(1))=6$에서 $f(3)=27-54+3b-3=6$, 따라서 $b=12$이다.
$f(4)=64-96+48-3=13$이다.
정답: $13$