선택과목: 확률과 통계
확률과 통계 5지선다형
23. 다항식 $(x^3+3)^5$의 전개식에서 $x^9$의 계수는? [2점]
① $30$ ② $60$ ③ $90$ ④ $120$ ⑤ $150$
풀이
이항정리에 의하여 일반항은 ${}_5\mathrm C_r (x^3)^{5-r}3^r={}_5\mathrm C_r3^r x^{15-3r}$ ($r=0,1,2,3,4,5$)이다.
$x^9$의 항이 되려면 $15-3r=9$이므로 $r=2$이다.
따라서 계수는 ${}_5\mathrm C_2\times3^2=10\times9=90$이다.
정답: ③ $90$
24. 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ 중에서 중복을 허락하여 $4$개를 택해 일렬로 나열하여 만들 수 있는 네 자리의 자연수 중 $4000$ 이상인 홀수의 개수는? [3점]
① $125$ ② $150$ ③ $175$ ④ $200$ ⑤ $225$
풀이
네 자리 수가 $4000$ 이상이려면 천의 자리의 수는 $4,5$의 $2$가지이고, 홀수가 되려면 일의 자리의 수는 $1,3,5$의 $3$가지이다.
백의 자리와 십의 자리에는 각각 $1,2,3,4,5$ 중 아무 수나 중복하여 쓸 수 있으므로 각각 $5$가지이다.
곱의 법칙에 따라 경우의 수는 $2\times5\times5\times3=150$이다.
정답: ② $150$
25. 흰색 마스크 $5$개, 검은색 마스크 $9$개가 들어 있는 상자가 있다. 이 상자에서 임의로 $3$개의 마스크를 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $3$개의 마스크 중에서 적어도 한 개가 흰색 마스크일 확률은? [3점]
① $\dfrac8{13}$ ② $\dfrac{17}{26}$ ③ $\dfrac9{13}$ ④ $\dfrac{19}{26}$ ⑤ $\dfrac{10}{13}$
풀이
전체 경우의 수는 서로 다른 $14$개 중 $3$개를 선택하는 ${}_{14}\mathrm C_3=364$이다.
여사건인 검은색 마스크만 $3$개를 꺼내는 경우의 수는 ${}_9\mathrm C_3=84$이다.
$P=1-\dfrac{{}_9\mathrm C_3}{{}_{14}\mathrm C_3}=1-\dfrac{84}{364}=1-\dfrac3{13}=\dfrac{10}{13}$이다.
정답: ⑤ $\dfrac{10}{13}$
26. 주머니에 $1$이 적힌 흰 공 $1$개, $2$가 적힌 흰 공 $1$개, $1$이 적힌 검은 공 $1$개, $2$가 적힌 검은 공 $3$개가 들어 있다.
이 주머니에서 임의로 $3$개의 공을 동시에 꺼내는 시행을 한다. 이 시행에서 꺼낸 $3$개의 공 중에서 흰 공이 $1$개이고 검은 공이 $2$개인 사건을 $A$, 꺼낸 $3$개의 공에 적혀 있는 수를 모두 곱한 값이 $8$인 사건을 $B$라 할 때, $\mathrm P(A\cup B)$의 값은? [3점]
① $\dfrac{11}{20}$ ② $\dfrac35$ ③ $\dfrac{13}{20}$ ④ $\dfrac7{10}$ ⑤ $\dfrac34$
풀이
전체 경우의 수는 ${}_6\mathrm C_3=20$이다.
사건 $A$는 흰 공 $2$개 중 $1$개, 검은 공 $4$개 중 $2$개를 선택하므로 $\mathrm P(A)=\dfrac{{}_2\mathrm C_1\times{}_4\mathrm C_2}{{}_6\mathrm C_3}=\dfrac{12}{20}=\dfrac35$이다.
사건 $B$는 숫자 $2$가 적힌 공 $4$개 중 $3$개를 꺼내는 경우이므로 $\mathrm P(B)=\dfrac{{}_4\mathrm C_3}{{}_6\mathrm C_3}=\dfrac4{20}=\dfrac15$이다.
$A\cap B$는 숫자 $2$가 적힌 흰 공 $1$개와 검은 공 $3$개 중 $2$개를 선택하는 경우이므로 $\mathrm P(A\cap B)=\dfrac{{}_1\mathrm C_1\times{}_3\mathrm C_2}{{}_6\mathrm C_3}=\dfrac3{20}$이다.
확률의 덧셈정리에 따라 $\mathrm P(A\cup B)=\dfrac{12+4-3}{20}=\dfrac{13}{20}$이다.
정답: ③ $\dfrac{13}{20}$
27. 어느 회사에서 생산하는 샴푸 $1$개의 용량은 정규분포 $\mathrm N(m,\sigma^2)$을 따른다고 한다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $16$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $746.1\le m\le755.9$이다. 이 회사에서 생산하는 샴푸 중에서 $n$개를 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구하는 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간이 $a\le m\le b$일 때, $b-a$의 값이 $6$ 이하가 되기 위한 자연수 $n$의 최솟값은? (단, 용량의 단위는 mL이고, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm P(|Z|\le1.96)=0.95$, $\mathrm P(|Z|\le2.58)=0.99$로 계산한다.) [3점]
① $70$ ② $74$ ③ $78$ ④ $82$ ⑤ $86$
풀이
신뢰도 $95\%$의 구간의 길이는 $755.9-746.1=9.8$이고, 이 길이는 $2\times1.96\times\dfrac\sigma{\sqrt{16}}$이다.
$9.8=2\times1.96\times\dfrac\sigma4=0.98\sigma$이므로 $\sigma=10$이다.
표본의 크기가 $n$일 때 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간의 길이는 $b-a=2\times2.58\times\dfrac{10}{\sqrt n}=\dfrac{51.6}{\sqrt n}$이다.
$\dfrac{51.6}{\sqrt n}\le6$이므로 $\sqrt n\ge8.6$, $n\ge73.96$이다. 따라서 최소 자연수 $n=74$이다.
정답: ② $74$
28. 연속확률변수 $X$가 갖는 값의 범위는 $0\le X\le a$이고, $X$의 확률밀도함수의 그래프가 그림과 같다.
$\mathrm P(X\le b)-\mathrm P(X\ge b)=\dfrac14$, $\mathrm P(X\le\sqrt5)=\dfrac12$일 때, $a+b+c$의 값은? (단, $a$, $b$, $c$는 상수이다.) [4점]
① $\dfrac{11}2$ ② $6$ ③ $\dfrac{13}2$ ④ $7$ ⑤ $\dfrac{15}2$
풀이
확률밀도함수의 그래프는 세 점 $(0,0)$, $(b,c)$, $(a,0)$을 이은 삼각형이다. 전체 넓이가 $1$이므로 $\dfrac12ac=1$, 즉 $ac=2$이다.
$\mathrm P(X\le b)+\mathrm P(X\ge b)=1$, 차가 $\dfrac14$이므로 $\mathrm P(X\le b)=\dfrac58$이다.
$\dfrac12bc=\dfrac58$에서 $bc=\dfrac54$이다.
$\mathrm P(X\le\sqrt5)=\dfrac12<\dfrac58=\mathrm P(X\le b)$이므로 $\sqrt5<b$이다. $0\le x\le b$에서 밀도함수는 $y=\dfrac cbx$이다.
$\dfrac12\times\sqrt5\times\dfrac{c\sqrt5}{b}=\dfrac12$에서 $\dfrac{5c}{b}=1$, 즉 $b=5c$이다.
$bc=5c^2=\dfrac54$이고 $c>0$이므로 $c=\dfrac12$, $b=\dfrac52$이다. $ac=2$에서 $a=4$이다.
$a+b+c=4+\dfrac52+\dfrac12=7$이다.
정답: ④ $7$
확률과 통계 단답형
29. 앞면에는 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있고 뒷면에는 모두 $0$이 하나씩 적혀 있는 $6$장의 카드가 있다.
이 $6$장의 카드가 그림과 같이 $6$ 이하의 자연수 $k$에 대하여 $k$번째 자리에 자연수 $k$가 보이도록 놓여 있다.
이 $6$장의 카드와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$이면
$k$번째 자리에 놓여 있는 카드를 한 번 뒤집어 제자리에
놓는다.
위의 시행을 $3$번 반복한 후 $6$장의 카드에 보이는 모든 수의 합이 짝수일 때, 주사위의 $1$의 눈이 한 번만 나왔을 확률은 $\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
시행 후 카드에 보이는 수의 합이 짝수인 사건을 $A$, 주사위의 $1$의 눈이 한 번만 나온 사건을 $B$라 하자. 초기 합 $1+2+3+4+5+6=21$은 홀수이다.
카드의 짝수 숫자를 뒤집으면 합의 홀짝은 바뀌지 않고, 홀수 숫자를 뒤집으면 홀짝이 바뀐다. 따라서 $3$회 시행 후 합이 짝수이려면 홀수의 눈이 $1$번 또는 $3$번 나와야 한다.
$\mathrm P(A)=\binom31\left(\dfrac12\right)^3+\binom33\left(\dfrac12\right)^3=\dfrac38+\dfrac18=\dfrac12$이다.
$(\mathrm{i})$ 홀수의 눈이 $3$번 나온 경우, $1$이 정확히 한 번 나오고 나머지 두 눈이 $3,5$ 중 하나일 확률은 $\binom31\cdot\dfrac16\left(\dfrac26\right)^2=\dfrac1{18}$이다.
$(\mathrm{ii})$ 홀수의 눈이 $1$번 나온 경우, 그 눈이 $1$이고 나머지 두 눈이 $2,4,6$ 중 하나일 확률은 $\binom31\cdot\dfrac16\left(\dfrac36\right)^2=\dfrac18$이다.
$(\mathrm{i})$, $(\mathrm{ii})$는 서로 배반이므로 $\mathrm P(A\cap B)=\dfrac1{18}+\dfrac18=\dfrac{13}{72}$이다.
$\mathrm P(B\mid A)=\dfrac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}=\dfrac{13/72}{1/2}=\dfrac{13}{36}$이다. 따라서 $p=36$, $q=13$이다.
정답: $49$
30. 집합 $X=\{x\mid x\text{는 }10\text{ 이하의 자연수}\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$의 개수를 구하시오. [4점]
(가) $9$ 이하의 모든 자연수 $x$에 대하여
$f(x)\le f(x+1)$이다.
(나) $1\le x\le5$일 때 $f(x)\le x$이고,
$6\le x\le10$일 때 $f(x)\ge x$이다.
(다) $f(6)=f(5)+6$
풀이
조건 (가), (나)에 의해 $f(1)=1$, $f(10)=10$이고 $f(5)\le5$, $f(6)\ge6$이다.
$f(6)=f(5)+6\le10$이므로 $f(5)$는 $1,2,3,4$ 중 하나이다. 따라서 $(f(5),f(6))$은 $(1,7)$, $(2,8)$, $(3,9)$, $(4,10)$으로 나뉜다.
$(\mathrm{i})$ $(f(5),f(6))=(1,7)$이면 $f(2)=f(3)=f(4)=1$ 한 가지이다. 오른쪽에서는 $f(7),f(8),f(9)$를 $7$부터 $10$까지의 정수 중 비감소하도록 선택하면서 각각의 하한 $7,8,9$를 만족시켜야 한다.
$f(7),f(8),f(9)$는 $7,8,9,10$ 중에서 비감소하도록 정하되 각각 $f(7)\ge7$, $f(8)\ge8$, $f(9)\ge9$를 만족해야 한다. 가능한 순서쌍을 분류하면 $14$가지이므로 이 경우는 $1\times14=14$가지이다.
$(\mathrm{ii})$ $(f(5),f(6))=(2,8)$이면 $f(2),f(3),f(4)$는 $1,2$ 중 비감소하는 $\binom43=4$가지이다.
$f(7),f(8),f(9)$는 $8,9,10$ 중 비감소하며 $f(9)\ge9$를 만족해야 하므로 $\binom53-1=10-1=9$가지이다. 따라서 $4\times9=36$가지이다.
$(\mathrm{iii})$ $(f(5),f(6))=(3,9)$이면 왼쪽 $f(2),f(3),f(4)$가 $1,2,3$ 중 비감소하며 $f(2)\le2$ 조건으로 전체 $\binom53=10$가지 중 $(3,3,3)$을 제외한 $9$가지이다. 오른쪽은 $9,10$ 중 비감소한 $\binom43=4$가지이므로 $9\times4=36$가지이다.
$(\mathrm{iv})$ $(f(5),f(6))=(4,10)$이면 왼쪽 $f(2),f(3),f(4)$가 $1,2,3,4$ 중 비감소하며 각 위치의 번호 이하라는 조건을 만족하는 $14$가지이고 오른쪽은 모두 $10$으로 정해져 $1$가지이다. 따라서 $14$가지이다.
전체 함수의 개수는 $14+36+36+14=100$이다.
정답: $100$