선택과목: 기하
기하 5지선다형
23. 좌표공간의 점 $\mathrm A(2,2,-1)$을 $x$축에 대하여 대칭이동한 점을 B라 하자. 점 $\mathrm C(-2,1,1)$에 대하여 선분 BC의 길이는? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$x$축에 대한 대칭이동은 $x$좌표를 유지하고 $y$, $z$좌표의 부호를 바꾸므로 $\mathrm B(2,-2,1)$이다.
$\begin{aligned}\overline{\mathrm{BC}}&=\sqrt{(-2-2)^2+(1+2)^2+(1-1)^2}\\&=\sqrt{16+9}=5\end{aligned}$
정답: ⑤ $5$
24. 초점이 $\mathrm F\left(\dfrac13,0\right)$이고 준선이 $x=-\dfrac13$인 포물선이 점 $(a,2)$를 지날 때, $a$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
초점이 $(p,0)$, 준선이 $x=-p$인 포물선의 방정식은 $y^2=4px$이다.
$p=\dfrac13$이므로 $y^2=\dfrac43x$이다. 점 $(a,2)$를 대입하면 $4=\dfrac43a$이다.
따라서 $a=3$이다.
또는 점 $(a,2)$에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리를 같게 놓으면 $\sqrt{\left(a-\dfrac13\right)^2+4}=\left|a+\dfrac13\right|$로부터 $a=3$을 얻는다.
정답: ③ $3$
25. 타원 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 위의 점 $(2,1)$에서의 접선의 기울기가 $-\dfrac12$일 때, 이 타원의 두 초점 사이의 거리는? (단, $a$, $b$는 양수이다.) [3점]
① $2\sqrt3$ ② $4$ ③ $2\sqrt5$ ④ $2\sqrt6$ ⑤ $2\sqrt7$
풀이
점 $(2,1)$이 타원 위에 있으므로 $\dfrac4{a^2}+\dfrac1{b^2}=1$이다.
타원의 접선 방정식은 $\dfrac{2x}{a^2}+\dfrac y{b^2}=1$이고, 기울기는 $-\dfrac{2b^2}{a^2}=-\dfrac12$이다.
$a^2=4b^2$를 타원 방정식에 대입하면 $\dfrac4{4b^2}+\dfrac1{b^2}=1$, 즉 $b^2=2$, $a^2=8$이다.
$a^2>b^2$이므로 초점은 $(\pm c,0)$에 있고 $c^2=a^2-b^2=8-2=6$이다.
따라서 두 초점 사이의 거리는 $2c=2\sqrt6$이다.
정답: ④ $2\sqrt6$
26. 좌표평면에서 세 벡터
$\vec a=(2,4),\quad\vec b=(2,8),\quad\vec c=(1,0)$
에 대하여 두 벡터 $\vec p$, $\vec q$가
$(\vec p-\vec a)\cdot(\vec p-\vec b)=0$, $\vec q=\dfrac12\vec a+t\vec c$ ($t$는 실수)
를 만족시킬 때, $|\vec p-\vec q|$의 최솟값은? [3점]
① $\dfrac32$ ② $2$ ③ $\dfrac52$ ④ $3$ ⑤ $\dfrac72$
풀이
세 벡터의 종점을 각각 $\mathrm A(2,4)$, $\mathrm B(2,8)$, $\mathrm C(1,0)$으로 놓고 $\vec p$의 종점을 P라 하자.
$(\vec p-\vec a)\cdot(\vec p-\vec b)=0$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\perp\overrightarrow{\mathrm{BP}}$이다. 따라서 점 P는 AB를 지름으로 하는 원 위를 움직인다.
$\vec q=\dfrac12(2,4)+t(1,0)=(1+t,2)$이므로 $\vec q$의 종점 Q는 직선 $y=2$ 위를 움직인다.
원 중심 $\mathrm M(2,6)$에서 직선 $y=2$까지의 거리는 $4$이다. 반지름이 $2$이므로 원 위 점 P와 직선 위 점 Q 사이 거리의 최솟값은 $4-2=2$이다.
정답: ② $2$
27. 좌표공간에 직선 AB를 포함하는 평면 $\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$ 위에 있지 않은 점 C에 대하여 직선 AB와 직선 AC가 이루는 예각의 크기를 $\theta_1$이라 할 때 $\sin\theta_1=\dfrac45$이고, 직선 AC와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기는 $\dfrac\pi2-\theta_1$이다. 평면 ABC와 평면 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta_2$라 할 때, $\cos\theta_2$의 값은? [3점]
① $\dfrac{\sqrt7}4$ ② $\dfrac{\sqrt7}5$ ③ $\dfrac{\sqrt7}6$ ④ $\dfrac{\sqrt7}7$ ⑤ $\dfrac{\sqrt7}8$
풀이
점 C에서 직선 AB에 내린 수선의 발을 G, 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼수선의 정리에 의해 직선 GH도 AB에 수직이다.
$\overline{\mathrm{AC}}=5k$ ($k>0$)라 하면 직각삼각형 ACG에서 $\overline{\mathrm{CG}}=5k\sin\theta_1=4k$, $\overline{\mathrm{AG}}=3k$이다.
직선 AC와 평면 $\alpha$가 이루는 예각이 $\dfrac\pi2-\theta_1$이므로 직각삼각형 ACH에서 $\overline{\mathrm{CH}}=5k\sin(\frac\pi2-\theta_1)=5k\cos\theta_1=3k$이다.
직각삼각형 CGH에서 $\overline{\mathrm{GH}}=\sqrt{\overline{\mathrm{CG}}^2-\overline{\mathrm{CH}}^2}=\sqrt{16k^2-9k^2}=\sqrt7k$이다.
두 평면의 이면각은 $\angle\mathrm{CGH}=\theta_2$이고 $\cos\theta_2=\dfrac{\overline{\mathrm{GH}}}{\overline{\mathrm{CG}}}=\dfrac{\sqrt7}4$이다.
정답: ① $\dfrac{\sqrt7}4$
28. 두 초점이 $\mathrm F(c,0)$, $\mathrm F'( -c,0)$ ($c>0$)인 쌍곡선 $C$와 $y$축 위의 점 A가 있다. 쌍곡선 $C$가 선분 AF와 만나는 점을 P, 선분 AF'과 만나는 점을 P'이라 하자.
직선 AF는 쌍곡선 $C$의 한 점근선과 평행하고 $\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PP'}}=5:6$, $\overline{\mathrm{PF}}=1$일 때, 쌍곡선 $C$의 주축의 길이는? [4점]
① $\dfrac{13}6$ ② $\dfrac94$ ③ $\dfrac73$ ④ $\dfrac{29}{12}$ ⑤ $\dfrac52$
풀이
$y$축 대칭성에 의해 선분 PP'과 $y$축의 교점을 M이라 하면 $\overline{\mathrm{MP}}=\dfrac12\overline{\mathrm{PP'}}$이다. 따라서 $\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{MP}}=5:3$이다.
직각삼각형 AMP에서 $\overline{\mathrm{AM}}:\overline{\mathrm{MP}}=4:3$이므로 직선 AF와 AF'의 기울기 절댓값은 $\dfrac43$이다. 따라서 쌍곡선의 점근선 기울기는 $\pm\dfrac43$이다.
쌍곡선을 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$이라 하면 $\dfrac ba=\dfrac43$이므로 $a=3k$, $b=4k$ ($k>0$)로 놓을 수 있다.
초점 F의 좌표는 $(5k,0)$이다. $\overline{\mathrm{PF}}=1$이고 직선 PF의 기울기 절댓값은 $\dfrac43$이므로 수평·수직 이동량은 각각 $\dfrac35$, $\dfrac45$이다.
따라서 제1사분면의 점 P의 좌표는 $\left(5k-\dfrac35,\dfrac45\right)$이다.
이를 $\dfrac{x^2}{9k^2}-\dfrac{y^2}{16k^2}=1$에 대입하면 $\dfrac{(5k-3/5)^2}{9k^2}-\dfrac{(4/5)^2}{16k^2}=1$이다.
정리하면 $25k^2-6k+\dfrac9{25}-\dfrac9{25}=9k^2$이므로 $16k^2-6k=0$이다. $k>0$에서 $k=\dfrac38$이다.
따라서 주축의 길이 $2a=6k=\dfrac94$이다.
[풀이 그림 수동 삽입: 28번-①]
정답: ② $\dfrac94$
기하 단답형
29. 평면 $\alpha$ 위에 $\overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{CD}}=\overline{\mathrm{AD}}=2$, $\angle\mathrm{ABC}=\angle\mathrm{BCD}=\dfrac\pi3$인 사다리꼴 ABCD가 있다.
다음 조건을 만족시키는 평면 $\alpha$ 위의 두 점 P, Q에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$의 값을 구하시오. [4점]
(가) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2\left(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}\right)$
(나) $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=6$
(다) $2\times\angle\mathrm{BQA}=\angle\mathrm{PBQ}<\dfrac\pi2$
풀이
사다리꼴에서 $\overline{\mathrm{AB}}=2$, $\overline{\mathrm{CD}}=2$, $\overline{\mathrm{AD}}=2$, 주어진 두 각이 $\dfrac\pi3$이므로 $\overline{\mathrm{BC}}=4$이며 $\overline{\mathrm{AC}}=2\sqrt3$, $\angle\mathrm{BAC}=\dfrac\pi2$이다.
조건 (가)의 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AD}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}})$에서 $2\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-2\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}$이므로 $\overrightarrow{\mathrm{BP}}=\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{AB}}$이다.
따라서 P는 직선 AB의 연장선 위에 있고 $\overline{\mathrm{BP}}=1$, $\overline{\mathrm{AP}}=3$이다.
점 P에서 직선 AC에 내린 수선의 발은 A이다. 점 Q에서 직선 AC에 내린 수선의 발을 H라 하면 조건 (나)에 의해 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AH}}=6$이다.
$\overline{\mathrm{AH}}=\dfrac6{2\sqrt3}=\sqrt3$이므로 H는 AC의 중점이다. 따라서 Q는 AC의 수직이등분선 위에 있다.
삼각형 ABQ에서 $\angle\mathrm{PBQ}=\angle\mathrm{BAQ}+\angle\mathrm{BQA}$이고, 조건 (다)에 의해 $\angle\mathrm{BAQ}=\angle\mathrm{BQA}$이므로 $\overline{\mathrm{BQ}}=\overline{\mathrm{AB}}=2$이다.
이 조건과 직선 AC의 수직이등분선의 교점을 구하면 Q는 A에서 BC에 내린 수선의 발을 향한 방향에 있다. 이때 $\overline{\mathrm{AQ}}=2\sqrt3$이고 $\overline{\mathrm{DQ}}=\sqrt{2^2+(2\sqrt3)^2}=4$이다.
$\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}$이고 $\overrightarrow{\mathrm{CA}}\perp\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$와 $\overrightarrow{\mathrm{DQ}}$는 같은 방향이므로
$\begin{aligned}\overrightarrow{\mathrm{CP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}&=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{DQ}}\\&=0+3\times4=12\end{aligned}$
정답: $12$
30. 좌표공간에 정사면체 ABCD가 있다. 정삼각형 BCD의 외심을 중심으로 하고 점 B를 지나는 구를 $S$라 하자. 구 $S$와 선분 AB가 만나는 점 중 B가 아닌 점을 P, 구 $S$와 선분 AC가 만나는 점 중 C가 아닌 점을 Q, 구 $S$와 선분 AD가 만나는 점 중 D가 아닌 점을 R라 하고, 점 P에서 구 $S$에 접하는 평면을 $\alpha$라 하자. 구 $S$의 반지름의 길이가 $6$일 때, 삼각형 PQR의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이는 $k$이다. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
구 $S$의 중심, 즉 정삼각형 BCD의 외심을 O라 하자. $\overline{\mathrm{OB}}=6$이므로 정삼각형 BCD의 외접원 반지름 공식에서 정사면체의 모서리 길이는 $\overline{\mathrm{AB}}=6\sqrt3$이다.
정사면체에서 AO는 밑면 BCD에 수직이므로 직각삼각형 ABO에서 $\overline{\mathrm{AO}}=\sqrt{(6\sqrt3)^2-6^2}=6\sqrt2$이다.
점 P가 구 위에 있으므로 $\overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OB}}=6$이다. 따라서 삼각형 OBP는 이등변삼각형이다.
점 O에서 선분 BP에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 BP의 중점이다. 삼각형 ABO와 OBH의 닮음 관계에서 $\overline{\mathrm{BH}}=2\sqrt3$이므로 $\overline{\mathrm{BP}}=4\sqrt3$이다.
$\overline{\mathrm{AP}}=6\sqrt3-4\sqrt3=2\sqrt3$이다. 대칭성에 따라 $\overline{\mathrm{AQ}}=\overline{\mathrm{AR}}=2\sqrt3$이므로 삼각형 PQR는 한 변의 길이가 $2\sqrt3$인 정삼각형이다.
따라서 $S_{\triangle\mathrm{PQR}}=\dfrac{\sqrt3}4(2\sqrt3)^2=3\sqrt3$이다.
평면 PQR와 접평면 $\alpha$가 이루는 각을 $\theta$라 하자. 점 P에서 선분 OA에 내린 수선의 발을 E라 하면 두 평면의 이면각은 $\angle\mathrm{AOP}=\theta$이다.
$\overline{\mathrm{AP}}:\overline{\mathrm{PB}}=1:2$이므로 닮음비에 의하여 $\overline{\mathrm{OE}}=\dfrac23\overline{\mathrm{OA}}=4\sqrt2$이다. 따라서 $\cos\theta=\dfrac{\overline{\mathrm{OE}}}{\overline{\mathrm{OP}}}=\dfrac{4\sqrt2}{6}=\dfrac{2\sqrt2}3$이다.
정사영의 넓이는 $k=3\sqrt3\cos\theta=3\sqrt3\times\dfrac{2\sqrt2}3=2\sqrt6$이므로 $k^2=24$이다.
정답: $24$