2024 수능 수학 기출문제 풀이 해설

1. 문제: 홀수형+짝수형
2. 정답: 홀수형+짝수형
3. 해설: EBS 해설 홀수형

$\sqrt[3]{24}\times3^{\frac23}=(2^3\times3)^{\frac13}\times3^{\frac23}$

$=2\times3^{\frac13+\frac23}=2\times3=6$

정답: ① $6$

$f'(x)=6x^2-10x$이므로 미분계수의 정의에 의하여

$\displaystyle\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=f'(2)=24-20=4$

정답: ④ $4$

$\sin(-\theta)=-\sin\theta=\dfrac13$이므로 $\sin\theta=-\dfrac13$이다.

$\dfrac32\pi<\theta<2\pi$에서 $\cos\theta>0$이므로

$\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-\dfrac19}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$

$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=-\dfrac{1}{2\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{4}$

정답: ② $-\dfrac{\sqrt2}{4}$

두 식은 각 구간에서 연속이므로 $x=2$에서의 연속 조건을 확인한다.

$\displaystyle\lim\limits_{x\to2-}f(x)=6-a,\quad\displaystyle\lim\limits_{x\to2+}f(x)=f(2)=4+a$

$6-a=4+a$에서 $2a=2$, 따라서 $a=1$이다.

정답: ① $1$

$f'(x)=3x^2-6x$이므로

$f(x)=\displaystyle\int(3x^2-6x)\,dx=x^3-3x^2+C$이다.

$f(1)=1-3+C=6$에서 $C=8$이므로 $f(2)=8-12+8=4$이다.

정답: ④ $4$

$S_4-S_2=a_3+a_4=3a_4$이므로 $a_3=2a_4$이다.

공비를 $r$라 하면 $r=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac12$이다.

$a_5=a_1r^4=\dfrac34$에서 $a_1=\dfrac34\times2^4=12$이다.

$a_2=a_1r=6$이므로 $a_1+a_2=18$이다.

정답: ④ $18$

$f'(x)=x^2-4x-12=(x+2)(x-6)$이다.

$f'(x)$의 부호는 $x<-2$에서 양, $-2<x<6$에서 음, $x>6$에서 양이다. 따라서 $f(x)$는 $x=-2$에서 극대이고 $x=6$에서 극소이므로 $\alpha=-2$, $\beta=6$이다.

$\beta-\alpha=6-(-2)=8$이다.

정답: ⑤ $8$

$(x-1)f(x)=3x(x-1)(x^2+x+1)$이다.

$f(x)$가 다항함수이므로 항등식에서 $(x-1)$을 약분하여 $f(x)=3x(x^2+x+1)=3x^3+3x^2+3x$이다.

홀함수 부분인 $3x^3+3x$의 대칭 구간 적분은 $0$이다.

$\displaystyle\int\nolimits_{-2}^{2}f(x)\,dx=2\int\nolimits_{0}^{2}3x^2\,dx=2[x^3]_{0}^{2}=16$이다.

정답: ② $16$

내분점의 좌표 공식에 의하여 $\dfrac{m\log_5 12+(1-m)\log_5 3}{m+(1-m)}=1$이다.

$m(\log_5 12-\log_5 3)=1-\log_5 3$에서

$m\log_5 4=\log_5\dfrac53$이고 $m=\log_4\dfrac53$이다.

$4^m=4^{\log_4\frac53}=\dfrac53$이다.

정답: ④ $\dfrac53$

출발 위치가 원점이므로 $x_1(t)=\displaystyle\int\nolimits_0^t(u^2-6u+5)\,du=\dfrac13t^3-3t^2+5t$이다.

$x_2(t)=\displaystyle\int\nolimits_0^t(2u-7)\,du=t^2-7t$이다.

따라서 $f(t)=|x_1(t)-x_2(t)|=\left|\dfrac13t^3-4t^2+12t\right|$이다.

$g(t)=\dfrac13t^3-4t^2+12t=\dfrac13t(t-6)^2\ge0$ ($t\ge0$)이므로 $f(t)=g(t)$이다.

$g'(t)=t^2-8t+12=(t-2)(t-6)$이므로 $f$는 $[0,2]$에서 증가, $[2,6]$에서 감소, $[6,\infty)$에서 증가한다. 따라서 $a=2$, $b=6$이다.

점 $\mathrm Q$의 속도 $2t-7$은 $t=\dfrac72$에서 부호가 바뀌므로 이동 거리는

$\displaystyle\int\nolimits_2^6|2t-7|\,dt=\int\nolimits_2^{\frac72}(7-2t)\,dt+\int\nolimits_{\frac72}^6(2t-7)\,dt=\dfrac94+\dfrac{25}{4}=\dfrac{17}{2}$이다.

정답: ② $\dfrac{17}{2}$

$|a_6|=a_8$이므로 $a_6=a_8$ 또는 $-a_6=a_8$이다. 공차가 $0$이 아니므로 $a_6\ne a_8$이고 $a_6+a_8=0$이다.

$a_8\ge0$이면서 $a_6\ne a_8$이므로 $a_6<0<a_8$이다. 따라서 공차 $d$는 양수이다.

$a_6+a_8=(a_1+5d)+(a_1+7d)=0$에서 $a_1=-6d$이다.

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}\dfrac1{a_ka_{k+1}}=\dfrac1d\sum\limits_{k=1}^{5}\left(\dfrac1{a_k}-\dfrac1{a_{k+1}}\right)=\dfrac1d\left(\dfrac1{a_1}-\dfrac1{a_6}\right)$

$=\dfrac5{a_1(a_1+5d)}=\dfrac5{96}$이므로 $a_1(a_1+5d)=96$이다.

$(-6d)(-d)=96$에서 $d^2=16$이고 $d>0$이므로 $d=4$, $a_1=-24$이다.

$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{15}a_k=\dfrac{15}2\{2(-24)+14\times4\}=60$이다.

정답: ① $60$

$0<t<6$에서 $f(t)>0$이다. $x\ge t$ 부분은 점 $(t,f(t))$을 지나고 기울기가 $-1$인 직선으로, $x$축과 $(t+f(t),0)$에서 만난다.

따라서 구하는 넓이를 $S(t)$라 하면 $S(t)=\displaystyle\int\nolimits_0^t f(x)\,dx+\dfrac12\{f(t)\}^2$이다.

$S'(t)=f(t)+f(t)f'(t)=f(t)\{1+f'(t)\}$이다.

$f'(t)=\dfrac19(3t^2-30t+54)$이므로 $1+f'(t)=\dfrac13(t-3)(t-7)$이다.

$0<t<6$에서 $f(t)>0$이므로 $S'(t)$의 부호는 $t<3$에서 양, $3<t<6$에서 음이다. 따라서 $t=3$에서 최댓값이다.

$f(3)=\dfrac19\times3\times(-3)\times(-6)=6$이다.

$S(3)=\dfrac19\displaystyle\int\nolimits_0^3(x^3-15x^2+54x)\,dx+\dfrac12\times6^2$

$=\dfrac19\left[\dfrac{x^4}4-5x^3+27x^2\right]_0^3+18=\dfrac94+12+18=\dfrac{129}{4}$이다.

정답: ③ $\dfrac{129}{4}$

$\overline{\mathrm{AC}}=c$ ($c>0$)라 하면 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 코사인법칙에 의하여

$13=3^2+c^2-2\times3\times c\cos\dfrac\pi3$이므로 $c^2-3c-4=0$, 즉 $(c+1)(c-4)=0$이다.

$c>0$이므로 $\overline{\mathrm{AC}}=4$이다.

$S_1=\dfrac12\times3\times4\times\sin\dfrac\pi3=3\sqrt3$이다.

$S_2=\dfrac12\overline{\mathrm{AD}}\overline{\mathrm{CD}}\sin(\angle\mathrm{ADC})=\dfrac92\sin(\angle\mathrm{ADC})$이다.

$\dfrac92\sin(\angle\mathrm{ADC})=\dfrac56\times3\sqrt3$에서 $\sin(\angle\mathrm{ADC})=\dfrac{5\sqrt3}9$이다.

삼각형 $\mathrm{ACD}$에서 사인법칙을 적용하면 $\dfrac{\overline{\mathrm{AC}}}{\sin(\angle\mathrm{ADC})}=2R$이다.

$R=\dfrac{6\sqrt3}5$이고, 따라서 $\dfrac{R}{\sin(\angle\mathrm{ADC})}=\dfrac{\frac{6\sqrt3}5}{\frac{5\sqrt3}9}=\dfrac{54}{25}$이다.

정답: ① $\dfrac{54}{25}$

$x\le2$에서 $f'(x)=6x^2-6=6(x-1)(x+1)$이고,

$f(-1)=5$, $f(1)=-3$, $f(2)=5$이다. 따라서 이 부분의 함수는 $x=-1$에서 극대, $x=1$에서 극소를 가진다.

$(i)$ $b=1$ 또는 $b=2$이면

$x>2$에서 $f$가 증가하므로 $-3<k<5$인 모든 $k$에 대하여 $g(k)=\lim_{t\to k-}g(t)=\lim_{t\to k+}g(t)=3$이다.

즉 $9$가 되는 $k$가 무수히 많으므로 조건에 어긋난다.

$(ii)$ $b\ge3$이면 $x>2$에 있는 이차함수 부분의 축은 $x=1+\dfrac b2>2$이고, 최솟값을 $m$이라 한다.

$m>-3$

$m<-3$

$m=-3$

(ii-①) $m>-3$이면 $-3<k<\min(m,5)$의 모든 $k$에 대해 합이 $9$가 되므로 조건에 어긋난다.

(ii-②) $m<-3$이면 $m<k<-3$의 모든 $k$에 대해 합이 $9$가 되므로 조건에 어긋난다.

따라서 $m=-3$이어야 한다.

(ii-③) $m=-3$이면 $g(k)$ 및 좌우극한은 $k<-3$에서 모두 $1$, $-3<k<5$에서 모두 $5$, $5<k<9$에서 모두 $2$, $k>9$에서 모두 $1$이다.

$k=-3$에서는 $g(k)=3$, 좌극한은 $1$, 우극한은 $5$이므로 합이 $9$이다. $k=5$에서는 $g(k)=4$, 좌극한은 $5$, 우극한은 $2$로 합이 $11$이고, $k=9$에서는 $1+2+1=4$이다. 따라서 조건을 만족시키는 $k$는 $-3$ 하나뿐이다.

이차함수 부분의 최솟값은 $m=9-\dfrac{a(b-2)^2}{4}$이므로 $m=-3$에서 $a(b-2)^2=48$이다.

$a$, $b$가 자연수이고 $b\ge3$이므로 $(a,b)=(48,3),(12,4),(3,6)$이다.

각각 $a+b=51,16,9$이므로 최댓값은 $51$이다.

정답: ① $51$

$a_1$이 자연수이므로 모든 항 $a_n$은 자연수이다. $a_6+a_7=3$에서 $(a_6,a_7)=(1,2)$ 또는 $(2,1)$이다.

각 항의 역방향 전이는 다음과 같다. 다음 항이 $y$일 때 이전 항은 짝수 $2y$가 될 수 있고, $y$가 $2$의 홀수 거듭제곱이면 이전 항은 해당 홀수 지수도 될 수 있다.

$(i)$ $a_6=1$, $a_7=2$인 경우, 자연수 $a_5$에 대하여 $a_6=1$이 되는 경우는 $a_5=2$뿐이다.

$a_5=2$로부터 가능한 $a_4$는 $1$, $4$이고, 이로부터 $a_3$은 각각 $2$, 또는 $8$이다. 중복 없이 역산하여 $a_1=2,6,8,32$를 얻는다.

$a_5=2$일 때 가능한 $a_4$는 $1,4$이고, 이로부터 $a_3$은 각각 $2,8$이다. $a_3=2$에서 $a_2=1$ 또는 $4$, $a_3=8$에서 $a_2=3$ 또는 $16$이다. 따라서 $a_1$은 차례로 $2,8,6,32$이다.

$(ii)$ $a_6=2$, $a_7=1$인 경우, 위 $(i)$에서 한 단계 앞의 역방향 계산을 이용하여 가능한 $a_2$는 $2,6,8,32$이다.

$a_2=2$일 때 $a_1=1$ 또는 $4$, $a_2=6$일 때 $a_1=12$, $a_2=8$일 때 $a_1=3$ 또는 $16$, $a_2=32$일 때 $a_1=5$ 또는 $64$이다.

따라서 $(ii)$에서 가능한 $a_1$은 $1,3,4,5,12,16,64$이다.

두 경우의 모든 초기값은 서로 다르므로 합은 $(2+6+8+32)+(1+3+4+5+12+16+64)=153$이다.

정답: ③ $153$