2025학년도 대학수학능력시험 수학 기출문제 홀수형의 문제와 풀이를 정리한 자료입니다. 오류가 있는 풀이나 문제는 아래의 기출문제 파일과 EBS 해설을 참고해 주세요.
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2021 수능 수학 가형 홀수형
5지선다형
1. $\sqrt[3]{9}\times 3^{\frac{1}{3}}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $3^{\frac{1}{2}}$ ③ $3$ ④ $3^{\frac{3}{2}}$ ⑤ $9$
풀이
거듭제곱근을 지수로 나타내고 지수법칙을 적용한다.
$\begin{aligned}\sqrt[3]{9}\times3^{\frac{1}{3}}&=(3^2)^{\frac{1}{3}}\times3^{\frac{1}{3}}\\&=3^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}}\\&=3\end{aligned}$
정답: ③ $3$
2. $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{4n^2+2n+1}-2n}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
분모의 켤레식을 분자와 분모에 곱하여 유리화한다.
$\begin{aligned}&\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{4n^2+2n+1}-2n}\\&=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{4n^2+2n+1}+2n}{(4n^2+2n+1)-(2n)^2}\\&=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{4n^2+2n+1}+2n}{2n+1}\\&=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{1+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{4n^2}}+1}{1+\dfrac{1}{2n}}\\&=\dfrac{1+1}{1}=2\end{aligned}$
정답: ② $2$
3. $\dfrac{\pi}{2}<\theta<\pi$인 $\theta$에 대하여 $\sin\theta=\dfrac{\sqrt{21}}{7}$일 때, $\tan\theta$의 값은? [2점]
① $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ② $-\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ③ $0$ ④ $\dfrac{\sqrt{3}}{4}$ ⑤ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
풀이
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$이고 $\theta$는 제2사분면의 각이므로 $\cos\theta<0$이다.
$\begin{aligned}\cos\theta&=-\sqrt{1-\sin^2\theta}\\&=-\sqrt{1-\dfrac{21}{49}}=-\dfrac{2\sqrt7}{7}\end{aligned}$
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{21}}7}{-\dfrac{2\sqrt7}7}=-\dfrac{\sqrt3}2$
정답: ① $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
4. 두 사건 $A$, $B$에 대하여
$P(B\mid A)=\dfrac14,\quad P(A\mid B)=\dfrac13,\quad P(A)+P(B)=\dfrac7{10}$
일 때, $P(A\cap B)$의 값은? [3점]
① $\dfrac17$ ② $\dfrac18$ ③ $\dfrac19$ ④ $\dfrac1{10}$ ⑤ $\dfrac1{11}$
풀이
조건부확률의 정의를 적용한다.
$\begin{aligned}P(B\mid A)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac14\\ P(A)&=4P(A\cap B)\end{aligned}$
$\begin{aligned}P(A\mid B)&=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac13\\P(B)&=3P(A\cap B)\end{aligned}$
$\begin{aligned}\dfrac7{10}&=P(A)+P(B)\\&=7P(A\cap B)\end{aligned}$
$P(A\cap B)=\dfrac1{10}$
정답: ④ $\dfrac{1}{10}$
5. 부등식 $\left(\dfrac19\right)^x<3^{21-4x}$을 만족시키는 자연수 $x$의 개수는? [3점]
① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$
풀이
$\left(\dfrac19\right)^x=3^{-2x}$이고 밑 $3$은 $1$보다 크므로 지수를 비교한다.
$\begin{aligned}3^{-2x}&<3^{21-4x}\\-2x&<21-4x\\2x&<21\\x&<\dfrac{21}{2}\end{aligned}$
이를 만족시키는 자연수는 $1,2,\ldots,10$의 $10$개이다.
정답: ⑤ $10$
6. 정규분포 $N(20,5^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $16$인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 $\overline X$라 할 때, $E(\overline X)+\sigma(\overline X)$의 값은? [3점]
① $\dfrac{83}{4}$ ② $\dfrac{85}{4}$ ③ $\dfrac{87}{4}$ ④ $\dfrac{89}{4}$ ⑤ $\dfrac{91}{4}$
풀이
표본평균의 평균은 모평균과 같고, 표준편차는 모표준편차를 표본 크기의 제곱근으로 나눈 값이다.
$E(\overline X)=20,\quad\sigma(\overline X)=\dfrac{5}{\sqrt{16}}=\dfrac54$
$E(\overline X)+\sigma(\overline X)=20+\dfrac54=\dfrac{85}{4}$
정답: ② $\dfrac{85}{4}$
7. 함수 $f(x)=(x^2-2x-7)e^x$의 극댓값과 극솟값을 각각 $a$, $b$라 할 때, $a\times b$의 값은? [3점]
① $-32$ ② $-30$ ③ $-28$ ④ $-26$ ⑤ $-24$
풀이
곱의 미분법을 적용하면
$\begin{aligned}f'(x)&=(2x-2)e^x+(x^2-2x-7)e^x\\&=e^x(x^2-9)\\&=e^x(x+3)(x-3)\end{aligned}$
$e^x>0$이므로 $f'(x)$의 부호는 $x<-3$에서 양, $-3<x<3$에서 음, $x>3$에서 양이다. 따라서 $x=-3$에서 극대, $x=3$에서 극소가 된다.
$\begin{aligned}a&=f(-3)=8e^{-3}\\b&=f(3)=-4e^3\\a\times b&=8e^{-3}\times(-4e^3)=-32\end{aligned}$
정답: ① $-32$
8. 곡선 $y=e^{2x}$과 $x$축 및 두 직선 $x=\ln\dfrac12$, $x=\ln2$로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]
① $\dfrac53$ ② $\dfrac{15}8$ ③ $\dfrac{15}7$ ④ $\dfrac52$ ⑤ $3$
풀이
$e^{2x}>0$이므로 구하는 넓이는 정적분으로 계산한다.
$\begin{aligned}S&=\displaystyle\int\nolimits_{\ln\frac12}^{\ln2}e^{2x}\,dx\\&=\left[\dfrac12e^{2x}\right]_{\ln\frac12}^{\ln2}\\&=\dfrac12\left(4-\dfrac14\right)\\&=\dfrac{15}{8}\end{aligned}$
정답: ② $\dfrac{15}{8}$
9. 문자 A, B, C, D, E가 하나씩 적혀 있는 $5$장의 카드와 숫자 $1,2,3,4$가 하나씩 적혀 있는 $4$장의 카드가 있다. 이 $9$장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 문자 A가 적혀 있는 카드의 바로 양옆에 각각 숫자가 적혀 있는 카드가 놓일 확률은? [3점]
① $\dfrac5{12}$ ② $\dfrac13$ ③ $\dfrac14$ ④ $\dfrac16$ ⑤ $\dfrac1{12}$
풀이
$9$장의 카드는 서로 다르므로 가능한 배열은 $9!$가지이다.
A의 왼쪽과 오른쪽에 올 숫자 카드 두 장을 순서 있게 선택하는 경우는 ${}_4P_2=4\times3=12$가지이다.
선택한 두 숫자 카드와 A를 하나의 묶음으로 보면, 묶음과 나머지 카드 $6$개를 배열하는 경우는 $7!$가지이다.
$P=\dfrac{12\times7!}{9!}=\dfrac16$
정답: ④ $\dfrac16$
10. $\angle A=\dfrac\pi3$이고 $\overline{AB}:\overline{AC}=3:1$인 삼각형 ABC가 있다. 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 $7$일 때, 선분 AC의 길이는? [3점]
① $2\sqrt5$ ② $\sqrt{21}$ ③ $\sqrt{22}$ ④ $\sqrt{23}$ ⑤ $2\sqrt6$
풀이
외접원의 반지름이 $7$이므로 사인법칙에 의해
$\dfrac{\overline{BC}}{\sin\dfrac\pi3}=2\times7,\quad\overline{BC}=7\sqrt3$
$\overline{AC}=k\;(k>0)$라 놓으면 $\overline{AB}=3k$이다. 코사인법칙을 적용하면
$\begin{aligned}\overline{BC}^{\,2}&=\overline{AB}^{\,2}+\overline{AC}^{\,2}-2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos\dfrac\pi3\\&=9k^2+k^2-3k^2=7k^2\end{aligned}$
$7\sqrt3=\sqrt7k$이므로 $k=\sqrt{21}$이다.
정답: ② $\sqrt{21}$
11. $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{3n}{3n+k}}$의 값은? [3점]
① $4\sqrt3-6$ ② $\sqrt3-1$ ③ $5\sqrt3-8$ ④ $2\sqrt3-3$ ⑤ $3\sqrt3-5$
풀이
합의 극한을 정적분으로 나타내기 위해 분모와 분자를 $n$으로 나눈다.
$\begin{aligned}&\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac{3n}{3n+k}}\\&=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac1n\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}\sqrt{\dfrac3{3+\dfrac kn}}\\&=\displaystyle\int\nolimits_0^1\sqrt{\dfrac3{3+x}}\,dx\\&=\sqrt3\displaystyle\int\nolimits_3^4t^{-\frac12}\,dt\\&=2\sqrt3\left[\sqrt t\right]_3^4\\&=4\sqrt3-6\end{aligned}$
정답: ① $4\sqrt3-6$
12. 확률변수 $X$는 평균이 $8$, 표준편차가 $3$인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$는 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다.
두 확률변수 $X$, $Y$가$P(4\le X\le8)+P(Y\ge8)=\dfrac12$ 을 만족시킬 때, $P\left(Y\le8+\dfrac{2\sigma}3\right)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]
① $0.8351$ ② $0.8413$ ③ $0.9332$ ④ $0.9772$ ⑤ $0.9938$
풀이
$X\sim N(8,3^2)$이므로 표준화를 이용하면
$P(4\le X\le8)=P\left(-\dfrac43\le Z\le0\right)=P\left(0\le Z\le\dfrac43\right)$
$P(Y\ge8)=P\left(Z\ge\dfrac{8-m}{\sigma}\right)$이고 두 확률의 합이 $\dfrac12$이므로
$\dfrac{8-m}{\sigma}=\dfrac43,\qquad m=8-\dfrac{4\sigma}3$
$\begin{aligned}P\left(Y\le8+\dfrac{2\sigma}3\right)&=P\left(Z\le\dfrac{8+\dfrac{2\sigma}3-m}{\sigma}\right)\\&=P(Z\le2)\\&=\dfrac12+0.4772\\&=0.9772\end{aligned}$
정답: ④ $0.9772$
13. $\dfrac14<a<1$인 실수 $a$에 대하여 직선 $y=1$이 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=\log_{4a}x$와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 $y=-1$이 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=\log_{4a}x$와 만나는 점을 각각 C, D라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [3점]
<보기>
ㄱ. 선분 AB를 $1:4$로 외분하는 점의 좌표는 $(0,1)$이다.
ㄴ. 사각형 ABCD가 직사각형이면 $a=\dfrac12$이다.
ㄷ. $\overline{AB}<\overline{CD}$이면 $\dfrac12<a<1$이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
풀이
교점의 좌표는 $A(a,1)$, $B(4a,1)$, $C\left(\dfrac1a,-1\right)$, $D\left(\dfrac1{4a},-1\right)$이다.
ㄱ. 선분 AB를 $1:4$로 외분하는 점의 좌표는
$\left(\dfrac{1\cdot4a-4\cdot a}{1-4},\dfrac{1\cdot1-4\cdot1}{1-4}\right)=(0,1)$
이므로 참이다.
ㄴ. 사각형 ABCD가 직사각형이면 A와 D의 $x$좌표가 같아야 하므로
$a=\dfrac1{4a}\implies a^2=\dfrac14\implies a=\dfrac12$
$\dfrac14<a<1$이므로 참이다.
ㄷ. 두 선분의 길이를 비교하면
$\overline{AB}=3a,\quad\overline{CD}=\dfrac1a-\dfrac1{4a}=\dfrac3{4a}$
$\begin{aligned}\overline{AB}<\overline{CD}&\iff3a<\dfrac3{4a}\\&\iff a^2<\dfrac14\\&\iff\dfrac14<a<\dfrac12\end{aligned}$
따라서 ㄷ은 거짓이고, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
정답: ③ ㄱ, ㄴ