단답형
22. $\left(x+\dfrac3{x^2}\right)^5$의 전개식에서 $x^2$의 계수를 구하시오. [3점]
풀이
이항정리를 적용하면 일반항은
${}_5C_r\,x^{5-r}\left(\dfrac3{x^2}\right)^r={}_5C_r\,3^rx^{5-3r}$
$x^2$의 항이 되려면 $5-3r=2$이므로 $r=1$이다.
따라서 계수는 ${}_5C_1\times3=5\times3=15$이다.
정답: $15$
23. 함수 $f(x)=\dfrac{x^2-2x-6}{x-1}$에 대하여 $f'(0)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
몫의 미분법에 의해
$f'(x)=\dfrac{(2x-2)(x-1)-(x^2-2x-6)}{(x-1)^2}$
$f'(0)=\dfrac{(-2)(-1)-(-6)}{(-1)^2}=8$
정답: $8$
24. 그림과 같이 $\overline{AB}=2$, $\angle B=\dfrac\pi2$인 직각삼각형 ABC에서 중심이 A, 반지름의 길이가 $1$인 원이 두 선분 AB, AC와 만나는 점을 각각 D, E라 하자. 호 DE의 삼등분점 중 점 D에 가까운 점을 F라 하고, 직선 AF가 선분 BC와 만나는 점을 G라 하자.
$\angle BAG=\theta$라 할 때, 삼각형 ABG의 내부와 부채꼴 ADF의 외부의 공통부분의 넓이를 $f(\theta)$, 부채꼴 AFE의 넓이를 $g(\theta)$라 하자. $40\times\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{f(\theta)}{g(\theta)}$의 값을 구하시오. (단, $0<\theta<\dfrac\pi6$) [3점]
풀이
호 DE를 삼등분하였으므로 $\angle DAF=\theta$, $\angle EAF=2\theta$이다. 반지름이 $1$인 부채꼴 AFE의 넓이는
$g(\theta)=\dfrac12\times1^2\times2\theta=\theta$
직각삼각형 ABG에서 $\overline{BG}=\overline{AB}\tan\theta=2\tan\theta$이다.
구하는 영역의 넓이는 삼각형 ABG에서 부채꼴 ADF의 넓이를 뺀 값이다.
$\begin{aligned}f(\theta)&=\dfrac12\times2\times2\tan\theta-\dfrac12\times1^2\times\theta\\&=2\tan\theta-\dfrac\theta2\end{aligned}$
$\begin{aligned}&40\times\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\dfrac{f(\theta)}{g(\theta)}\\&=40\times\displaystyle\lim\limits_{\theta\to0+}\left(2\dfrac{\tan\theta}{\theta}-\dfrac12\right)\\&=40\left(2-\dfrac12\right)=60\end{aligned}$
정답: $60$
25. 첫째항이 $3$인 등차수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k=55$일 때, $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5k(a_k-3)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
공차를 $d$라 하면 $a_k=3+(k-1)d$이다. 첫 $5$개 항의 합에서
$\begin{aligned}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k&=\dfrac52(6+4d)=55\\6+4d&=22\\d&=4\end{aligned}$
따라서 $a_k=4k-1$이고 $a_k-3=4(k-1)$이다.
$\begin{aligned}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5k(a_k-3)&=4\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(k^2-k)\\&=4\left(\dfrac{5\cdot6\cdot11}{6}-\dfrac{5\cdot6}{2}\right)\\&=4(55-15)=160\end{aligned}$
정답: $160$
26. 세 학생 A, B, C를 포함한 $6$명의 학생이 있다. 이 $6$명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수를 구하시오. (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]
(가) A와 B는 이웃한다.
(나) B와 C는 이웃하지 않는다.
풀이
A와 B를 한 묶음으로 보면 $5$개의 대상을 원순열로 배열하고 묶음 내부를 배열하는 경우의 수는 $(5-1)!\times2!=48$이다.
이 중 B와 C도 이웃하는 경우를 뺀다. A와 B의 순서를 먼저 정하면 B의 나머지 이웃 자리 하나에 C가 놓여야 한다. ABC 또는 CBA 형태의 묶음과 나머지 $3$명을 원순열로 배열하는 경우이다.
이 경우의 수는 $2\times(4-1)!=12$이므로 구하는 경우의 수는 $48-12=36$이다.
정답: $36$
27. $\log_4(2n^2)-\dfrac12\log_2\sqrt n$의 값이 $40$ 이하의 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수를 구하시오. [4점]
풀이
로그의 성질과 밑변환 공식을 적용하면
$\begin{aligned}\log_4(2n^2)-\dfrac12\log_2\sqrt n&=\log_4(2n^2)-\log_4\sqrt n\\&=\log_4(2n^{\frac32})\end{aligned}$
이 값이 $1$부터 $40$까지의 자연수 $k$라면 $2n^{\frac32}=4^k$이다.
$n=4^{\frac{2k-1}{3}}=2^{\frac{4k-2}{3}}$
$n$이 자연수가 되려면 $2k-1$이 $3$의 배수여야 한다. 따라서 $k=2,5,8,\ldots,38$이다.
개수는 $\dfrac{38-2}{3}+1=13$이다.
정답: $13$
28. 두 상수 $a$, $b$ ($a<b$)에 대하여 함수 $f(x)$를
$f(x)=(x-a)(x-b)^2$
이라 하자. 함수 $g(x)=x^3+x+1$의 역함수 $g^{-1}(x)$에 대하여 합성함수 $h(x)=(f\circ g^{-1})(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]
(가) 함수 $(x-1)|h(x)|$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) $h'(3)=2$
풀이
$k(x)=g^{-1}(x)$라 놓으면 $h(x)=(k(x)-a)(k(x)-b)^2$이다.
$g'(x)=3x^2+1>0$이므로 $k(x)$는 미분가능하고 엄격히 증가한다. $k(x)-a$는 $x=g(a)$에서 단순 영점을 가지며, $k(x)-b$는 제곱으로 나타난다.
함수 $|h(x)|$가 미분가능하지 않을 수 있는 점은 $x=g(a)$이다. 함수 $(x-1)|h(x)|$가 그 점에서도 미분가능하려면 $g(a)=1$이어야 한다.
$a^3+a+1=1\iff a(a^2+1)=0\implies a=0$
따라서 $f(x)=x(x-b)^2$이고 $a<b$이므로 $b>0$이다.
$g(1)=3$이므로 $k(3)=1$이다. 역함수의 미분법에서
$k'(3)=\dfrac1{g'(1)}=\dfrac14$
$h'(3)=f'(k(3))k'(3)=\dfrac{f'(1)}4=2$이므로 $f'(1)=8$이다.
$\begin{aligned}f'(x)&=(x-b)^2+2x(x-b)\\&=(x-b)(3x-b)\end{aligned}$
따라서 $(1-b)(3-b)=8$에서
$\begin{aligned}b^2-4b-5&=0\\(b+1)(b-5)&=0\end{aligned}$
$b>0$이므로 $b=5$이고 $f(8)=8(8-5)^2=72$이다.
정답: $72$
29. 네 명의 학생 A, B, C, D에게 검은색 모자 $6$개와 흰색 모자 $6$개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오. (단, 같은 색 모자끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]
(가) 각 학생은 $1$개 이상의 모자를 받는다.
(나) 학생 A가 받는 검은색 모자의 개수는 $4$ 이상이다.
(다) 흰색 모자보다 검은색 모자를 더 많이 받는 학생은 A를 포함하여 $2$명뿐이다.
풀이
A는 검은색 모자를 $4$개 또는 $5$개 받을 수 있다. $6$개를 받으면 A를 제외한 학생 중 검은색 모자가 더 많은 학생이 생길 수 없으므로 제외한다.
(ⅰ) A가 검은색 모자를 $4$개 받는 경우: 다른 학생들에게 남은 검은색 모자 $2$개를 배분하는 유형은 $(2,0,0)$과 $(1,1,0)$이다.
① $(2,0,0)$형에서는 검은색 모자 $2$개를 받는 학생을 정하는 방법이 $3$가지이다. A가 받는 흰 모자 수를 $a$라 하면 $0\le a\le3$이고, 검은 모자 $2$개를 받는 학생의 흰 모자 수는 $b=0$ 또는 $1$이다. 나머지 두 학생은 흰 모자를 각각 $1$개 이상 받아야 한다.
$b=0$일 때, 나머지 두 학생의 흰 모자 수에서 각각 $1$씩 빼면 $a+c+d=4$ ($a\le3$)이다. 음이 아닌 정수해 수는 ${}_3H_4-1=15-1=14$이다.
$b=1$일 때에는 $a+c+d=3$이므로 경우의 수는 ${}_3H_3=10$이다.
따라서 이 유형의 경우의 수는 $3(14+10)=72$이다.
② $(1,1,0)$형에서는 검은 모자가 $0$개인 학생을 정하는 방법이 $3$가지이고, 검은 모자 $1$개를 받는 두 학생 중 흰 모자를 $0$개 받는 학생을 정하는 방법이 $2$가지이다.
나머지 흰 모자 $6$개를 분배하되 A는 $3$개 이하, 검은 모자 $1$개와 $0$개를 받는 나머지 두 학생은 흰 모자를 각각 $1$개 이상 받아야 한다. 각각 $1$개씩 제외하면 $a+c+d=4$, $0\le a\le3$이므로 경우의 수는 $14$이다.
따라서 이 유형의 경우의 수는 $3\times2\times14=84$이다.
(ⅱ) A가 검은색 모자를 $5$개 받는 경우: 나머지 검은색 모자 $1$개를 받을 학생은 $3$가지 방법으로 정한다. 이 학생이 두 번째로 검은 모자를 더 많이 받은 학생이 되려면 흰 모자를 받지 않아야 한다.
나머지 세 학생 중 A의 흰 모자 수는 $4$개 이하이며, 검은 모자가 $0$개인 두 학생은 각각 흰 모자를 $1$개 이상 받아야 한다. 따라서 각각 $1$개씩 제외하면 $a+c+d=4$이고 음이 아닌 정수해는 ${}_3H_4=15$가지이다.
이 유형의 경우의 수는 $3\times15=45$이다.
모든 경우를 더하면 $72+84+45=201$이다.
정답: $201$
30. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f(\sin^2\pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0<x<1$에서 함수 $g(x)$가 극대가 되는 $x$의 개수가 $3$이고, 이때 극댓값이 모두 동일하다.
(나) 함수 $g(x)$의 최댓값은 $\dfrac12$이고 최솟값은 $0$이다.
$f(2)=a+b\sqrt2$일 때, $a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 유리수이다.) [4점]
풀이
$\sin^2\pi(1-x)=\sin^2\pi x$이므로 $g(1-x)=g(x)$이다. 또한 $\sin^2\pi x$는 $(0,\dfrac12)$에서 $0$에서 $1$까지 증가하고 $(\dfrac12,1)$에서 $1$에서 $0$까지 감소한다.
따라서 $0<x<1$에서 극댓값이 같은 극대점이 $3$개 존재하려면 $f(t)$가 $0<t<1$의 어떤 $t=c$에서 극댓값 $\dfrac12$를 갖고 $t=1$에서도 $f(1)=\dfrac12$여야 한다. 이때 $0<c<1$이다.
$f(t)-\dfrac12$는 $t=c$에서 중근, $t=1$에서 근을 가지며 최고차항의 계수가 $1$이므로
$f(t)=(t-c)^2(t-1)+\dfrac12\qquad(0<c<1)$
이를 미분하면
$\begin{aligned}f'(t)&=2(t-c)(t-1)+(t-c)^2\\&=(t-c)(3t-c-2)\end{aligned}$
$[0,1]$에서 최솟값은 끝점 $t=0$ 또는 내부의 $t=\dfrac{c+2}{3}$에서 나타날 수 있다. 내부의 값은
$f\left(\dfrac{c+2}{3}\right)=\dfrac12+\dfrac4{27}(c-1)^3>\dfrac12-\dfrac4{27}>0$
또한 $f(1)=\dfrac12>0$이므로 주어진 최솟값 $0$은 $t=0$에서 나타나야 한다.
$f(0)=-c^2+\dfrac12=0\implies c=\dfrac{\sqrt2}{2}\quad(0<c<1)$
따라서
$\begin{aligned}f(2)&=\left(2-\dfrac{\sqrt2}2\right)^2(2-1)+\dfrac12\\&=4-2\sqrt2+\dfrac12+\dfrac12\\&=5-2\sqrt2\end{aligned}$
$a=5$, $b=-2$이므로 $a^2+b^2=25+4=29$이다.
정답: $29$