두 점 사이의 거리를 이용한 증명

평행사변형 $ABCD$의 꼭짓점 $A$를 원점에 놓고 변 $AB$를 $x$축 위에 놓고 각 꼭짓점의 좌표를 $A(0,0)$, $B(a,0)$, $D(b,c)$로 놓으면 $AB\pa DC$, $AD\pa BC$이므로 점 $C$의 좌표는 $C(a+b,c)$가 됩니다.

먼저 평행사변형의 네 변의 길이의 제곱한 결과는 다음과 같고

• $\overline{AB}^2=\overline{CD}^2=a^2$
• $\overline{AD}^2=\overline{BC}^2=b^2+c^2$

따라서 평행사변형의 네변의 길이를 제곱해 합하면 $\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2=2\l(a^2+b^2+c^2\r)$입니다.

위의 그림에서 대각선의 길이는 다음 두 가지 방법으로 구할 수 있습니다.

1. 두 직각삼각형에 피타고라스 정리를 이용
2. 두 점사이의 거리로 계산

두 점사이의 거리로 계산한 두 대각선의 길이는 $\overline{AC}=\sqrt{(a+b)^2+c^2}$, $\overline{BD}^2=\sqrt{(a-b)^2+c^2}$이고, 제곱해서 더하면 $\overline{AC}^2+\overline{BD}^2=(a+b)^2+(a-b)^2+2c^2=2\l(a^2+b^2+c^2\r)$이 됩니다. 따라서 다음이 성립합니다.

$\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CD}^2+\overline{DA}^2=\overline{AC}^2+\overline{BD}^2$

즉, 평행사변형의 두 대각선의 길이의 제곱의 합은 네 변의 길이의 제곱의 합과 같습니다. 이를 평행사변형의 법칙이라고 합니다.

선분 $AB$의 중점 $M$에 대하여 $\overline{AB}$는 $x$축 위에 놓고 중점 $M$은 원점에 오도록 두면 $A(-a,0)$, $B(a,0)$ (a>0)로 둘 수 있습니다. $\overline{AB}$의 수직 이등분선$l$은 중점$M$(원점)을 지나고 $\overline{AB}$($x$축)에 수직이므로 $y$축이 됩니다. 이를 이용해 다음을 증명해 봅시다.

$\overline{AB}$의 수직이등분선 위의 점 $\Longleftrightarrow$ 점에서 선분$\overline{AB}$의 양 끝점 까지 거리가 같다.

$(\Longrightarrow)$

수직이등분선 위의 점를 $P(0,k)$로 두면 $\overline{PA}$와 $\overline{PB}$는 다음과 같습니다.

$\overline{PA}=\sqrt{\{0-(-a)\}^2+(k-0)^2}=\sqrt{a^2+k^2}$
$\overline{PB}=\sqrt{(0-a)^2+(y-0)^2}=\sqrt{a^2+y^2}$

따라서 $\overline{PA}=\overline{PB}$가 성립합니다.

$(\Longleftarrow)$

$Q(x,y)$가 두 점 $A(-a,0)$, $B(a,0)$에서 같은 거리에 있으면 $\overline{AQ}=\overline{BQ}$이므로 다음이 성립합니다.

$\sqrt{(x+a)^2+y^2}=\sqrt{(x-a)^2+y^2}$

제곱하여 정리하면, $(x+a)^2+y^2=(x-a)^2+y^2$이고 정리하면, $4ax=0$입니다.

$a>0$이므로 $x=0$입니다. 따라서 점 $P$는 직선 $x=0$, 즉 선분 $AB$의 수직이등분선 위에 있습니다.

선분 BC의 중점 M을 원점, 선분 BC를 $x$축에 두면 $\triangle ABC$는 다음과 같이 좌표평면에 옮길 수 있습니다.

삼각형의 세 점의 좌표를 $C(c,0)$, $B(-c,0)$, $A(a,b)$ $(c>0)$로 두고 $\overline{AB}^2+\overline{AC}^2$, $2(\overline{AM}^2+\overline{BM}^2)$를 계산하여 비교하면 다음과 같습니다.

1. $\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=\{(a+c)^2+b^2\}+\{(a-c)^2+b^2\}=2(a^2+b^2+c^2)$
2. $\overline{AM}^2=a^2+b^2$, $\overline{BM}^2=c^2$이므로 $\overline{AM}^2+\overline{BM}=a^2+b^2+c^2$

따라서 $\overline{AB}^2+\overline{AC}^2=2(\overline{AM}^2+\overline{BM}^2)$이 성립합니다.

위의 좌표 계산으로 얻은 관계는 삼각형의 중선에 관한 대표적인 성질로 정리할 수 있습니다.