2021 수능 수학 나형 기출문제 풀이 해설

1. 문제
   • 나형: 홀수형+짝수형
2. 정답
   • 가형+나형
3. 해설
   • 나형 EBS 해설 (홀수형)

지수법칙 $a^0=1$을 적용하고 $8=2^3$으로 나타낸다.

$\begin{aligned}3^0\times8^{\frac23}&=1\times(2^3)^{\frac23}\\&=2^{3\times\frac23}\\&=2^2=4\end{aligned}$

정답: ④ $4$

등비수열의 공비를 $r$이라 하면 $\dfrac{a_3}{a_2}=r=2$이다.

$\begin{aligned}a_n&=a_1r^{n-1}=\dfrac18\times2^{n-1}\\a_5&=\dfrac18\times2^4=2\end{aligned}$

정답: ④ $2$

분자를 인수분해하여 $x-2$를 약분한다.

$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2+2x-8}{x-2}&=\displaystyle\lim\limits_{x\to2}\dfrac{(x-2)(x+4)}{x-2}\\&=\displaystyle\lim\limits_{x\to2}(x+4)=6\end{aligned}$

정답: ③ $6$

$-1\le\cos x\le1$이므로

$-4\le4\cos x\le4,\qquad -1\le4\cos x+3\le7$이다.

$\cos x=1$일 때 최댓값 $7$을 갖는다.

정답: ② $7$

$A,B$가 독립이므로 $P(A\mid B)=P(A)$이고, $P(A\cap B)=P(A)P(B)$이다.

$P(A\mid B)=P(B)$이므로 $P(A)=P(B)$이다.

$P(A)^2=P(A)P(B)=\dfrac19$이므로 확률은 음이 아니어서 $P(A)=\dfrac13$이다.

정답: ② $\dfrac13$

$f'(x)=4x^3+3$이므로 $f'(2)=4\times2^3+3=35$이다.

정답: ① $35$

$\left(\dfrac19\right)^x=3^{-2x}$이고 밑 $3>1$이므로 지수끼리 비교한다.

$\begin{aligned}-2x&<21-4x\\2x&<21\\x&<\dfrac{21}{2}\end{aligned}$

가능한 자연수는 $1,2,\ldots,10$이므로 모두 $10$개이다.

정답: ⑤ $10$

세 눈의 곱이 $4$인 경우는 $(1,1,4)$ 또는 $(1,2,2)$를 순서대로 배열하는 경우뿐이다.

각 경우의 배열 수는 $\dfrac{3!}{2!}=3$가지이므로 유리한 경우는 $3+3=6$가지이다.

세 번 던지는 전체 경우의 수는 $6^3=216$가지이므로 $P=\dfrac6{216}=\dfrac1{36}$이다.

정답: ② $\dfrac1{36}$

곡선의 도함수는 $y'=3x^2-6x+2$이고 $A(0,2)$에서의 접선의 기울기는 $2$이다.

수직인 직선의 기울기는 $-\dfrac12$이므로 점 $A$를 지나는 직선은

$y-2=-\dfrac12(x-0)$, 즉 $y=-\dfrac12x+2$이다.

$x$절편에서 $y=0$이므로 $0=-\dfrac12x+2$에서 $x=4$이다.

정답: ① $4$

시그마의 선형성을 이용하면

$\begin{aligned}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(2a_k-b_k+4)&=2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5b_k+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^54\\&=2\times8-9+4\times5=27\end{aligned}$

정답: ⑤ $27$

표본평균의 평균은 모집단의 평균이고 표준편차는 모표준편차를 $\sqrt{16}$으로 나눈 값이다.

$E(\overline X)=20,\qquad\sigma(\overline X)=\dfrac5{\sqrt{16}}=\dfrac54$

$E(\overline X)+\sigma(\overline X)=20+\dfrac54=\dfrac{85}{4}$

정답: ④ $\dfrac{85}{4}$

합을 전개하면 중간항이 소거되는 망원합이다.

$\begin{aligned}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}(a_k-a_{k+1})&=(a_1-a_2)+\cdots+(a_n-a_{n+1})\\&=a_1-a_{n+1}=1-a_{n+1}\end{aligned}$

$1-a_{n+1}=-n^2+n$이므로 $a_{n+1}=n^2-n+1$이다.

$a_{11}=10^2-10+1=91$이다.

정답: ② $91$

$f(1)$은 $1,2,3,4$의 $4$가지 중 자유롭게 고를 수 있다.

$f(2)\le f(3)\le f(4)$를 만족하는 세 함수값은 $4$가지 수에서 중복을 허용하여 $3$개를 고른 뒤 크기순으로 배열하는 것과 같다.

이 경우의 수는 중복조합 ${}_4H_3={}_6C_3=\dfrac{6\times5\times4}{3\times2\times1}=20$이다.

따라서 전체 함수의 개수는 $4\times20=80$이다.

정답: ⑤ $80$

$t\ge3$에서 $v(t)=2t-6\ge0$이므로 이동거리는 속도의 정적분과 같다.

$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_3^k|2t-6|\,dt&=\displaystyle\int\nolimits_3^k(2t-6)\,dt\\&=[t^2-6t]_3^k\\&=(k-3)^2=25\end{aligned}$

$k>3$이므로 $k-3=5$, 따라서 $k=8$이다.

정답: ③ $8$