14. 그림과 같이 $\overline{AB_1}=2$, $\overline{AD_1}=4$인 직사각형 $AB_1C_1D_1$이 있다. 선분 $AD_1$을 $3:1$로 내분하는 점을 $E_1$이라 하고, 직사각형 $AB_1C_1D_1$의 내부에 점 $F_1$을 $\overline{F_1E_1}=\overline{F_1C_1}$, $\angle E_1F_1C_1=\dfrac\pi2$가 되도록 잡고 삼각형 $E_1F_1C_1$을 그린다. 사각형 $E_1F_1C_1D_1$을 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 선분 $AB_1$ 위의 점 $B_2$, 선분 $E_1F_1$ 위의 점 $C_2$, 선분 $AE_1$ 위의 점 $D_2$와 점 A를 꼭짓점으로 하고 $\overline{AB_2}:\overline{AD_2}=1:2$인 직사각형 $AB_2C_2D_2$를 그린다. 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $AB_2C_2D_2$에 삼각형 $E_2F_2C_2$를 그리고 사각형 $E_2F_2C_2D_2$를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]
① $\dfrac{441}{103}$ ② $\dfrac{441}{109}$ ③ $\dfrac{441}{115}$ ④ $\dfrac{441}{121}$ ⑤ $\dfrac{441}{127}$
풀이
직사각형 $AB_1C_1D_1$에서 $\overline{D_1E_1}=1$, $\overline{D_1C_1}=2$이므로
$\overline{E_1C_1}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5$
직각이등변삼각형 $E_1F_1C_1$에서 $\overline{E_1F_1}=\overline{C_1F_1}=\dfrac{\sqrt{10}}2$이다.
$\begin{aligned}S_1&=\triangle C_1D_1E_1+\triangle E_1F_1C_1\\&=\dfrac12\times2\times1+\dfrac12\left(\dfrac{\sqrt{10}}2\right)^2\\&=\dfrac94\end{aligned}$
$\theta=\angle C_1E_1D_1$이라 놓으면 $\tan\theta=2$이다. 직각이등변삼각형의 각을 이용하여
$\begin{aligned}\tan\angle F_1E_1D_2&=\tan\left(\dfrac{3\pi}4-\theta\right)\\&=\dfrac{-1-2}{1+(-1)\cdot2}=3\end{aligned}$
$\overline{C_2D_2}=t$라 놓으면 $\overline{D_2E_1}=3-2t$이므로
$\dfrac{t}{3-2t}=3\implies t=\dfrac97$
따라서 두 직사각형의 닮음비는 $\overline{AB_2}:\overline{AB_1}=\dfrac97:2=9:14$이고, 색칠된 부분의 넓이의 공비는 $\left(\dfrac9{14}\right)^2$이다.
$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}S_n&=\dfrac{S_1}{1-\left(\dfrac9{14}\right)^2}\\&=\dfrac{\dfrac94}{1-\dfrac{81}{196}}\\&=\dfrac{441}{115}\end{aligned}$
정답: ③ $\dfrac{441}{115}$
15. $x>0$에서 미분가능한 함수 $f(x)$에 대하여
$f'(x)=2-\dfrac3{x^2},\quad f(1)=5$
이다. $x<0$에서 미분가능한 함수 $g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $g(-3)$의 값은? [4점]
(가) $x<0$인 모든 실수 $x$에 대하여 $g'(x)=f'(-x)$이다.
(나) $f(2)+g(-2)=9$
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$f'(x)=2-\dfrac3{x^2}$를 적분하면 $f(x)=2x+\dfrac3x+C_1$이다. $f(1)=5$이므로 $C_1=0$이다.
$f(x)=2x+\dfrac3x\quad(x>0)$
$x<0$에서 $g'(x)=f'(-x)=2-\dfrac3{x^2}$이므로
$g(x)=2x+\dfrac3x+C_2\quad(x<0)$
$\begin{aligned}f(2)+g(-2)&=\left(4+\dfrac32\right)+\left(-4-\dfrac32+C_2\right)\\&=C_2=9\end{aligned}$
$g(-3)=-6-1+9=2$
정답: ② $2$
16. 상수 $k$ ($k>1$)에 대하여 다음 조건을 만족시키는 수열 $\{a_n\}$이 있다.
모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n<a_{n+1}$이고
곡선 $y=2^x$ 위의 두 점 $P_n(a_n,2^{a_n})$, $P_{n+1}(a_{n+1},2^{a_{n+1}})$을
지나는 직선의 기울기는 $k\times2^{a_n}$이다.
점 $P_n$을 지나고 $x$축에 평행한 직선과 점 $P_{n+1}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 만나는 점을 $Q_n$이라 하고 삼각형 $P_nQ_nP_{n+1}$의 넓이를 $A_n$이라 하자.
다음은 $a_1=1$, $\dfrac{A_3}{A_1}=16$일 때, $A_n$을 구하는 과정이다.
두 점 $P_n$, $P_{n+1}$을 지나는 직선의 기울기가 $k\times2^{a_n}$이므로
$2^{a_{n+1}-a_n}=k(a_{n+1}-a_n)+1$
이다. 즉, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}-a_n$은 방정식 $2^x=kx+1$의 해이다.
$k>1$이므로 방정식 $2^x=kx+1$은 오직 하나의 양의 실근 $d$를 갖는다.
따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}-a_n=d$이고,
수열 $\{a_n\}$은 공차가 $d$인 등차수열이다.
점 $Q_n$의 좌표가 $(a_{n+1},2^{a_n})$이므로
$A_n=\dfrac12(a_{n+1}-a_n)(2^{a_{n+1}}-2^{a_n})$
이다. $\dfrac{A_3}{A_1}=16$이므로 $d$의 값은 $\boxed{\ (가)\ }$ 이고,
수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n=\boxed{\ (나)\ }$ 이다.
따라서 모든 자연수 $n$에 대하여 $A_n=\boxed{\ (다)\ }$이다.
위의 (가)에 알맞은 수를 $p$, (나)와 (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$, $g(n)$이라 할 때, $p+\dfrac{g(4)}{f(2)}$의 값은? [4점]
① $118$ ② $121$ ③ $124$ ④ $127$ ⑤ $130$
풀이
수열은 공차 $d>0$인 등차수열이므로 $a_n=1+(n-1)d$이다.
$\begin{aligned}A_n&=\dfrac12d\left(2^{a_n+d}-2^{a_n}\right)\\&=\dfrac d2\,2^{1+(n-1)d}(2^d-1)\end{aligned}$
따라서 $A_3/A_1=2^{2d}=16$이므로 $d=2$이다. 즉, (가)는 $2$이다.
$a_n=1+2(n-1)=2n-1$이므로 (나)는 $2n-1$이다.
$\begin{aligned}A_n&=\dfrac12\times2\left(2^{2n+1}-2^{2n-1}\right)\\&=3\times2^{2n-1}\end{aligned}$
따라서 (다)는 $3\times2^{2n-1}$이다.
$\begin{aligned}p+\dfrac{g(4)}{f(2)}&=2+\dfrac{3\times2^7}{3}\\&=130\end{aligned}$
정답: ⑤ $130$
17. 좌표평면의 원점에 점 P가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가
$2$ 이하이면 점 P를 $x$축의 양의 방향으로 $3$만큼,
$3$ 이상이면 점 P를 $y$축의 양의 방향으로 $1$만큼 이동시킨다.
이 시행을 $15$번 반복하여 이동된 점 P와 직선 $3x+4y=0$ 사이의 거리를 확률변수 $X$라 하자. $E(X)$의 값은? [4점]
① $13$ ② $15$ ③ $17$ ④ $19$ ⑤ $21$
풀이
$15$번 중 눈이 $2$ 이하인 횟수를 $Y$라 하면 $Y\sim B\left(15,\dfrac13\right)$이고 $E(Y)=15\times\dfrac13=5$이다.
이동한 점의 좌표는 $(3Y,15-Y)$이다. 점과 직선 사이의 거리 공식에서
$\begin{aligned}X&=\dfrac{|3(3Y)+4(15-Y)|}{\sqrt{3^2+4^2}}\\&=\dfrac{|5Y+60|}{5}\\&=Y+12\end{aligned}$
$E(X)=E(Y)+12=5+12=17$
정답: ③ $17$
18. 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를
$f(x)=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(a-2)x^{2n+1}+2x}{3x^{2n}+1}$
라 하자. $(f\circ f)(1)=\dfrac54$가 되도록 하는 모든 $a$의 값의 합은? [4점]
① $\dfrac{11}{2}$ ② $\dfrac{13}{2}$ ③ $\dfrac{15}{2}$ ④ $\dfrac{17}{2}$ ⑤ $\dfrac{19}{2}$
풀이
$|x|>1$이면 분자와 분모를 $x^{2n}$으로 나누어 $f(x)=\dfrac{a-2}{3}x$이다. $|x|<1$이면 $x^{2n}\to0$이므로 $f(x)=2x$이다.
$x=1$이면 $f(1)=\dfrac a4$, $x=-1$이면 $f(-1)=-\dfrac a4$이다.
따라서 $f\left(\dfrac a4\right)=\dfrac54$를 경우를 나누어 푼다.
(ⅰ) $|a|>4$이면 $f\left(\dfrac a4\right)=\dfrac{a-2}{3}\cdot\dfrac a4=\dfrac54$이므로
$\begin{aligned}a(a-2)&=15\\a^2-2a-15&=0\\(a-5)(a+3)&=0\end{aligned}$
$|a|>4$ 조건을 만족하는 해는 $a=5$이다.
(ⅱ) $|a|<4$이면 $f\left(\dfrac a4\right)=2\cdot\dfrac a4=\dfrac54$이므로 $a=\dfrac52$이다. 이는 조건을 만족한다.
(ⅲ) $a=4$이면 $f(1)=1$, $a=-4$이면 $f(-1)=1$이므로 두 경우 모두 $f\left(\dfrac a4\right)\ne\dfrac54$이다.
따라서 $a$의 값의 합은 $5+\dfrac52=\dfrac{15}{2}$이다.
정답: ③ $\dfrac{15}{2}$
19. 숫자 $3,3,4,4,4$가 하나씩 적힌 $5$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어
꺼낸 공에 적힌 수가 $3$이면 주사위를 $3$번 던져서 나오는
세 눈의 수의 합을 점수로 하고,
꺼낸 공에 적힌 수가 $4$이면 주사위를 $4$번 던져서 나오는
네 눈의 수의 합을 점수로 한다.
이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 $10$점일 확률은? [4점]
① $\dfrac{13}{180}$ ② $\dfrac{41}{540}$ ③ $\dfrac{43}{540}$ ④ $\dfrac1{12}$ ⑤ $\dfrac{47}{540}$
풀이
공에 적힌 수가 $3$일 확률은 $\dfrac25$, $4$일 확률은 $\dfrac35$이다.
(ⅰ) 주사위를 $3$번 던져 합이 $10$인 경우의 눈의 조합은 $(6,3,1)$, $(6,2,2)$, $(5,4,1)$, $(5,3,2)$, $(4,4,2)$, $(4,3,3)$이다.
순서까지 고려한 경우의 수는 $3!+\dfrac{3!}{2!}+3!+3!+\dfrac{3!}{2!}+\dfrac{3!}{2!}=27$이므로
$P(\text{합}=10\mid3\text{회})=\dfrac{27}{6^3}=\dfrac18$
공에 $3$이 적혀 있고 점수가 $10$일 확률은 $\dfrac25\times\dfrac18=\dfrac1{20}$이다.
(ⅱ) 주사위를 $4$번 던져 합이 $10$인 경우의 눈의 조합은 $(6,2,1,1)$, $(5,3,1,1)$, $(5,2,2,1)$, $(4,4,1,1)$, $(4,3,2,1)$, $(4,2,2,2)$, $(3,3,3,1)$, $(3,3,2,2)$이다.
순서까지 고려한 경우의 수는 $12+12+12+6+24+4+4+6=80$이므로
$P(\text{합}=10\mid4\text{회})=\dfrac{80}{6^4}$
공에 $4$가 적혀 있고 점수가 $10$일 확률은 $\dfrac35\times\dfrac{80}{6^4}=\dfrac1{27}$이다.
따라서 구하는 확률은 $\dfrac1{20}+\dfrac1{27}=\dfrac{47}{540}$이다.
정답: ⑤ $\dfrac{47}{540}$
20. 함수 $f(x)=\pi\sin2\pi x$에 대하여 정의역이 실수 전체의 집합이고 치역이 집합 $\{0,1\}$인 함수 $g(x)$와 자연수 $n$이 다음 조건을 만족시킬 때, $n$의 값은? [4점]
함수 $h(x)=f(nx)g(x)$는 실수 전체의 집합에서 연속이고
$\displaystyle\int\nolimits_{-1}^{1}h(x)\,dx=2$, $\displaystyle\int\nolimits_{-1}^{1}xh(x)\,dx=-\dfrac1{32}$ 이다.
① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$
풀이
$g(x)$는 $0$ 또는 $1$이고 $f(nx)=\pi\sin2n\pi x$이므로 $h(x)$는 양의 부분에서 $f(nx)$ 이하, 음의 부분에서 $0$ 이상이다.
반주기 구간에서 양의 부분의 적분은
$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_0^{\frac1{2n}}\pi\sin2n\pi x\,dx&=\left[-\dfrac{\cos2n\pi x}{2n}\right]_0^{\frac1{2n}}\\&=\dfrac1n\end{aligned}$
$[-1,1]$에는 양의 반주기가 $2n$개 있으므로 가능한 최대 적분값은 $2n\times\dfrac1n=2$이다. 주어진 적분이 $2$이므로 $f(nx)>0$인 곳에서는 $g(x)=1$, $f(nx)<0$인 곳에서는 $g(x)=0$이어야 한다.
따라서 $h(x)=\max\{f(nx),0\}$이고, $f(nx)$가 홀함수임을 이용하면 $x>0$에 대하여 $xh(x)+(-x)h(-x)=xf(nx)$이다.
$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_{-1}^{1}xh(x)\,dx&=\displaystyle\int\nolimits_0^1x\pi\sin2n\pi x\,dx\\&=\left[-\dfrac{x\cos2n\pi x}{2n}\right]_0^1+\left[\dfrac{\sin2n\pi x}{4n^2\pi}\right]_0^1\\&=-\dfrac1{2n}\end{aligned}$
$-\dfrac1{2n}=-\dfrac1{32}$이므로 $2n=32$, $n=16$이다.
정답: ⑤ $16$
21. 수열 $\{a_n\}$은 $0<a_1<1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $a_{2n}=a_2\times a_n+1$
(나) $a_{2n+1}=a_2\times a_n-2$
$a_8-a_{15}=63$일 때, $\dfrac{a_8}{a_1}$의 값은? [4점]
① $91$ ② $92$ ③ $93$ ④ $94$ ⑤ $95$
풀이
(가)에 $n=1$을 대입하면 $a_2=a_2a_1+1$이므로 $a_2a_1=a_2-1$이다.
(나)에 $n=1$을 대입하면 $a_3=a_2a_1-2=a_2-3$이다.
(가)를 반복하면
$\begin{aligned}a_4&=a_2^2+1\\a_8&=a_2a_4+1=a_2^3+a_2+1\end{aligned}$
(나)를 반복하면
$\begin{aligned}a_7&=a_2a_3-2=a_2^2-3a_2-2\\a_{15}&=a_2a_7-2=a_2^3-3a_2^2-2a_2-2\end{aligned}$
조건 $a_8-a_{15}=63$에 대입하면
$\begin{aligned}3a_2^2+3a_2+3&=63\\a_2^2+a_2-20&=0\\(a_2+5)(a_2-4)&=0\end{aligned}$
$a_2=-5$이면 $a_1=\dfrac65>1$이므로 조건에 맞지 않는다. $a_2=4$이면 $a_1=\dfrac34$로 조건에 맞는다.
$a_8=4^3+4+1=69$이므로 $\dfrac{a_8}{a_1}=\dfrac{69}{\dfrac34}=92$이다.
정답: ② $92$