n차방정식의 켤레근

계수가 유리수인 다항방정식 $f(x)=0$에 대하여 $f({\color{blue}x}+{\color{red}y})$을 전개하면 $\color{red}y$의 내림차순으로 정리하면 ${\color{red}y}^{짝수}$항과 ${\color{red}y}^{홀수}$항으로 나눌 수 있습니다.

예를들어 $f(x)=x^2+4x+3$에서 $f(x+y)$를 $y$에 대해 내림차순으로 정리하여 ${\color{red}y}^{짝수}$항과 ${\color{red}y}^{홀수}$항을 다음과 같이 생각할 수 있습니다.

• $f(x+y)=(x+y)^2+4(x+y)+3$$=x^2+2xy+y^2+4x+4y+3$$=y^2+(2x+4)y+(x^2+4x+3)$
  1. ${\color{red}y}^{짝수}$: $y^2$, $x^2+4x+3$
  2. ${\color{red}y}^{홀수}$: $(2x+4)y$

일반적인 다항식 $f(x)$에서도 내림차순으로 정리해서 위와 같이 항을 분리할 수 있습니다.

$f(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt{m}})$

$f({\color{blue}x}+{\color{red}y})$에 ${\color{blue}x=p}$, ${\color{red}y=q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}}$ 대입하여 $f({\color{blue}p}+{\color{red}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}})$를 계산하면

1. ${\color{red}y}^{짝수}$$=(q\sqrt m)^{짝수}$: 유리수
   • $(짝수\ 차수\ 항의\ 합)=A$
2. ${\color{red}y}^{홀수}$$=(q\sqrt m)^{홀수}$: $\boxed{\phantom{123}}\sqrt m$꼴
   • $(홀수\ 차수\ 항의\ 합)=B\sqrt m$

$f(p+\bbox[#ffff00]{q\sqrt{m}})$에 대하여 $A$를 $y$의 짝수차항의 합이라고 두고, $B\sqrt{m}$을 $y$의 홀수차항의 합으로 두면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

• $f(p+\bbox[#ffff00]{q\sqrt{m}})=A+B\sqrt m$ ($A$, $B$는 유리수)

$p+\bbox[#ffff00]{q\sqrt{m}}$은 $f(x)=0$의 해이므로, $f(p+\bbox[#ffff00]{q\sqrt{m}})=A+B\sqrt m=0$이고 무리수 상등에 의해 다음이 성립합니다.

• $A=0$, $B=0$

$f\l(p+(\bbox[#ffff00]{-q\sqrt{m}})\r)$

$f(p+\bbox[#ffff00]{q\sqrt{m}})=A+B\sqrt m$ ($A$, $B$는 유리수), $A$를 $y$의 짝수차항과 상수항의 합(유리수)이라고 두고, $B\sqrt{m}$을 $y$의 홀수차항의 합으로 두고 $f\l(p+(\bbox[#ffff00]{-q\sqrt{m}})\r)$에 대해 생각해 봅시다.

$f(x+\bbox[#ffff00]{y})$에 $x=p$, $\bbox[#ffff00]{y=-q\sqrt m}$ 대입하여 $f\l(p+(\bbox[#ffff00]{-q\sqrt{m}})\r)$를 $y$의 차수에 따라 정리하면 아래와 같습니다.

1. $y^{짝수}$$=(-q\sqrt m)^{짝수}$$=(q\sqrt m)^{짝수}$
   • $(짝수\ 차수\ 항의\ 합)=A$
2. $y^{홀수}$$=(-q\sqrt m)^{홀수}$$=\bbox[#ffff00]{-}(q\sqrt m)^{홀수}$
   • $(홀수\ 차수\ 항의\ 합)=\bbox[#ffff00]{-}B\sqrt m$

따라서 $f\l(p+(\bbox[#ffff00]{-q\sqrt{m}})\r)$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

• $f\l(p+(\bbox[#ffff00]{-q\sqrt{m}})\r)=A-B\sqrt m$ ($A$, $B$는 유리수)

나머지 근은 유리수

$A=0$, $B=0$이므로 $f\l(p+(\bbox[#ffff00]{-q\sqrt{m}})\r)=0$이고 따라서 $p-q\sqrt m$도 $f(x)$의 근이 됩니다.

이제 나머지 한 근을 $\alpha$라고 하면 근과 계수의 관계에 의해 $(p+q\sqrt m)+(p-q\sqrt m)+\alpha =-\dfrac ba$ 이므로 $\alpha=-\dfrac ba-2p$이고, 유리수 근입니다.

계수가 실수인 $n$차방정식 $a_nx^n+a_{n-1}x^2+\cdots +a_1x+a_0=0$의 한 근이 $p+qi$ ($p$, $q\ne0$: 실수)일 때, $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$에 대하여 $f(p+qi)=0$이고 양변에 켤레복소수를 취하면 $\overline{f(p+qi)}=0\cdots(1)$이 성립합니다.

$\overline{f(z)}=f(\overline{z})$

$\overline{f(z)}$에 대하여 켤레복소수 성질을 적용하여 아래와 같이 정리하면 $\overline{f(z)}=f(\bar z)\cdots(2)$이 성립합니다.

$\overline{f(z)}$$=\overline{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_1z+a_0}$
$=\overline{a_nz^n}+\overline{a_{n-1}z^{n-1}}+\cdots+ \overline{a_1z}+\overline{a_0}$
$=a_n\overline{z^n}+a_{n-1}\overline{z^{n-1}}+\cdots+a_1\overline{z}+a_0$
$=a_n\overline{z}^{n}+a_{n-1}\overline{z}^{n-1}+\cdots+a_1\overline{z}+a_0=f(\bar{z})$

(1) (2)에 따라서 $\overline{f(p+qi)}=f(\overline{p+qi})=0$이고 따라서 $\overline{p+qi}=p-qi$도 $f(x)=0$의 근이됩니다.