이차방정식에서 배운 켤레근의 성질은 삼차방정식에서도 활용할 수 있습니다. 계수가 유리수이거나 실수일 때 한 근의 형태에 따라 다른 근을 알 수 있으며, 이를 근과 계수의 관계에 적용하면 나머지 근과 미지의 계수를 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 삼차방정식의 켤레근의 성질과 예제 풀이를 살펴보겠습니다.
이차방정식의 켤레근
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$에서 $q\ne0$일 때 $p+q\sqrt{m}$과 $p-q\sqrt{m}$, $p+qi$와 $p-qi$를 서로 켤레근이라 하고 다음과 같은 성질을 갖습니다.
- $a$, $b$, $c$가 유리수일 때, 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 다른 한 근은 $p-q\sqrt{m}$이다.
(단, $p$, $q$는 유리수, $q\ne0$, $\sqrt{m}$은 무리수) - $a$, $b$, $c$가 실수일 때, 한 근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$이다.
(단, $p$, $q$는 실수, $q\ne0$, $i=\sqrt{-1}$)
위의 사실에 대한 증면은 근의 공식, 켤레근에서 다루었으므로 삼차방정식의 켤레근으로 바로 넘어가 보겠습니다.
삼차방정식의 켤레근의 성질
삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$에서도 켤레근에 대한 다음 성질이 성립합니다.
- $a$, $b$, $c$, $d$가 유리수일 때, 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 $p-q\sqrt{m}$도 근이다.
(단, $p$, $q$는 유리수, $q\ne0$, $\sqrt{m}$은 무리수)- 계수가 유리수인 삼차방정식에서 세 근 중 두 근이 $p+q\sqrt m$, $p-q\sqrt m$이면 나머지 한 근은 유리수이다.
- $a$, $b$, $c$, $d$가 실수일 때, 한 근이 $p+qi$이면 $p-qi$도 근이다.
(단, $p$, $q$는 실수, $q\ne0$, $i=\sqrt{-1}$)- 계수가 실수인 삼차방정식에서 세 근 중 두 근이 $p+qi$, $p-qi$이면 나머지 한 근은 실수이다.
1 증명
계수가 유리수인 삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$의 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이고 $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$, $m$은 유리수이고 $q\neq 0$, $\sqrt m$은 무리수일 때, $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라 합시다.
$f(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})$ 전개
$p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$의 제곱과 세제곱을 계산하면 다음과 같습니다.
$(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})^2$$=p^2+2pq\bbox[#ffff00]{\sqrt m}+q^2m$
$(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})^3$$=p^3+3pq^2m+(3p^2q+q^3m)\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$
따라서 $f(x)$에 $x=p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$를 대입하여 전개하면 유리수인 부분과 $\sqrt m$이 포함된 부분으로 나눌 수 있습니다.
- $(유리수\ 부분의\ 합)=A$
- $(\bbox[#ffff00]{\sqrt m} 이\ 포함된\ 부분의\ 합)=B\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$
여기서 $A$, $B$는 유리수이므로 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
- $f(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})=A+B\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$
$p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$은 $f(x)=0$의 해이므로 $f(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})=A+B\bbox[#ffff00]{\sqrt m}=0$ 이고, 무리수 상등에 의해 다음이 성립합니다.
- $A=0$, $B=0$
$f\l(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}\r)$ 전개
$p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$을 대입하여 제곱과 세제곱을 먼저 계산하여 정리하면 다음과 같습니다.
$(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})^2=p^2{\color{red}-}2pq\bbox[#ffff00]{\sqrt m}+q^2m$
$(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})^3=p^3+3pq^2m{\color{red}-}(3p^2q+q^3m)\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$
$f(p+q\bbox[#ffff00]{\sqrt m})$과 $f\l(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}\r)$의 결과를 비교하면 유리수인 부분은 모두 같고, $\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$이 포함된 부분은 절댓값은 같고 부호만 반대입니다.
- $(유리수\ 부분의\ 합)=A$
- $(\bbox[#ffff00]{\sqrt m} 이\ 포함된\ 부분의\ 합)={\color{red}-}B\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$
따라서 $f\l(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}\r)$는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
- $f\l(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}\r)=A-B\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$
앞에서 $A=0$, $B=0$이므로 $f\l(p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}\r)=0$ 이고, 따라서 $p{\color{red}-}q\bbox[#ffff00]{\sqrt m}$도 $f(x)=0$의 근이 됩니다.
나머지 근은 유리수
이제 나머지 한 근을 $\alpha$라고 하면 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
- $(p+q\sqrt m)+(p-q\sqrt m)+\alpha=-\dfrac ba$
$\alpha=-\dfrac ba-2p$이고, $a$, $b$, $p$가 모두 유리수이므로 $\alpha$도 유리수입니다. 따라서 계수가 유리수인 삼차방정식에서 한 근이 $p+q\sqrt m$이면 $p-q\sqrt m$도 근이고, 나머지 한 근은 유리수입니다.
2 증명
계수가 실수인 삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$의 한 근이 $p+qi$이고 $a$, $b$, $c$, $d$, $p$, $q$는 실수이며 ($q\neq0$, $i=\sqrt{-1}$)이라고 할 때 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라 두면
$f(p+qi)=0$이고 양변에 켤레복소수를 취하면 $\overline{f(p+qi)}=\bar 0\cdots(1)$이 성립합니다.
$\overline{f(z)}=f(\bar z)$
$\overline{f(z)}$에 대하여 켤레복소수 성질을 적용하여 아래와 같이 정리하면 $\overline{f(z)}=f(\bar z)\cdots(2)$이 성립합니다.
$\overline{f(z)}$$=\overline{az^3+bz^2+cz+d}$
$=\overline{az^3}+\overline{bz^2}+\overline{cz}+\overline{d}$
$=a\overline{z^3}+b\overline{z^2}+c\overline{z}+d$
$=a\overline{z}^3+b\overline{z}^2+c\overline{z}+d=f(\bar{z})$
(1) (2)에 따라서 $\overline{f(p+qi)}=f(\overline{p+qi})=0$이고 따라서 $\overline{p+qi}$도 $f(x)=0$의 근이됩니다.
나머지 한 근은 실수
나머지 한 근을 $\alpha$라고 하면 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.
$(p+qi)+(p-qi)+\alpha=-\dfrac ba$
$\alpha=-\dfrac ba-2p$이고, $a$, $b$, $p$가 모두 실수이므로 $\alpha$도 실수입니다. 따라서 계수가 실수인 삼차방정식에서 한 근이 $p+qi$이면 $p-qi$도 근이고, 나머지 한 근은 실수입니다.
삼차방정식 $x^3-3x^2+ax+b=0$의 한 근이 $1+i$일 때, 실수 $a$, $b$의 값을 구하시오. (단, $i=\sqrt{-1}$)
설명
계수가 실수이므로 $1+i$가 근이면 $1-i$도 근이다. 세 근을 $1+i$, $1-i$, $\alpha$라 하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여
- $(1+i)+(1-i)+\alpha=3$이고 $\alpha=1$
- $(1+i)(1-i)+\alpha(1-i)+\alpha(1+i)=a$이고, $2+2\alpha=a$이므로 $a=4$
- $\alpha(1+i)(1-i)=-b$이고 $2\alpha=-b$이므로 $b=-2$
삼차방정식에서 계수가 유리수일 때는 무리수 켤레근이, 계수가 실수일 때는 허수 켤레근이 함께 나타납니다. 따라서 주어진 근의 켤레근을 먼저 찾고, 세 근의 합과 곱에 관한 관계를 이용하면 나머지 근이나 방정식의 계수를 구할 수 있습니다.