켤레복소수의 성질

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켤레복소수는 복소수의 허수부분의 부호만 바꾸어 만든 복소수로, 복소수의 연산 과정에서 매우 자주 사용됩니다. 특히 켤레복소수를 이용하면 복소수의 합과 곱을 실수로 만들 수 있고, 합·차·곱·몫에 켤레를 취했을 때의 형태도 일정한 규칙으로 정리할 수 있습니다. 이번 글에서는 $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$로 두고 켤레복소수의 여러 성질을 하나씩 확인하면서, 각 성질이 왜 성립하는지 계산과 변형을 통해 살펴보겠습니다.

켤레복소수의 정의

복소수 $a+bi$ ($a$, $b$는 실수)의 켤레복소수는 다음과 같이 정의 합니다.

  1. $a\bbox[#ffff00]{+}bi$의 켤레복소수: 허수부분의 부호를 바꾼 복소수, $a\bbox[#ffff00]{-}bi$
    • 표기: $\overline{a+bi}=a-bi$
  2. 복소수 $z$의 켤레복소수는 $\overline{z}$로 표기하고 $z$바(bar)로 읽고 다음이 성립합니다.
    • $z$가 실수: $z=\overline{z}$
    • $z$가 순허수: $z=-\overline{z}$

간단한 예를 이용해 정리하면 다음과 같습니다.

  • $5+i$의 켤레복소수는 $5-i$
  • $5$의 켤레복소수는 $5$
  • $-2i$의 켤레복소수는 $2i$이다.

설명

$3+2i$와 $3-2i$는 서로 켤레복소수임을 설명해 봅시다.

설명
  1. 복소수 $3+2i$의 켤레 복소수는 $\overline{3+2i}$는 허수부분의 부호를 바꾼 $3-2i$입니다.
  2. 복소수 $3-2i$의 켤레 복소수는 $\overline{3-2i}$는 허수부분의 부호를 바꾼 $3+2i$입니다.

따라서 두 복소수 $3+2i$, $3-2i$는 서로 켤레복소수입니다.

위의 사실을 기호로 표현하면, $\overline{3+2i}=3-2i$, $\overline{3-2i}=3+2i$입니다. 이와 같이 실수부분은 서로 같고 허수부분의 부호만 다른 두 복소수는 서로 켤레복소수입니다.

연산에서 자주 등장하는 켤레복소수에 대해 살펴보았습니다. 이제 복소수의 사칙연산에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.

켤레복소수의 성질

두 복소수 $z_1$, $z_2$와 각각의 켤레복소수 $\overline{z_1}$, $\overline{z_2}$에 대하여

  1. $\overline{\left(\overline{z_1}\right)}=z_1$
  2. $z_1+\overline{z_1}=(\text{실수})$, $z_1\overline{z_1}=(\text{실수})$
  3. $\overline{z_1}=z_1\Longleftrightarrow z_1$은 실수
  4. $\overline{z_1}=-z_1\Longleftrightarrow z_1$은 순허수 또는 $0$
  5. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$, $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
  6. $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$
    • 실수 $a$에 대하여 $\overline{az_1}=a\times\overline{z_1}$
    • 실수 $a\ne0$에 대하여 $\overline{\left(\dfrac{z_1}{a}\right)}$$=\dfrac{\overline{z_1}}{a}$
  7. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ (단, $z_2\ne0$)
    • 실수 $a$에 대하여 $\overline{\left(\dfrac{a}{z_1}\right)}=\dfrac{a}{\overline{z_1}}$

$z_1=a+bi$, $z_2=c+di$ ($a$, $b$, $c$, $d$는 실수)로 두고 1~6에 대한 설명을 정리해 봅시다.

1 설명

$\overline{\left(\overline{z_1}\right)}=\overline{\left(\overline{a+bi}\right)}=\overline{a-bi}=a+bi=z_1$

2 설명
  • $z_1+\overline{z_1}=(a+bi)+(a-bi)=2a$ ← 실수
  • $z_1\overline{z_1}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ ← 실수
3 설명

($\Longrightarrow$)

$\overline{z_1}=z_1$이면 $a-bi=a+bi$이고 이항하여 정리하면 $-2bi=0$ 즉, $b=0$ 이므로 $z_1=a$이고 따라서 $z_1$은 실수입니다.

($\Longleftarrow$)

$z_1$이 실수이면 $b=0$이므로 $\overline{z_1}=a=z_1$입니다.

4 설명

($\Longrightarrow$)

$\overline{z_1}=-z_1$이면 $a-bi=-(a+bi)$이고 이항하여 정리하면 $2a=0$, 즉 $a=0$ 이므로 $z_1=bi$이고 이결과는 아래와 같이 정리할 수 있 습니다.

  • $b\ne0$일 때 $z_1$은 순허수, $b=0$일 때 $z_1=0$

($\Longleftarrow$)

거꾸로 $z_1$이 순허수 또는 $0$이면 $a=0$이므로 $\overline{z_1}=-bi=-z_1$입니다.

5 설명
  1. $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$의 양변을 비교
    • $\overline{z_1+z_2}=\overline{(a+bi)+(c+di)}=\overline{(a+c)+(b+d)i}=(a+c)-(b+d)i$
    • $\overline{z_1}+\overline{z_2}=\overline{a+bi}+\overline{c+di}=(a-bi)+(c-di)=(a+c)-(b+d)i$
    • 따라서 $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$
  2. $\overline{z_1-z_2}=\overline{z_1}-\overline{z_2}$ 좌변을 우변으로 변형
    • $\overline{z_1-z_2}$$=\overline{(a+bi)-(c+di)}$$=\overline{(a-c)+(b-d)i}$$=(a-c)-(b-d)i$$=(a-bi)-(c-di)$$=\overline{a+bi}-\overline{c+di}$$=\overline{z_1}-\overline{z_2}$
6 설명
  1. $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$의 양변을 비교
    • $\overline{z_1z_2}=\overline{(a+bi)(c+di)}=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}=(ac-bd)-(ad+bc)i$
    • $\overline{z_1}\times\overline{z_2}=\overline{a+bi}\times\overline{c+di}=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i$
    • 따라서 $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$이 성립합니다.
  2. $\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\times\overline{z_2}$ 인수분해를 응용해 좌변에서 우변으로 변형하는 방법
    • $\overline{z_1z_2}=\overline{(a+bi)(c+di)}$$=\overline{(ac-bd)+(ad+bc)i}$
      $=ac-(ad+bc)i-bd$이 결과를 인수분해로 정리하면,
    • $\begin{array}{c@{\quad}c@{\quad}cc}ac&-(ad+bc)i&-bd\\a&&-bi& \longrightarrow \ -bci\\c&&-di&\longrightarrow \ -adi \end{array}$
    • 따라서 $\overline{z_1z_2}$$=ac-(ad+bc)i-bd$$=(a-bi)(c-di)$$=\overline{z_1}\ \overline{z_2}$가 성립합니다.
  3. $a\ne0$ 실수에 대하여 $\overline{\left(\dfrac{z_1}{a}\right)}$$=\overline{\left(\dfrac{1}{a} \times z_1 \right)}$$=\dfrac{1}{a} \times\overline{ z_1}$$=\dfrac{\overline{z_1}}{a}$
7 설명
  1. $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ (단, $z_2\ne0$) 좌변에서 우변으로 변형
    • $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}$$=\overline{\left(\dfrac{a+bi}{c+di}\right)}$$=\overline{\left(\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}\right)}$
      $=\dfrac{\overline{(a+bi)(c-di)}}{\bbox[#ffff00]{(c+di)(c-di)}}\cdots (\bbox[#ffff00]{실수}, 성질6)$
      $=\dfrac{\left(\overline{a+bi}\right)\times \left(\overline{c-di}\right)}{(c+di)(c-di)}\cdots (성질6)$
      $=\dfrac{(a-bi)\times (c+di)}{(c+di)(c-di)}$$=\dfrac{a-bi}{c-di}$
  2. 다른방법 증명 $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ (단, $z_2\ne0$)
    • $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)}$$=\overline{\left(\dfrac{z_1\overline{z_2}}{\bbox[#ffff00]{z_2\overline{z_2}}}\right)}\cdots\ (\bbox[#ffff00]{실수}, 성질6)$
      $=\dfrac{\overline{z_1\overline{z_2}}}{z_2\overline{z_2}} \cdots (성질6)$
      $=\dfrac{\overline{z_1}z_2}{z_2\overline{z_2}}$ $=\dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$

켤레복소수의 성질은 단순히 공식을 외우는 것보다, $z_1=a+bi$, $z_2=c+di$로 두고 직접 계산해 보면 그 구조를 쉽게 이해할 수 있습니다. 켤레를 두 번 취하면 원래 복소수로 돌아오고, 복소수와 그 켤레의 합과 곱은 실수가 됩니다. 또한 합·차·곱·몫에 켤레를 취하는 연산은 각각의 복소수에 따로 켤레를 취한 결과와 연결됩니다. 이러한 성질을 익혀 두면 이후 복소수의 계산을 간단히 정리하거나 분모를 실수화하는 과정에서 매우 유용하게 활용할 수 있습니다.