복소수의 범위에서 방정식 $x^3=1$ 또는 $x^3=-1$을 풀면 실근 이외에 두 허근이 나타납니다. 이 허근을 $\omega$로 나타내면 세제곱의 값, 켤레복소수와의 합과 곱, 제곱과 역수 사이에 일정한 관계가 성립합니다. 이번 글에서는 이러한 성질을 정리하고, 거듭제곱이 포함된 식의 값을 계산하는 방법을 예제로 살펴보겠습니다.
x³=1, x³=-1의 허근
방정식 $x^3=1$과 $x^3=-1$은 각각 삼차방정식이므로 복소수의 범위에서 세 개의 근을 갖습니다. 두 방정식 모두 하나의 실근과 서로 켤레인 두 허근으로 이루어지며, $x^3=1$의 허근은 $x^2+x+1=0$의 근이고, $x^3=-1$의 허근은 $x^2-x+1=0$의 근이므로 이차방정식의 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 함께 이용할 수 있습니다. 이러한 성질을 정리해 두면 $\omega$의 높은 거듭제곱이 포함된 식도 간단하게 계산할 수 있습니다.
$x^3=1$의 허근의 성질
방정식 $x^3=1$는 한 실근과 두 허근을 갖고, 한 허근을 $\omega$라 하면 다음 성질이 성립합니다.(단, $\overline{\omega}$는 $\omega$의 켤레복소수)
- $\omega^3=1$, $\omega^2+\omega+1=0$
- $\omega+\overline{\omega}=-1$, $\omega\overline{\omega}=1$
- $\omega^2=\overline{\omega}=\dfrac{1}{\omega}$
$\omega$는 그리스 문자로 오메가(omega)라 읽습니다.
설명
$x^3=1$에서 $1$을 이항하면, $x^3-1=0$이고 인수분해하면 $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$이므로 주어진 방정식은 $x-1=0$또는 $x^2+x+1=0$을 만족하는 $x$값을 해로 갖습니다.
이차방정식 $x^2+x+1=0$의 판별식 $D=b^2-4ac=1-4<0$이므로 서로 다른 두 허근을 해로 갖습니다. 따라서 $x^3-1=0$의 해는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $x=1$ 한 실근
- $x^2+x+1=0$의 두 허근
$x^2+x+1=0$의 두 허근 중 한 허근을 $\omega$, 다른 허근을 $\overline{\omega}$라고 하면 다음이 성립합니다.
- $\omega^3=1$, $\omega^2+\omega+1=0\cdots(1)$
- $\omega+\overline{\omega}=-1\cdots(2)$
- $\omega\overline{\omega}=1\cdots(3)$
(1) (2) (3)에서 $\omega^2=\bbox[#ffff00]{-\omega-1}$이고, $\bbox[#dcff8d]{\overline{\omega}}=\bbox[#ffff00]{-\omega-1}$이며, $\bbox[#dcff8d]{\overline{\omega}}=\dfrac{1}{\omega}$이므로 다음이 성립합니다.
- $\omega^2=\overline{\omega}=\dfrac{1}{\omega}$
$x^3=-1$의 허근의 성질
방정식 $x^3=-1$의 한 실근과 두 허근을 갖고, 한 허근을 $\omega$라 하면 다음 성질이 성립한다. (단, $\overline{\omega}$는 $\omega$의 켤레복소수)
- $\omega^3=-1$, $\omega^2-\omega+1=0$
- $\omega+\overline{\omega}=1$, $\omega\overline{\omega}=1$
- $\omega^2=-\overline{\omega}=-\dfrac{1}{\omega}$
설명
$x^3=-1$에서 $-1$을 이항하면, $x^3+1=0$이고 인수분해하면 $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$이므로 주어진 방정식은 $x+1=0$또는 $x^2-x+1=0$을 만족하는 $x$값을 해로 갖습니다.
이차방정식 $x^2-x+1=0$의 판별식 $D=b^2-4ac=1-4<0$이므로 서로 다른 두 허근을 해로 갖습니다. 따라서 $x^3+1=0$의 해는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $x=-1$ 한 실근
- $x^2-x+1=0$의 두 허근
$x^2-x+1=0$의 두 허근 중 한 허근을 $\omega$, 다른 허근을 $\overline{\omega}$라고 하면 다음이 성립합니다.
- $\omega^3=-1$, $\omega^2-\omega+1=0\cdots(1)$
- $\omega+\overline{\omega}=1\cdots(2)$
- $\omega\overline{\omega}=1\cdots(3)$
(1) (2) (3)에서 $\omega^2=\bbox[#ffff00]{\omega-1}$이고, $\bbox[#dcff8d]{-\overline{\omega}}=\bbox[#ffff00]{\omega-1}$이며, $\bbox[#dcff8d]{\overline{\omega}}=\dfrac{1}{\omega}$이므로 다음이 성립합니다.
- $\omega^2=-\overline{\omega}=-\dfrac{1}{\omega}$
방정식 $x^3=1$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, 다음 식의 값을 계산해 봅시다. (단, $\overline{\omega}$는 $\omega$의 켤레복소수)
- $\omega+\overline{\omega}+\omega\overline{\omega}$
- $\omega+\dfrac{1}{\omega}$
- $\omega^{14}+\omega^{10}+1$
풀이
$x^3=1$의 근이고, $x^2+x+1=0$의 근이므로 다음의 식을 이용할 수 있습니다.
- $\omega^3=1$, $\omega^2+\omega+1=0$
- $\omega+\overline{\omega}=-1$, $\omega\overline{\omega}=1$
- $\omega+\overline{\omega}+\omega\overline{\omega}=-1+1=0$
- $\omega+\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{\omega^2+1}{\omega}=\dfrac{-\omega}{\omega}=-1$
- $\omega^{14}+\omega^{10}+1=(\omega^3)^4\times\omega^2+(\omega^3)^3\times\omega+1=\omega^2+\omega+1=0$
방정식 $x^3=-1$의 한 허근을 $\omega$라 할 때, 다음 식의 값을 계산해 봅시다. (단, $\overline{\omega}$는 $\omega$의 켤레복소수)
- $\omega+\overline{\omega}+\omega\overline{\omega}$
- $\omega+\dfrac{1}{\omega}$
- $\omega^{14}+\omega^{10}+1$
풀이
$x^3=-1$의 근이고, $x^2-x+1=0$의 근이므로 다음의 식을 이용할 수 있습니다.
- $\omega^3=-1$, $\omega^2-\omega+1=0$
- $\omega+\overline{\omega}=1$, $\omega\overline{\omega}=1$
- $\omega+\overline{\omega}+\omega\overline{\omega}=1+1=2$
- $\omega+\dfrac{1}{\omega}=\dfrac{\omega^2+1}{\omega}=\dfrac{\omega}{\omega}=1$
- $\omega^{14}+\omega^{10}+1=(\omega^3)^4\times\omega^2+(\omega^3)^3\times\omega+1=\omega^2-\omega+1=0$
방정식 $x^3=1$과 $x^3=-1$의 허근 $\omega$는 각각 이차방정식 $x^2+x+1=0$, $x^2-x+1=0$의 근이므로 켤레근의 성질과 근과 계수의 관계를 함께 이용할 수 있습니다. 이를 통해 $\omega$와 $\overline{\omega}$의 합과 곱, $\omega^2$과 $\dfrac{1}{\omega}$의 관계를 얻고, 높은 차수의 거듭제곱도 $\omega^3=\pm1$을 이용해 간단히 정리할 수 있습니다.