무리수가 포함된 식에서는 유리수 부분과 무리수 부분이 함께 나타나는 경우가 많습니다. 특히 $a+b\sqrt{m}$과 같은 꼴의 두 식이 서로 같을 때에는 유리수 부분과 $\sqrt{m}$의 계수를 각각 비교하여 식을 정리할 수 있습니다. 이번 글에서는 무리수의 상등이 무엇인지 살펴보고, $a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{m}$일 때 왜 $a=c$, $b=d$가 성립하는지 증명한 뒤 간단한 예제를 통해 활용 방법까지 정리해 보겠습니다.
무리수 상등
$a$, $b$, $c$, $d$가 유리수이고 $\sqrt{m}$이 무리수일 때 다음이 성립합니다.
- $a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{m}$ $\Longleftrightarrow$ $a=c,\;b=d$
- $a+b\sqrt{m}=0$ $\Longleftrightarrow$ $a=0$, $b=0$
즉, 두 무리수 $a+b\sqrt{m}$, $c+d\sqrt{m}$가 서로 같으면 유리수 부분끼리 같고, $\sqrt{m}$의 계수끼리 같습니다.
1 증명
($\Longrightarrow$)
$a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{m}$이면, $(a-c)+(b-d)\sqrt{m}=0$이고, 다음이 성립합니다.
- $(a-c)=-(b-d)\sqrt{m}\cdots (1)$
만약 $b-d\ne0$이라면 양변을 $-(b-d)$로 나누어 $\sqrt{m}=-\dfrac{a-c}{b-d}$이 되고, 좌변은 무리수 우변은 유리수가 되어 모순입니다. 따라서 $b-d=0$이고, $b=d$입니다. 이 결과를 (1) 에 대입하면 $a=c$입니다.
따라서 $a=c$이고 $b=d$입니다.
($\Longleftarrow$)
반대로 $a=c$, $b=d$이면 당연히 $\boxed{a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{m}가 성립합니다.
2 증명
특히, $a+b\sqrt{m}=0$이면 $a+b\sqrt{m}=0+0\sqrt{m}$으로 생각할 수 있으므로, 무리수 상등에 의해 $a=0$, $b=0$이 성립합니다.
$a$, $b$가 유리수이고 $3+a\sqrt{2}=b+5\sqrt{2}$일 때 $a$, $b$의 값을 구해 봅시다.
설명
무리수의 상등에 의해 유리수 부분과 $\sqrt{2}$의 계수를 각각 비교하면 $b=3$, $a=5$ 입니다.
마무리
무리수의 상등은 $a$, $b$, $c$, $d$가 유리수이고 $\sqrt{m}$이 무리수일 때 $a+b\sqrt{m}=c+d\sqrt{m}$이면 $a=c$, $b=d$가 되는 성질입니다. 이는 유리수의 연산만으로 무리수 $\sqrt{m}$을 만들 수 없다는 사실에서 비롯됩니다. 특히 $A+B\sqrt{m}=0$이면 $A=0$, $B=0$으로 정리할 수 있으므로, 무리수가 포함된 방정식이나 유리수 계수 이차방정식의 켤레근을 다룰 때 유용하게 활용할 수 있습니다.