2025학년도 대학수학능력시험 수학 기출문제 홀수형의 문제와 풀이를 정리한 자료입니다. 오류가 있는 풀이나 문제는 아래의 기출문제 파일과 EBS 해설을 참고해 주세요.
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- 문제: 홀수형+짝수형
- 정답: 홀수형+짝수형
- 해설: EBS 해설 홀수형
2025 수능 수학 기출문제 풀이 해설
공통과목
공통과목 5지선다형
1. $\sqrt[3]{5}\times25^{\frac{1}{3}}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$\sqrt[3]{5}\times25^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}\times(5^2)^{\frac{1}{3}}=5^{\frac{1}{3}}\times5^{\frac{2}{3}}=5^1=5$
정답: ⑤ $5$
2. 함수 $f(x)=x^3-8x+7$에 대하여 $\displaystyle\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $f'(2)$이다.
$f'(x)=3x^2-8$이므로 $f'(2)=3\times2^2-8=4$이다.
정답: ④ $4$
3. 첫째항과 공비가 모두 양수 $k$인 등비수열 $\{a_n\}$이
$\dfrac{a_4}{a_2}+\dfrac{a_2}{a_1}=30$
을 만족시킬 때, $k$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$a_n=k^n$이므로 $\dfrac{k^4}{k^2}+\dfrac{k^2}{k}=30$, 즉 $k^2+k=30$이다.
$(k+6)(k-5)=0$이고 $k>0$이므로 $k=5$이다.
정답: ⑤ $5$
4. 함수
$f(x)=\begin{cases}5x+a&(x<-2)\\x^2-a&(x\ge-2)\end{cases}$
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]
① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$
풀이
두 구간에서는 다항식이므로 연속이다. 따라서 $x=-2$에서의 연속 조건을 확인하면 된다.
$\displaystyle\lim\limits_{x\to-2-}f(x)=-10+a$, $\displaystyle\lim\limits_{x\to-2+}f(x)=f(-2)=4-a$이다.
$-10+a=4-a$에서 $2a=14$이므로 $a=7$이다.
정답: ② $7$
5. 함수 $f(x)=(x^2+1)(3x^2-x)$에 대하여 $f'(1)$의 값은? [3점]
① $8$ ② $10$ ③ $12$ ④ $14$ ⑤ $16$
풀이
곱의 미분법에 의하여 $f'(x)=2x(3x^2-x)+(x^2+1)(6x-1)$이다.
따라서 $f'(1)=2\times2+2\times5=14$이다.
정답: ④ $14$
6. $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\dfrac{1}{5}$일 때, $\dfrac{\sin\theta}{1-\cos^2\theta}$의 값은? [3점]
① $-5$ ② $-\sqrt5$ ③ $0$ ④ $\sqrt5$ ⑤ $5$
풀이
$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta$이므로 $\sin\theta=\dfrac{1}{5}$이다.
따라서 $\dfrac{\sin\theta}{1-\cos^2\theta}=\dfrac{\sin\theta}{\sin^2\theta}=\dfrac{1}{\sin\theta}=5$이다.
정답: ⑤ $5$
7. 다항함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여
$\displaystyle\int\nolimits_0^x f(t)\,dt=3x^3+2x$
를 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? [3점]
① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $13$ ⑤ $15$
풀이
양변을 $x$에 대하여 미분하면 $f(x)=9x^2+2$이다.
따라서 $f(1)=9+2=11$이다.
정답: ③ $11$
8. 두 실수 $a=2\log\dfrac{1}{\sqrt{10}}+\log_2 20$, $b=\log2$에 대하여 $a\times b$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$\begin{aligned}a&=2\left(-\dfrac12\right)\log10+\log_2 2+\log_2 10\\&=-1+1+\log_2 10=\log_2 10\end{aligned}$
따라서 $a\times b=\log_2 10\times\log_{10}2=1$이다.
정답: ① $1$
9. 함수 $f(x)=3x^2-16x-20$에 대하여
$\displaystyle\int\nolimits_{-2}^a f(x)\,dx=\displaystyle\int\nolimits_{-2}^0 f(x)\,dx$
일 때, 양수 $a$의 값은? [4점]
① $16$ ② $14$ ③ $12$ ④ $10$ ⑤ $8$
풀이
정적분의 성질에 의하여 $\displaystyle\int\nolimits_{-2}^a f(x)\,dx=\displaystyle\int\nolimits_{-2}^0 f(x)\,dx+\displaystyle\int\nolimits_0^a f(x)\,dx$이다.
따라서 $\displaystyle\int\nolimits_0^a f(x)\,dx=0$이다.
$\displaystyle\int\nolimits_0^a(3x^2-16x-20)\,dx=\left[x^3-8x^2-20x\right]_0^a=a^3-8a^2-20a$이므로 $a(a+2)(a-10)=0$이다.
$a>0$이므로 $a=10$이다.
정답: ④ $10$
10. 닫힌구간 $[0,2\pi]$에서 정의된 함수 $f(x)=a\cos bx+3$이 $x=\dfrac{\pi}{3}$에서 최댓값 $13$을 갖도록 하는 두 자연수 $a$, $b$의 순서쌍 $(a,b)$에 대하여 $a+b$의 최솟값은? [4점]
① $12$ ② $14$ ③ $16$ ④ $18$ ⑤ $20$
풀이
$a>0$이고 $x=0$에서 $\cos bx=1$이므로 최댓값은 $a+3$이다. 따라서 $a+3=13$에서 $a=10$이다.
주기는 $\dfrac{2\pi}{b}$이다. $x=\dfrac{\pi}{3}$도 최댓값을 갖는 점이므로 $\dfrac{b\pi}{3}=2k\pi$인 양의 정수 $k$가 존재한다. 따라서 $b=6k$이고 최소는 $b=6$이다.
그러므로 $a+b$의 최솟값은 $10+6=16$이다.
정답: ③ $16$
11. 시각 $t=0$일 때 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$ $(t\ge0)$에서의 위치 $x$가
$x=t^3-\dfrac32t^2-6t$
이다. 출발한 후 점 $\mathrm{P}$의 운동 방향이 바뀌는 시각에서의 점 $\mathrm{P}$의 가속도는? [4점]
① $6$ ② $9$ ③ $12$ ④ $15$ ⑤ $18$
풀이
속도와 가속도를 각각 $v$, $a$라 하면 $v=x'=3t^2-3t-6=3(t-2)(t+1)$, $a=v'=6t-3$이다.
$t\ge0$에서 속도는 $0\le t<2$일 때 음수, $t>2$일 때 양수이므로 운동 방향은 $t=2$에서 바뀐다.
이때 가속도는 $6\times2-3=9$이다.
정답: ② $9$
12. $a_1=2$인 수열 $\{a_n\}$과 $b_1=2$인 등차수열 $\{b_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{a_k}{b_{k+1}}=\dfrac12n^2$
을 만족시킬 때, $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5 a_k$의 값은? [4점]
① $120$ ② $125$ ③ $130$ ④ $135$ ⑤ $140$
풀이
$n=1$을 대입하면 $\dfrac{a_1}{b_2}=\dfrac12$이므로 $b_2=4$이다. 따라서 $\{b_n\}$의 공차는 $2$이고 $b_n=2n$이다.
$n\ge2$에서 주어진 식과 $n-1$을 대입한 식을 빼면 $\dfrac{a_n}{b_{n+1}}=\dfrac12n^2-\dfrac12(n-1)^2=n-\dfrac12$이다.
따라서 $a_n=2(n+1)\left(n-\dfrac12\right)=2n^2+n-1$이다. $n=1$에서도 우변이 $2$이므로 이 일반항은 모든 자연수에 대해 성립한다.
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5a_k=2\times\dfrac{5\times6\times11}{6}+\dfrac{5\times6}{2}-5=120$
정답: ① $120$
13. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가
$f(1)=f(2)=0$, $f'(0)=-7$ 을 만족시킨다.
원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{P}(3,f(3))$에 대하여 선분 $\mathrm{OP}$가 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm{P}$가 아닌 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 곡선 $y=f(x)$와 $y$축 및 선분 $\mathrm{OQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $A$, 곡선 $y=f(x)$와 선분 $\mathrm{PQ}$로 둘러싸인 부분의 넓이를 $B$라 할 때, $B-A$의 값은? [4점]
① $\dfrac{37}{4}$ ② $\dfrac{39}{4}$ ③ $\dfrac{41}{4}$ ④ $\dfrac{43}{4}$ ⑤ $\dfrac{45}{4}$
풀이
$f(x)=(x-1)(x-2)(x-k)$로 놓으면 $f'(0)=3k+2=-7$이다. 따라서 $k=-3$이고 $f(x)=(x-1)(x-2)(x+3)=x^3-7x+6$이다.
$f(3)=12$이므로 $\mathrm{P}(3,12)$이고 직선 $\mathrm{OP}$의 방정식은 $y=4x$이다.
$4x-f(x)=-x^3+11x-6=-(x-3)(x^2+3x-2)$이므로 선분 $\mathrm{OP}$ 위의 다른 교점 $\mathrm{Q}$의 $x$좌표는 $\alpha=\dfrac{-3+\sqrt{17}}2$이다. $0\le x<\alpha$에서는 $f(x)>4x$이고 $\alpha<x<3$에서는 $f(x)<4x$이다.
따라서 $\begin{aligned}B-A&=\displaystyle\int\nolimits_\alpha^3(4x-f(x))\,dx-\displaystyle\int\nolimits_0^\alpha(f(x)-4x)\,dx\\&=\displaystyle\int\nolimits_0^3(4x-f(x))\,dx\\&=\displaystyle\int\nolimits_0^3(-x^3+11x-6)\,dx\\&=\left[-\dfrac14x^4+\dfrac{11}{2}x^2-6x\right]_0^3\\&=-\dfrac{81}{4}+\dfrac{99}{2}-18=\dfrac{45}{4}\end{aligned}$
정답: ⑤ $\dfrac{45}{4}$
14. 그림과 같이 삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 $\overline{\mathrm{AD}}:\overline{\mathrm{DB}}=3:2$인 점 $\mathrm{D}$를 잡고, 점 $\mathrm{A}$를 중심으로 하고 점 $\mathrm{D}$를 지나는 원을 $O$, 원 $O$와 선분 $\mathrm{AC}$가 만나는 점을 $\mathrm{E}$라 하자.
$\sin A:\sin C=8:5$이고, 삼각형 $\mathrm{ADE}$와 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이의 비가 $9:35$이다. 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외접원의 반지름의 길이가 $7$일 때, 원 $O$ 위의 점 $\mathrm{P}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{PBC}$의 넓이의 최댓값은? (단, $\overline{\mathrm{AB}}<\overline{\mathrm{AC}}$) [4점]
① $18+15\sqrt3$ ② $24+20\sqrt3$ ③ $30+25\sqrt3$ ④ $36+30\sqrt3$ ⑤ $42+35\sqrt3$
풀이
원 $O$의 반지름을 $r$, $\overline{\mathrm{CE}}=x$라 하면 $\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AE}}=r$, $\overline{\mathrm{DB}}=\dfrac23r$, $\overline{\mathrm{AB}}=\dfrac53r$, $\overline{\mathrm{AC}}=r+x$이다.
넓이의 비에서 $\dfrac12r^2\sin A:\dfrac12\times\dfrac53r(r+x)\sin A=9:35$이다. 따라서 $3r+3x=7r$이므로 $x=\dfrac43r$, $\overline{\mathrm{AC}}=\dfrac73r$이다.
사인법칙과 $\sin A:\sin C=8:5$에 의하여 $\overline{\mathrm{BC}}=\overline{\mathrm{AB}}\times\dfrac{\sin A}{\sin C}=\dfrac83r$이다.
$\angle\mathrm{ACB}=\theta$라 하면 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta=\dfrac{(\dfrac83r)^2+(\dfrac73r)^2-(\dfrac53r)^2}{2\times\dfrac83r\times\dfrac73r}=\dfrac{11}{14}$이다. 따라서 $\sin\theta=\sqrt{1-(\dfrac{11}{14})^2}=\dfrac{5\sqrt3}{14}$이다.
외접원의 반지름이 $7$이므로 $\dfrac{\overline{\mathrm{AB}}}{\sin\theta}=14$이다. 따라서 $\dfrac53r=5\sqrt3$에서 $r=3\sqrt3$이다.
점 $\mathrm{A}$에서 직선 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{AC}}\sin\theta=\dfrac73\times3\sqrt3\times\dfrac{5\sqrt3}{14}=\dfrac{15}{2}$이다. 직선 $\mathrm{AH}$와 원 $O$가 만나는 두 점 중 $\mathrm{BC}$에서 더 먼 점을 $\mathrm{Q}$라 하면, 원 위의 점에서 직선 $\mathrm{BC}$까지의 거리는 $\mathrm{Q}$에서 최대이고 $\overline{\mathrm{QH}}=r+\overline{\mathrm{AH}}=3\sqrt3+\dfrac{15}{2}$이다.
그러므로 넓이의 최댓값은 $\dfrac12\times8\sqrt3\times\left(3\sqrt3+\dfrac{15}{2}\right)=36+30\sqrt3$이다.
정답: ④ $36+30\sqrt3$
15. 상수 $a$ $(a\ne3\sqrt5)$와 최고차항의 계수가 음수인 이차함수 $f(x)$에 대하여 함수
$g(x)=\begin{cases}x^3+ax^2+15x+7&(x\le0)\\f(x)&(x>0)\end{cases}$
이 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 함수 $g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하다.
(나) $x$에 대한 방정식 $g'(x)\times g'(x-4)=0$의 서로 다른 실근의 개수는 $4$이다.
$g(-2)+g(2)$의 값은? [4점]
① $30$ ② $32$ ③ $34$ ④ $36$ ⑤ $38$
풀이
$g(0)=7$이고 왼쪽 도함수의 극한은 $15$이다. 미분가능 조건에서 이차함수는 $f(x)=px^2+15x+7$ $(p<0)$이다. 따라서 $x>0$에서 $g'(x)=2px+15$의 유일한 영점은 $t=-\dfrac{15}{2p}>0$이다.
$x\le0$에서의 도함수는 $h'(x)=3x^2+2ax+15$이고 판별식은 $D=4(a^2-45)$이다. $g'$의 서로 다른 영점들의 집합을 $S$라 하면 주어진 방정식의 실근 집합은 $S\cup(S+4)$이다.
① $h'(x)=0$이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우: 두 근의 곱이 $5>0$이므로 두 근의 부호는 같다. 두 근이 모두 양수이면 $x\le0$인 쪽에서 영점이 없고 $S=\{t\}$가 되어 실근 수가 $2$이므로 불가능하다. 따라서 두 근은 $\alpha<\beta<0$이어야 한다.
이때 $S=\{\alpha,\beta,t\}$이고, $|S\cup(S+4)|=4$이려면 두 집합이 정확히 두 원소에서 겹쳐야 한다. 세 원소를 크기순으로 나열하면 이 조건은 $\beta=\alpha+4$, $t=\beta+4$일 때에만 가능하다.
근과 계수의 관계에서 $\alpha+\beta=-\dfrac{2a}{3}$, $\alpha\beta=5$이다. 따라서 $\alpha(\alpha+4)=5$에서 $(\alpha+5)(\alpha-1)=0$이고 $\alpha<0$이므로 $\alpha=-5$, $\beta=-1$이다. 그러므로 $a=9$, $t=3$이고 $-\dfrac{15}{2p}=3$에서 $p=-\dfrac52$이다.
② $h'(x)=0$이 중근을 갖는 경우: $a=\pm3\sqrt5$인데 $a\ne3\sqrt5$이므로 $a=-3\sqrt5$이다. 이때 $h'(x)=3(x-\sqrt5)^2$의 중근 $\sqrt5$는 $x\le0$에 속하지 않는다. 따라서 $S=\{t\}$이고 실근 수는 $2$라서 불가능하다.
③ $h'(x)=0$이 실근을 갖지 않는 경우: 역시 $S=\{t\}$이므로 실근 수는 $2$라서 불가능하다.
따라서 $g(x)=\begin{cases}x^3+9x^2+15x+7&(x\le0)\\-\dfrac52x^2+15x+7&(x>0)\end{cases}$이다.
$g(-2)=-8+36-30+7=5$, $g(2)=-10+30+7=27$이므로 $g(-2)+g(2)=32$이다.
정답: ② $32$