공통과목 단답형
16. 방정식 $\log_2(x-3)=\log_4(3x-5)$를 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
진수 조건에서 $x-3>0$, $3x-5>0$이므로 $x>3$이다.
$\log_2(x-3)=2\log_4(x-3)=\log_4(x-3)^2$이므로 $(x-3)^2=3x-5$이다.
$x^2-9x+14=(x-2)(x-7)=0$이다. $x>3$을 만족하는 해는 $x=7$이다.
정답: $7$
17. 다항함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=9x^2+4x$이고 $f(1)=6$일 때, $f(2)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$f(x)=\displaystyle\int(9x^2+4x)\,dx=3x^3+2x^2+C$이다.
$f(1)=6$에서 $3+2+C=6$, $C=1$이다. 따라서 $f(2)=24+8+1=33$이다.
정답: $33$
18. 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여
$a_n+a_{n+4}=12$
를 만족시킬 때, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{16}a_n$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^8a_n=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^4(a_n+a_{n+4})=12\times4=48$이다.
또한 $\displaystyle\sum\limits_{n=9}^{16}a_n=\displaystyle\sum\limits_{n=9}^{12}(a_n+a_{n+4})=12\times4=48$이다.
따라서 구하는 합은 $48+48=96$이다.
정답: $96$
19. 양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를
$f(x)=2x^3-3ax^2-12a^2x$
라 하자. 함수 $f(x)$의 극댓값이 $\dfrac{7}{27}$일 때, $f(3)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$f'(x)=6x^2-6ax-12a^2=6(x+a)(x-2a)$이다. $a>0$이므로 증가·감소는 다음과 같다.
극댓값은 $f(-a)=-2a^3-3a^3+12a^3=7a^3$이다. 따라서 $7a^3=\dfrac7{27}$이고 $a=\dfrac13$이다.
$f(x)=2x^3-x^2-\dfrac43x$이므로 $f(3)=54-9-4=41$이다.
정답: $41$
20. 곡선 $y=\left(\dfrac15\right)^{x-3}$과 직선 $y=x$가 만나는 점의 $x$좌표를 $k$라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
$x>k$인 모든 실수 $x$에 대하여
$f(x)=\left(\dfrac15\right)^{x-3}$이고 $f(f(x))=3x$이다.
$f\left(\dfrac{1}{k^3\times5^{3k}}\right)$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
지수함수는 양수이고 엄격히 감소하므로 직선 $y=x$와의 교점은 유일하고 $k>0$이다. 교점 조건 $\left(\dfrac15\right)^{k-3}=k$에서 $k\times5^k=5^3$이다.
따라서 $\dfrac{1}{k^3\times5^{3k}}=\left(\dfrac1{k\times5^k}\right)^3=\dfrac1{5^9}$이다.
$x>k$에서 $f(x)=5^{3-x}$는 $x$가 $k$보다 클 때 $0<f(x)<k$이고, 그 값은 $(0,k)$ 전체를 지난다. $y=f(x)$라 놓으면 $f(y)=f(f(x))=3x$이다. $x$가 증가할 때 $y$는 감소하고 $f(y)$는 증가하므로 $f$는 $(0,k)$에서 감소한다.
$5^{-9}<k$임은 교점이 $1<k<3$에 있다는 사실로도 확인된다. 따라서 $f(\alpha)=5^{-9}$인 $\alpha>k$가 존재한다. $5^{3-\alpha}=5^{-9}$에서 $\alpha=12$이다.
그러므로 $f\left(\dfrac{1}{k^3\times5^{3k}}\right)=f(f(12))=3\times12=36$이다.
정답: $36$
21. 함수 $f(x)=x^3+ax^2+bx+4$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a$, $b$에 대하여 $f(1)$의 최댓값을 구하시오. [4점]
모든 실수 $\alpha$에 대하여 $\displaystyle\lim\limits_{x\to\alpha}\dfrac{f(2x+1)}{f(x)}$의 값이 존재한다.
풀이
삼차방정식은 적어도 하나의 실근 $\beta$를 갖는다. 분모 $f(x)$가 $x\to\beta$에서 $0$으로 가는데 비의 극한이 유한하게 존재하려면 $f(2\beta+1)=0$이어야 한다.
같은 논리를 반복하면 $\beta$, $2\beta+1$, $4\beta+3$, $8\beta+7$, $\ldots$가 모두 실근이다. $\beta\ne-1$이면 이들은 서로 다르므로 삼차방정식의 근이 무한히 많아지는 모순이다. 따라서 실근은 $-1$뿐이다.
$f(-1)=0$에서 $-1+a-b+4=0$이므로 $b=a+3$이다. 따라서 $f(x)=(x+1)\{x^2+(a-1)x+4\}$이다.
이차인수의 실근이 있다면 그 실근도 $-1$이어야 한다. 그러나 두 근이 모두 $-1$인 이차식의 상수항은 $1$이므로 상수항 $4$와 모순이다. 따라서 이차인수는 실근을 갖지 않아야 한다.
판별식은 $(a-1)^2-16=(a+3)(a-5)<0$이므로 $-3<a<5$이다. 이 경우 이차인수는 모든 실수에서 양수이고 $x=-1$은 단순근이므로 분자에도 단순인수 $2(x+1)$이 생겨 극한은 유한하다. 따라서 이 조건은 충분하기도 하다.
$f(1)=1+a+b+4=2a+8$이므로 정수 $a$의 최댓값 $4$에서 최댓값은 $16$이다.
정답: $16$
22. 모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $|a_1|$의 값의 합을 구하시오. [4점]
(가) 모든 자연수 $n$에 대하여
$a_{n+1}=\begin{cases}a_n-3&(|a_n|\text{이 홀수인 경우})\\\dfrac12a_n&(a_n=0\text{ 또는 }|a_n|\text{이 짝수인 경우})\end{cases}$
이다.
(나) $|a_m|=|a_{m+2}|$인 자연수 $m$의 최솟값은 $3$이다.
풀이
조건 (나)에서 $|a_3|=|a_5|$이지만 $|a_1|\ne|a_3|$, $|a_2|\ne|a_4|$이다.
① $|a_3|$이 홀수일 때: $a_4=a_3-3$은 짝수이고 $a_5=\dfrac12(a_3-3)$이다. $|a_3|=\left|\dfrac12(a_3-3)\right|$에서 $a_3=1$ 또는 $a_3=-3$이다.
$a_3=1$이면 $a_4=-2$이다. 역으로 $a_2$는 $a_2-3=1$인 홀수이거나 $a_2/2=1$인 짝수여야 한다. 앞의 경우 $a_2=4$는 홀수가 아니므로 불가능하고 $a_2=2$만 가능하다. 그런데 $|a_2|=|a_4|=2$이므로 제외한다.
$a_3=-3$이면 $a_4=-6$이다. 같은 방식으로 $a_2=-6$만 가능하고 역시 $|a_2|=|a_4|$이므로 제외한다.
② $a_3=0$ 또는 $|a_3|$이 짝수일 때: $a_4=\dfrac12a_3$이다. 이때 두 경우의 다음 항은 아래와 같다.
$a_4$가 $0$ 또는 짝수이면 $a_5=\dfrac14a_3$이므로 $|a_3|=|a_5|$에서 $a_3=0$이다. 역으로 $a_2=3$ 또는 $0$이다.
$a_2=0$이면 $|a_2|=|a_4|$이므로 제외한다. $a_2=3$이면 $a_1=6$만 가능하다. 이때 수열의 처음 다섯 항은 $6,3,0,0,0$이고 최소 $m$은 $3$이다.
$a_4$가 홀수이면 $a_5=\dfrac12a_3-3$이다. 따라서 $|a_3|=\left|\dfrac12a_3-3\right|$에서 $a_3=2$ 또는 $a_3=-6$이다.
$a_3=2$이면 $a_4=1$이고 $a_2=5$ 또는 $4$이다. $a_2=5$이면 $a_1=10$이고, $a_2=4$이면 $a_1=7$ 또는 $8$이다. 역으로 얻는 항들은 다음과 같다.
각각 $10,5,2,1,-2$ / $7,4,2,1,-2$ / $8,4,2,1,-2$이므로 모두 조건을 만족한다.
$a_3=-6$이면 $a_4=-3$이고 $a_2=-3$ 또는 $-12$이다.
$a_2=-3$이면 $|a_2|=|a_4|$이므로 제외한다. $a_2=-12$이면 $a_1=-9$ 또는 $-24$이다.
각각 $-9,-12,-6,-3,-6$ / $-24,-12,-6,-3,-6$이므로 모두 조건을 만족한다.
따라서 가능한 $a_1$은 $6,10,7,8,-9,-24$이고, 구하는 합은 $6+10+7+8+9+24=64$이다.
정답: $64$