선택과목: 확률과통계
확률과통계 5지선다형
23. 다항식 $(x^3+2)^5$의 전개식에서 $x^6$의 계수는? [2점]
① $40$ ② $50$ ③ $60$ ④ $70$ ⑤ $80$
풀이
이항정리에 의하여 일반항은 ${}_5\mathrm{C}_r\,2^{5-r}(x^3)^r$ $(r=0,1,\ldots,5)$이다.
$x^6$항은 $3r=6$, 즉 $r=2$일 때이므로 계수는 ${}_5\mathrm{C}_2\times2^3=10\times8=80$이다.
정답: ⑤ $80$
24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여
$\mathrm{P}(A\mid B)=\mathrm{P}(A)=\dfrac12$, $\mathrm{P}(A\cap B)=\dfrac15$
일 때, $\mathrm{P}(A\cup B)$의 값은? [3점]
① $\dfrac12$ ② $\dfrac35$ ③ $\dfrac7{10}$ ④ $\dfrac45$ ⑤ $\dfrac9{10}$
풀이
$\mathrm{P}(A\mid B)=\dfrac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}=\mathrm{P}(A)$이므로 $\mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B)$이다.
따라서 $\dfrac15=\dfrac12\mathrm{P}(B)$에서 $\mathrm{P}(B)=\dfrac25$이다.
$\mathrm{P}(A\cup B)=\mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)-\mathrm{P}(A\cap B)=\dfrac12+\dfrac25-\dfrac15=\dfrac7{10}$
정답: ③ $\dfrac7{10}$
25. 정규분포 $N(m,2^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $256$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $a\le m\le b$이다. $b-a$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}(|Z|\le1.96)=0.95$로 계산한다.) [3점]
① $0.49$ ② $0.52$ ③ $0.55$ ④ $0.58$ ⑤ $0.61$
풀이
표본평균을 $\overline{x}$라 하면 신뢰구간은 $\overline{x}-1.96\times\dfrac2{\sqrt{256}}\le m\le\overline{x}+1.96\times\dfrac2{\sqrt{256}}$이다.
따라서 $b-a=2\times1.96\times\dfrac2{16}=2\times1.96\times\dfrac18=0.49$이다.
정답: ① $0.49$
26. 어느 학급의 학생 $16$명을 대상으로 과목 $\mathrm{A}$와 과목 $\mathrm{B}$에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 모두 과목 $\mathrm{A}$와 과목 $\mathrm{B}$ 중 하나를 선택하였고, 과목 $\mathrm{A}$를 선택한 학생은 $9$명, 과목 $\mathrm{B}$를 선택한 학생은 $7$명이다. 이 조사에 참여한 학생 $16$명 중에서 임의로 $3$명을 선택할 때, 선택한 $3$명의 학생 중에서 적어도 한 명이 과목 $\mathrm{B}$를 선택한 학생일 확률은? [3점]
① $\dfrac34$ ② $\dfrac45$ ③ $\dfrac{17}{20}$ ④ $\dfrac9{10}$ ⑤ $\dfrac{19}{20}$
풀이
여사건은 선택한 세 명 모두 과목 $\mathrm{A}$를 선택한 학생인 사건이다.
전체 경우는 ${}_{16}\mathrm{C}_3=560$, 세 명 모두 $\mathrm{A}$를 선택한 학생인 경우는 ${}_9\mathrm{C}_3=84$이므로 여사건의 확률은 $\dfrac{84}{560}=\dfrac3{20}$이다.
따라서 구하는 확률은 $1-\dfrac3{20}=\dfrac{17}{20}$이다.
정답: ③ $\dfrac{17}{20}$
27. 숫자 $1$, $3$, $5$, $7$, $9$가 각각 하나씩 적혀 있는 $5$장의 카드가 들어 있는 주머니가 있다.
이 주머니에서 임의로 $1$장의 카드를 꺼내어 카드에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는 시행을 한다. 이 시행을 $3$번 반복하여 확인한 세 개의 수의 평균을 $\overline{X}$라 하자. $\mathrm{V}(a\overline{X}+6)=24$일 때, 양수 $a$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
모집단의 확률변수를 $X$라 하면 $\mathrm{E}(X)=\dfrac{1+3+5+7+9}{5}=5$이다.
$\mathrm{V}(X)=\dfrac{(1-5)^2+(3-5)^2+(5-5)^2+(7-5)^2+(9-5)^2}{5}=8$이다.
복원추출을 세 번 하므로 $\mathrm{V}(\overline{X})=\dfrac{\mathrm{V}(X)}3=\dfrac83$이다.
따라서 $\mathrm{V}(a\overline{X}+6)=a^2\mathrm{V}(\overline{X})=\dfrac83a^2=24$이고 $a^2=9$이다. $a>0$이므로 $a=3$이다.
정답: ③ $3$
28. 집합 $X=\{1,2,3,4,5,6\}$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f:X\to X$의 개수는? [4점]
(가) $f(1)\times f(6)$의 값이 $6$의 약수이다.
(나) $2f(1)\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)\le2f(6)$
① $166$ ② $171$ ③ $176$ ④ $181$ ⑤ $186$
풀이
조건 (나)에서 $f(1)\le f(6)$이다. $6$의 양의 약수는 $1,2,3,6$이므로 곱에 따라 경우를 나눈다. 중간 네 값이 $k$개의 정수 중에서 비감소 순서로 선택되면 그 개수는 중복조합 ${}_k\mathrm{H}_4={}_{k+3}\mathrm{C}_4$이다.
① $f(1)f(6)=1$: $(f(1),f(6))=(1,1)$이다. $2\le f(2)\le f(3)\le f(4)\le f(5)\le2$이므로 네 값은 모두 $2$이고 $1$개이다.
② $f(1)f(6)=2$: $(f(1),f(6))=(1,2)$이다. 중간 네 값은 $2,3,4$ 중에서 선택하므로 ${}_3\mathrm{H}_4={}_6\mathrm{C}_4=15$개이다.
③ $f(1)f(6)=3$: $(f(1),f(6))=(1,3)$이다. 중간 네 값은 $2,3,4,5,6$ 중에서 선택하므로 ${}_5\mathrm{H}_4={}_8\mathrm{C}_4=70$개이다.
④ $f(1)f(6)=6$: $(1,6)$ 또는 $(2,3)$이다. $(1,6)$이면 부등식의 상한은 $12$이지만 공역이 $X$이므로 중간 값은 $2,3,4,5,6$ 중에서 선택한다. 따라서 ${}_5\mathrm{H}_4=70$개이다. $(2,3)$이면 중간 값은 $4,5,6$ 중에서 선택하므로 ${}_3\mathrm{H}_4=15$개이다. 합하여 $85$개이다.
그러므로 전체 개수는 $1+15+70+85=171$이다.
정답: ② $171$
확률과통계 단답형
29. 정규분포 $N(m_1,\sigma_1^2)$을 따르는 확률변수 $X$와 정규분포 $N(m_2,\sigma_2^2)$을 따르는 확률변수 $Y$가 다음 조건을 만족시킨다.
모든 실수 $x$에 대하여
$\mathrm{P}(X\le x)=\mathrm{P}(X\ge40-x)$이고
$\mathrm{P}(Y\le x)=\mathrm{P}(X\le x+10)$이다.
$\mathrm{P}(15\le X\le20)+\mathrm{P}(15\le Y\le20)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것이 $0.4772$일 때, $m_1+\sigma_2$의 값을 구하시오. (단, $\sigma_1$과 $\sigma_2$는 양수이다.) [4점]
풀이
표준정규분포의 대칭성에 의하여 첫 조건은 $\dfrac{x-m_1}{\sigma_1}=-\dfrac{40-x-m_1}{\sigma_1}$을 뜻하므로 $m_1=20$이다.
둘째 조건을 표준화하면 $\mathrm{P}\left(Z\le\dfrac{x-m_2}{\sigma_2}\right)=\mathrm{P}\left(Z\le\dfrac{x-10}{\sigma_1}\right)$이다. 표준정규분포의 누적분포함수는 엄격히 증가하므로 두 경계가 같다.
따라서 모든 실수 $x$에 대하여 $\sigma_1x-m_2\sigma_1=\sigma_2x-10\sigma_2$이고, 계수를 비교하면 $\sigma_1=\sigma_2$, $m_2=10$이다.
$\begin{aligned}&\mathrm{P}(15\le X\le20)+\mathrm{P}(15\le Y\le20)\\&=\mathrm{P}\left(-\dfrac5{\sigma_1}\le Z\le0\right)+\mathrm{P}\left(\dfrac5{\sigma_2}\le Z\le\dfrac{10}{\sigma_2}\right)\\&=\mathrm{P}\left(0\le Z\le\dfrac5{\sigma_1}\right)+\mathrm{P}\left(\dfrac5{\sigma_1}\le Z\le\dfrac{10}{\sigma_1}\right)\\&=\mathrm{P}\left(0\le Z\le\dfrac{10}{\sigma_1}\right)=0.4772\end{aligned}$
표에서 $\dfrac{10}{\sigma_1}=2$이므로 $\sigma_1=\sigma_2=5$이다. 따라서 $m_1+\sigma_2=20+5=25$이다.
정답: $25$
30. 탁자 위에 $5$개의 동전이 일렬로 놓여 있다. 이 $5$개의 동전 중 $1$번째 자리와 $2$번째 자리의 동전은 앞면이 보이도록 놓여 있고, 나머지 자리의 $3$개의 동전은 뒷면이 보이도록 놓여 있다. 이 $5$개의 동전과 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다.
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k\le5$이면 $k$번째 자리의 동전을 한 번 뒤집어 제자리에 놓고,
$k=6$이면 모든 동전을 한 번씩 뒤집어 제자리에 놓는다.
위의 시행을 $3$번 반복한 후 이 $5$개의 동전이 모두 앞면이 보이도록 놓여 있을 확률을 $\dfrac{q}{p}$라 할 때, $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
앞면을 $H$, 뒷면을 $T$라 하면 처음 상태는 $HHTTT$이다. 눈 $6$이 나온 횟수에 따라 배반인 네 경우로 나눈다.
① $6$이 세 번 나온 경우: 모든 동전이 세 번 뒤집혀 $TTHHH$가 되므로 불가능하다.
② $6$이 두 번 나온 경우: 전체 뒤집기가 두 번이므로 서로 상쇄되고, 나머지 한 시행에서 한 동전만 뒤집힌다. 처음 상태의 뒷면 세 개를 모두 앞면으로 만들 수 없으므로 불가능하다.
③ $6$이 한 번 나온 경우: 전체를 한 번 뒤집으면 $TTHHH$이므로 나머지 두 시행에서 $1$번째와 $2$번째 동전을 한 번씩 뒤집어야 한다. 따라서 눈 $1,2,6$이 각각 한 번 나와야 한다. 순서는 $3!=6$가지이고 확률은 $6\times\left(\dfrac16\right)^3=\dfrac1{36}$이다.
④ $6$이 한 번도 나오지 않은 경우: 처음 뒷면인 $3,4,5$번째 동전을 각각 한 번씩 뒤집어야 한다. 눈 $3,4,5$가 각각 한 번 나오는 순서는 $3!=6$가지이고 확률은 $\dfrac1{36}$이다.
따라서 전체 확률은 $\dfrac1{36}+\dfrac1{36}=\dfrac1{18}$이다. $p=18$, $q=1$이므로 $p+q=19$이다.
정답: $19$