선택과목: 미적분
미적분 5지선다형
23. $\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x^2}{\sin^2x}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$이므로 $\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{3x^2}{\sin^2x}=3\times\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}\times\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x}{\sin x}=3$이다.
정답: ③ $3$
24. $\displaystyle\int\nolimits_0^{10}\dfrac{x+2}{x+1}\,dx$의 값은? [3점]
① $10+\ln5$ ② $10+\ln7$ ③ $10+2\ln3$ ④ $10+\ln11$ ⑤ $10+\ln13$
풀이
$\dfrac{x+2}{x+1}=1+\dfrac1{x+1}$이므로 $\displaystyle\int\nolimits_0^{10}\dfrac{x+2}{x+1}\,dx=\left[x+\ln|x+1|\right]_0^{10}=10+\ln11$이다.
정답: ④ $10+\ln11$
25. 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{na_n}{n^2+3}=1$일 때, $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\left(\sqrt{a_n^2+n}-a_n\right)$의 값은? [3점]
① $\dfrac13$ ② $\dfrac12$ ③ $1$ ④ $2$ ⑤ $3$
풀이
$b_n=\dfrac{na_n}{n^2+3}$라 하면 $b_n\to1$이고 $\dfrac{a_n}{n}=b_n\dfrac{n^2+3}{n^2}\to1$이다. 따라서 충분히 큰 $n$에서 $a_n>0$이다.
유리화한 후 분모를 $n$으로 나누면 $\begin{aligned}\sqrt{a_n^2+n}-a_n&=\dfrac{n}{\sqrt{a_n^2+n}+a_n}\\&=\dfrac1{\sqrt{(a_n/n)^2+1/n}+a_n/n}\end{aligned}$이다.
따라서 극한값은 $\dfrac1{\sqrt{1^2+0}+1}=\dfrac12$이다.
정답: ② $\dfrac12$
26. 그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{\dfrac{x+1}{x(x+\ln x)}}$과 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x=e$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다.
이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
① $\ln(e+1)$ ② $\ln(e+2)$ ③ $\ln(e+3)$ ④ $\ln(2e+1)$ ⑤ $\ln(2e+2)$
풀이
$x=t$ $(1\le t\le e)$에서 정사각형 단면의 한 변의 길이는 $\sqrt{\dfrac{t+1}{t(t+\ln t)}}$이므로 넓이는 $S(t)=\dfrac{t+1}{t(t+\ln t)}$이다.
부피는 $\displaystyle\int\nolimits_1^e\dfrac{t+1}{t(t+\ln t)}\,dt$이다. $s=t+\ln t$로 치환하면 $ds=\dfrac{t+1}{t}\,dt$이고, 적분 구간은 $t=1$에서 $s=1$, $t=e$에서 $s=e+1$이다.
따라서 부피는 $\displaystyle\int\nolimits_1^{e+1}\dfrac1s\,ds=[\ln s]_1^{e+1}=\ln(e+1)$이다.
정답: ① $\ln(e+1)$
27. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$를
$g(x)=f(e^x)+e^x$
이라 하자. 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(0,g(0))$에서의 접선이 $x$축이고 함수 $g(x)$가 역함수 $h(x)$를 가질 때, $h'(8)$의 값은? [3점]
① $\dfrac1{36}$ ② $\dfrac1{18}$ ③ $\dfrac1{12}$ ④ $\dfrac19$ ⑤ $\dfrac5{36}$
풀이
접선이 $x$축이므로 $g(0)=0$, $g'(0)=0$이다. $g(0)=f(1)+1=0$에서 $f(1)=-1$이고, $g'(x)=e^x\{f'(e^x)+1\}$이므로 $f'(1)=-1$이다.
$g$는 연속이고 역함수가 존재하므로 실수 전체에서 엄격히 단조이다. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수로부터 $g(x)\to\infty$ $(x\to\infty)$이므로 $g$는 증가한다. 따라서 $g'(x)\ge0$이고, $e^x>0$에서 $f'(e^x)+1\ge0$이다.
즉, $u>0$에서 이차함수 $f'(u)+1\ge0$이며 $u=1$에서 $0$이다. 내부점 $1$에서 최솟값을 가지므로 최고차항의 계수가 $3$인 이차식은 $f'(u)+1=3(u-1)^2$이다.
따라서 $f'(x)=3(x-1)^2-1$이고 $f(x)=(x-1)^3-x+C$이다. $f(1)=-1$에서 $C=0$이다. 그러므로 $g(x)=(e^x-1)^3$이다.
$g(h(8))=8$에서 $(e^{h(8)}-1)^3=8$, $h(8)=\ln3$이다.
$g'(x)=3e^x(e^x-1)^2$이므로 $h'(8)=\dfrac1{g'(\ln3)}=\dfrac1{3\times3\times(3-1)^2}=\dfrac1{36}$이다.
정답: ① $\dfrac1{36}$
28. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가
$f'(x)=-x+e^{1-x^2}$
이다. 양수 $t$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(t,f(t))$에서의 접선과 곡선 $y=f(x)$ 및 $y$축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 $g(t)$라 하자. $g(1)+g'(1)$의 값은? [4점]
① $\dfrac12e+\dfrac12$ ② $\dfrac12e+\dfrac23$ ③ $\dfrac12e+\dfrac56$ ④ $\dfrac23e+\dfrac12$ ⑤ $\dfrac23e+\dfrac23$
풀이
$x>0$에서 $f''(x)=-1-2xe^{1-x^2}<0$이므로 그래프는 위로 볼록하고 접선이 곡선 위에 있다. 접선은 $y=f'(t)(x-t)+f(t)$이므로
$g(t)=\displaystyle\int\nolimits_0^t\{f'(t)(x-t)+f(t)-f(x)\}\,dx$이다.
$\displaystyle\int xf'(x)\,dx=\displaystyle\int(-x^2+xe^{1-x^2})\,dx=-\dfrac13x^3-\dfrac12e^{1-x^2}$이다. 부분적분으로 $\displaystyle\int f(x)\,dx=xf(x)+\dfrac13x^3+\dfrac12e^{1-x^2}$를 얻는다.
$\begin{aligned}g(t)&=\left[\dfrac12f'(t)x^2-tf'(t)x+f(t)x\right]_0^t-\left[xf(x)+\dfrac13x^3+\dfrac12e^{1-x^2}\right]_0^t\\&=-\dfrac12t^2f'(t)-\dfrac13t^3-\dfrac12e^{1-t^2}+\dfrac e2\\&=\dfrac16t^3-\dfrac12(t^2+1)e^{1-t^2}+\dfrac e2\end{aligned}$
이를 미분하면 $g'(t)=\dfrac12t^2+t^3e^{1-t^2}$이다.
그러므로 $g(1)=\dfrac16-1+\dfrac e2=-\dfrac56+\dfrac e2$, $g'(1)=\dfrac32$이고, 합은 $\dfrac e2+\dfrac23$이다.
정답: ② $\dfrac12e+\dfrac23$
미적분 단답형
29. 등비수열 $\{a_n\}$이
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(|a_n|+a_n)=\dfrac{40}{3}$, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(|a_n|-a_n)=\dfrac{20}{3}$
을 만족시킨다. 부등식
$\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{2n}\left\{(-1)^{\frac{k(k+1)}2}\times a_{m+k}\right\}>\dfrac1{700}$
을 만족시키는 모든 자연수 $m$의 값의 합을 구하시오. [4점]
풀이
첫째항을 $a$, 공비를 $r$라 하자. $a=0$이면 두 합이 모두 $0$이므로 불가능하다. $r\ge0$이면 모든 0이 아닌 항의 부호가 같아 두 합 중 하나가 $0$이므로 불가능하다. 따라서 $r<0$이다. 두 급수의 합에서 $2\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty|a_n|=20$이므로 절댓값 급수가 수렴한다. 따라서 $|r|<1$이고 등비급수의 합 공식을 적용할 수 있다.
① $a>0$, $r<0$일 때: 홀수 번째 항은 양수이고 짝수 번째 항은 음수이므로
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(|a_n|+a_n)=2\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2n-1}=\dfrac{2a}{1-r^2}=\dfrac{40}{3}$,
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty(|a_n|-a_n)=-2\displaystyle\sum\limits_{n=1}^\infty a_{2n}=\dfrac{-2ar}{1-r^2}=\dfrac{20}{3}$이다.
비를 취하면 $-r=\dfrac12$이므로 $r=-\dfrac12$, $a=5$이다.
② $a<0$, $r<0$일 때: 짝수 번째 항은 양수이고 홀수 번째 항은 음수이므로 $\dfrac{2ar}{1-r^2}=\dfrac{40}{3}$, $\dfrac{-2a}{1-r^2}=\dfrac{20}{3}$이다. 비를 취하면 $-r=2$, 즉 $r=-2$이지만 이 경우 항이 $0$으로 가지 않으므로 급수가 수렴하지 않는다. 따라서 제외한다.
그러므로 $a_n=5\left(-\dfrac12\right)^{n-1}$이다. 구하는 극한은
$5\left(-\dfrac12\right)^{m-1}\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^{\frac{k(k+1)}2}\left(-\dfrac12\right)^k$이다.
결합한 지수는 $\dfrac{k(k+3)}2$이다. $k=4l-3,4l$에서는 부호가 $+$, $k=4l-2,4l-1$에서는 부호가 $-$이다.
$2n=4p-2$일 때 안쪽 합은 $\displaystyle\sum\limits_{l=1}^p\left(\dfrac12-\dfrac14\right)\left(\dfrac1{16}\right)^{l-1}-\displaystyle\sum\limits_{l=1}^{p-1}\left(\dfrac18-\dfrac1{16}\right)\left(\dfrac1{16}\right)^{l-1}$이다.
$2n=4p$일 때는 $\displaystyle\sum\limits_{l=1}^p\left(\dfrac12-\dfrac14-\dfrac18+\dfrac1{16}\right)\left(\dfrac1{16}\right)^{l-1}$이다. 두 부분수열의 극한은 모두 $\dfrac{\dfrac12-\dfrac14-\dfrac18+\dfrac1{16}}{1-\dfrac1{16}}=\dfrac15$이다.
따라서 전체 극한은 $\left(-\dfrac12\right)^{m-1}$이고, 부등식은 $\left(-\dfrac12\right)^{m-1}>\dfrac1{700}$과 같다.
$m$이 짝수이면 좌변이 음수이므로 불가능하다. $m$이 홀수일 때 $2^{m-1}<700$이어야 한다. $2^8=256<700<1024=2^{10}$이므로 가능한 $m$은 $1,3,5,7,9$이다. 그 합은 $25$이다.
정답: $25$
30. 두 상수 $a$ $(1\le a\le2)$, $b$에 대하여 함수 $f(x)=\sin(ax+b+\sin x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $f(0)=0$, $f(2\pi)=2\pi a+b$
(나) $f'(0)=f'(t)$인 양수 $t$의 최솟값은 $4\pi$이다.
함수 $f(x)$가 $x=\alpha$에서 극대인 $\alpha$의 값 중 열린구간 $(0,4\pi)$에 속하는 모든 값의 집합을 $A$라 하자. 집합 $A$의 원소의 개수를 $n$, 집합 $A$의 원소 중 가장 작은 값을 $\alpha_1$이라 하면, $n\alpha_1-ab=\dfrac{q}{p}\pi$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
$f(0)=\sin b=0$이므로 $b=k\pi$인 정수 $k$가 존재한다. $f(2\pi)=\sin(2\pi a+b)=2\pi a+b$이고 $\sin u=u$의 유일한 실근은 $u=0$이므로 $b=-2\pi a$이다.
따라서 $a=-\dfrac k2$이고 $1\le a\le2$이므로 $a=1,\dfrac32,2$ 중 하나이다. 이때 $f(x)=\sin(ax-2\pi a+\sin x)$이고
$f'(x)=(a+\cos x)\cos(ax-2\pi a+\sin x)$이다.
$f'(0)=(a+1)\cos2\pi a$, $f'(2\pi)=a+1$, $f'(4\pi)=(a+1)\cos2\pi a$이다. $a=1$ 또는 $a=2$이면 $f'(0)=f'(2\pi)$이므로 조건 (나)에 어긋난다. 따라서 $a=\dfrac32$, $b=-3\pi$이다.
이 경우 $f'(0)=-\dfrac52$이다. 모든 $x$에서 $\dfrac12\le\dfrac32+\cos x\le\dfrac52$이므로 이 최솟값에 도달하려면 $\cos x=1$과 $\cos(\dfrac32x-3\pi+\sin x)=-1$이 동시에 성립해야 한다. $x=2l\pi$를 대입하면 뒤 조건은 $l$이 짝수일 때 성립하므로 가장 작은 양수는 실제로 $4\pi$이다.
$u(x)=\dfrac32x-3\pi+\sin x$라 하면 $u'(x)=\dfrac32+\cos x>0$이므로 $u$는 엄격히 증가하고 $u(0)=-3\pi$, $u(4\pi)=3\pi$이다.
$u(\beta_i)=\dfrac{2i-7}{2}\pi$ $(i=1,2,\ldots,6)$인 점을 크기순으로 $\beta_1,\ldots,\beta_6$라 하자. $f(x)=\sin u(x)$는 $\beta_1,\beta_3,\beta_5$에서 극소이고 $\beta_2,\beta_4,\beta_6$에서 극대이다. 따라서 $n=3$, $\alpha_1=\beta_2$이다.
$u(\beta_2)=-\dfrac32\pi$에서 $\sin\beta_2=-\dfrac32(\beta_2-\pi)$이다. 함수 $\sin x+\dfrac32(x-\pi)$의 도함수는 $\cos x+\dfrac32>0$이므로 근은 유일하고 $x=\pi$가 그 근이다. 따라서 $\alpha_1=\pi$이다.
그러므로 $n\alpha_1-ab=3\pi-\dfrac32(-3\pi)=\dfrac{15}{2}\pi$이고 $p+q=2+15=17$이다.
정답: $17$