2025 수능 수학 기출문제 풀이 해설

$\vec a+3\vec b=(k,3)+3(1,2)=(k+3,9)=(6,9)$이므로 $k+3=6$, $k=3$이다.

정답: ③ $3$

꼭짓점은 초점과 준선 사이의 중점이므로 초점은 $(3,0)$이다. 포물선 위의 점 $(3,a)$에서 초점까지의 거리는 $|a|$이고 준선까지의 거리는 $|3-(-1)|=4$이므로 $a>0$에서 $a=4$이다.

다른 방법으로 초점거리 $p=2$이므로 포물선은 $y^2=8(x-1)$이다. $(3,a)$를 대입하면 $a^2=16$이고 $a=4$이다.

정답: ④ $4$

내분점은 $z$축 위에 있으므로 $x$, $y$좌표가 모두 $0$이다.

$\dfrac{3(-4)+2a}{3+2}=0$, $\dfrac{3(-2)+2b}{3+2}=0$에서 $a=6$, $b=3$이다.

외분점은 $xy$평면 위에 있으므로 $z$좌표가 $0$이다. $\dfrac{3c-2\times6}{3-2}=0$에서 $c=4$이다.

따라서 $a+b+c=6+3+4=13$이다.

정답: ③ $13$

$\mathrm{P}(\dfrac1n,y_1)$이라 하면 타원 $C_1$의 접선은 $\dfrac{x}{2n}+y_1y=1$이다. $y=0$을 대입하면 $x=2n$이므로 $\alpha=2n$이다.

$\mathrm{Q}(\dfrac1n,y_2)$이라 하면 타원 $C_2$의 접선은 $\dfrac{2x}{n}+\dfrac{y_2y}{2}=1$이다. $y=0$을 대입하면 $x=\dfrac n2$이므로 $\beta=\dfrac n2$이다.

따라서 $6\le\dfrac{3n}{2}\le15$에서 $4\le n\le10$이다. 가능한 자연수는 $4,5,6,7,8,9,10$의 $7$개이다.

정답: ① $7$

$\mathrm{BC}\perp\text{평면 }\mathrm{AMD}$이므로 $\mathrm{BC}\perp\mathrm{AM}$이고 $\mathrm{BM}=\mathrm{CM}=2\sqrt5$이다. 직각삼각형 $\mathrm{ABM}$에서 $\mathrm{AM}=\sqrt{6^2-(2\sqrt5)^2}=4$이다. 따라서 정삼각형 $\mathrm{AMD}$의 세 변의 길이는 $4$이다.

또한 $\mathrm{BC}\perp\mathrm{DM}$이므로 $\mathrm{CD}=\sqrt{4^2+(2\sqrt5)^2}=6$이고 같은 이유로 $\mathrm{AC}=6$이다. 삼각형 $\mathrm{ACD}$는 변의 길이가 $6,6,4$인 이등변삼각형이다.

점 $\mathrm{A}$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{N}$이라 하자. 정삼각형 $\mathrm{AMD}$에서 $\mathrm{A}$로부터 $\mathrm{DM}$에 내린 수선은 $\mathrm{DM}$에 수직이고, $\mathrm{BC}\perp\text{평면 }\mathrm{AMD}$이므로 $\mathrm{BC}$에도 수직이다. 따라서 이 수선은 평면 $\mathrm{BCD}$에 수직이다. 그러므로 $\mathrm{N}$은 $\mathrm{DM}$의 중점이다.

삼각형 $\mathrm{ACD}$의 정사영은 삼각형 $\mathrm{NCD}$이다. $\mathrm{M}$이 $\mathrm{BC}$의 중점이고 $\mathrm{N}$이 $\mathrm{DM}$의 중점이므로 $[\triangle\mathrm{NCD}]=\dfrac14[\triangle\mathrm{BCD}]$이다.

따라서 $S_1=[\triangle\mathrm{NCD}]=\dfrac14\times\dfrac12\times4\sqrt5\times4=2\sqrt5$이다. 한편 $\mathrm{AD}$의 중점을 $\mathrm{L}$이라 하면 $\mathrm{CL}=\sqrt{6^2-2^2}=4\sqrt2$이므로 $S_2=[\triangle\mathrm{ACD}]=\dfrac12\times4\times4\sqrt2=8\sqrt2$이다.

두 평면 $\mathrm{ACD}$, $\mathrm{BCD}$가 이루는 예각을 $\theta$라 하면 $\cos\theta=\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{\sqrt{10}}8$이다.

내접원의 반지름을 $r$라 하면 $S_2=rs$이고 반둘레 $s=\dfrac{6+6+4}{2}=8$이므로 $r=\sqrt2$이다. 따라서 내접원 넓이는 $2\pi$이고 정사영의 넓이는 $2\pi\cos\theta=\dfrac{\sqrt{10}}4\pi$이다.

정답: ① $\dfrac{\sqrt{10}}4\pi$

$\mathrm{AC}=\sqrt{8^2+6^2}=10$이므로 구의 중심은 $\mathrm{AC}$의 중점 $\mathrm{O'}$이고 반지름은 $5$이다. 원 $O$의 평면을 $\alpha$라 하자.

원 위의 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$는 평면 $\mathrm{ABC}$에 관하여 대칭이다. 선분 $\mathrm{PQ}$와 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{D}$라 하면 $\mathrm{PD}\perp\mathrm{AB}$이고 $\mathrm{PD}=\mathrm{QD}$이다. 점 $\mathrm{P}$에서 $\mathrm{AC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하면 $\mathrm{PH}=4$이다.

$\mathrm{O'H}$는 $\mathrm{AC}$ 위에 있으므로 직각삼각형 $\mathrm{PO'H}$에서 $\mathrm{O'H}=\sqrt{5^2-4^2}=3$이다. 또한 $\mathrm{O'A}=5$이다. $\mathrm{H}$가 $\mathrm{A}$ 쪽에 있을 때 $\mathrm{AH}=2$이고, $\mathrm{C}$ 쪽에 있을 때 $\mathrm{AH}=8$이다.

$\alpha\perp\text{평면 }\mathrm{ABC}$이고 $\mathrm{PD}\perp\mathrm{AB}$이므로 $\mathrm{PD}\perp\text{평면 }\mathrm{ABC}$이다. 삼수선의 정리에 의하여 $\mathrm{DH}\perp\mathrm{AC}$이다. 따라서 직각삼각형 $\mathrm{ADH}$와 $\mathrm{ACB}$가 닮음이므로 $\mathrm{AB}:\mathrm{BC}=\mathrm{AH}:\mathrm{HD}$이다.

$\mathrm{AH}=8$이면 $\mathrm{HD}=6>\mathrm{PH}=4$가 되어 불가능하다. 따라서 $\mathrm{AH}=2$, $\mathrm{HD}=\dfrac32$이다.

직각삼각형 $\mathrm{PHD}$에서 $\mathrm{PD}=\sqrt{4^2-(\dfrac32)^2}=\dfrac{\sqrt{55}}2$이다. 따라서 $\mathrm{PQ}=2\mathrm{PD}=\sqrt{55}$이다.

정답: ④ $\sqrt{55}$

쌍곡선에서 $c^2=1+35=36$이므로 $c=6$, $\mathrm{FF'}=12$이다. $\mathrm{PF}=\alpha>0$라 하면 $\mathrm{PQ}=\alpha$이고, 쌍곡선의 정의에서 $\mathrm{PF'}-\mathrm{PF}=2$이므로 $\mathrm{PF'}=\alpha+2$이다.

$\mathrm{PF'}<\mathrm{QF'}$이고 $\mathrm{PQ}=\alpha$이므로 $\mathrm{Q}$는 $\mathrm{F'}$에서 $\mathrm{P}$를 지나 연장한 반직선 위에 있다. 따라서 $\mathrm{QF'}=\mathrm{PQ}+\mathrm{PF'}=2(\alpha+1)$이다.

닮음 $\triangle\mathrm{QF'F}\sm\triangle\mathrm{FF'P}$에서 $\mathrm{QF'}:\mathrm{FF'}=\mathrm{FF'}:\mathrm{PF'}$이다. 따라서 $2(\alpha+1):12=12:(\alpha+2)$이고 $2(\alpha+1)(\alpha+2)=144$이다.

$\alpha^2+3\alpha-70=(\alpha+10)(\alpha-7)=0$이고 $\alpha>0$이므로 $\alpha=7$이다.

또한 $\mathrm{QF'}:\mathrm{QF}=\mathrm{FF'}:\mathrm{FP}$이므로 $16:\mathrm{QF}=12:7$, $\mathrm{QF}=\dfrac{28}{3}$이다.

점 $\mathrm{P}$에서 $\mathrm{QF}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\mathrm{PQ}=\mathrm{PF}=7$이므로 삼각형 $\mathrm{PFQ}$는 이등변삼각형이고 $\mathrm{FH}=\dfrac12\mathrm{QF}=\dfrac{14}{3}$이다.

따라서 $\mathrm{PH}=\sqrt{7^2-(\dfrac{14}{3})^2}=\dfrac{7\sqrt5}{3}$이고 넓이는 $\dfrac12\times\dfrac{28}{3}\times\dfrac{7\sqrt5}{3}=\dfrac{98\sqrt5}{9}$이다. 그러므로 $p+q=9+98=107$이다.

정답: $107$

선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 원점 $\mathrm{O}$로 두고 $\mathrm{B}(-2,0)$, $\mathrm{C}(2,0)$, $\mathrm{D}(2,4)$, $\mathrm{A}(-2,4)$로 놓는다.

$\overrightarrow{\mathrm{XB}}+\overrightarrow{\mathrm{XC}}=2\overrightarrow{\mathrm{XO}}$, $\overrightarrow{\mathrm{XB}}-\overrightarrow{\mathrm{XC}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$이므로 조건은 $2|\overrightarrow{\mathrm{XO}}|=4$이다. 따라서 $S$는 원점 중심, 반지름 $2$인 원이다.

$4(\overrightarrow{\mathrm{OQ}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})=(\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})+2(\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}})$에서

$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{OB}}+\dfrac12\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\left(\dfrac12,2\right)+\dfrac14\overrightarrow{\mathrm{OP}}$이다.

따라서 $\mathrm{Q}$의 자취는 중심 $\mathrm{R}(\dfrac12,2)$, 반지름 $\dfrac12$인 원이다.

$\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$이고, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(4,-4)$, $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=(\dfrac52,-2)$이므로 첫 항은 $10+8=18$이다.

둘째 항은 두 벡터가 같은 방향일 때 최대, 반대 방향일 때 최소이며 그 절댓값은 $|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\,|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|=4\sqrt2\times\dfrac12=2\sqrt2$이다.

따라서 $M=18+2\sqrt2$, $m=18-2\sqrt2$이고 $Mm=18^2-(2\sqrt2)^2=324-8=316$이다.

정답: $316$