선택과목: 기하
기하 5지선다형
23. 두 벡터 $\vec a=(4,1)$, $\vec b=(-1,-1)$에 대하여 $\vec a+\vec b$의 모든 성분의 합은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$\vec a+\vec b=(4,1)+(-1,-1)=(3,0)$이다.
따라서 모든 성분의 합은 $3+0=3$이다.
정답: ③ $3$
24. 포물선 $y^2=12(x-2)$의 초점과 준선 사이의 거리는? [3점]
① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$
풀이
표준형 $y^2=4p(x-h)$에서 $4p=12$이므로 $p=3$, $h=2$이다.
초점은 $(h+p,0)=(5,0)$이고 준선은 $x=h-p=-1$이므로 초점과 준선 사이의 거리는 $5-(-1)=6$이다.
정답: ① $6$
25. 좌표공간의 점 A$\left(3,-\dfrac32,-2\right)$를 $yz$평면에 대하여 대칭이동한 점을 B, 점 A를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 C라 할 때, 선분 BC의 길이는? [3점]
① $\sqrt{21}$ ② $\sqrt{22}$ ③ $\sqrt{23}$ ④ $2\sqrt6$ ⑤ $5$
풀이
$yz$평면에 대한 대칭이동은 $x$좌표의 부호만 바꾸므로 B$\left(-3,-\dfrac32,-2\right)$이다.
원점 대칭은 세 좌표의 부호를 모두 바꾸므로 C$\left(-3,\dfrac32,2\right)$이다.
따라서 $\overline{BC}=\sqrt{(-3+3)^2+\left(\dfrac32+\dfrac32\right)^2+(2+2)^2}=\sqrt{0+9+16}=5$이다.
정답: ⑤ $5$
26. 양수 $a$에 대하여 두 초점이 F, F′인 쌍곡선 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{a^2}=-1$ 위의 점 $(a,\sqrt2a)$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점을 P라 하자. $\overline{PF}\times\overline{PF'}=8$일 때, $a$의 값은? [3점]
① $\sqrt3$ ② $\dfrac{4\sqrt3}3$ ③ $\dfrac{5\sqrt3}3$ ④ $2\sqrt3$ ⑤ $\dfrac{7\sqrt3}3$
풀이
쌍곡선의 방정식을 정리하면 $\dfrac{y^2}{a^2}-\dfrac{x^2}{a^2}=1$이고, 점 $(a,\sqrt2a)$에서의 접선은
$\dfrac{y(\sqrt2a)}{a^2}-\dfrac{xa}{a^2}=1$, 즉 $\sqrt2y-x=a$이다.
따라서 $y$절편은 $\dfrac a{\sqrt2}$이고 P$\left(0,\dfrac a{\sqrt2}\right)$이다.
쌍곡선의 두 초점은 F$(0,\sqrt2a)$, F′$(0,-\sqrt2a)$이다. 따라서
$\begin{aligned}\overline{PF}&=\sqrt2a-\dfrac a{\sqrt2}=\dfrac a{\sqrt2}\\\overline{PF'}&=\sqrt2a+\dfrac a{\sqrt2}=\dfrac{3a}{\sqrt2}\end{aligned}$
$\dfrac a{\sqrt2}\times\dfrac{3a}{\sqrt2}=8$이므로 $\dfrac32a^2=8$, $a=\dfrac{4\sqrt3}3$이다 ($a>0$).
정답: ② $\dfrac{4\sqrt3}3$
27. 그림과 같이 지름의 길이가 $5$인 두 원 $C_1$, $C_2$를 두 밑면으로 하는 원기둥이 있고, 원 $C_1$ 위의 $\overline{AB}=5$인 두 점 A, B와 원 $C_2$ 위의 $\overline{CD}=3$인 두 점 C, D에 대하여 $\overline{AD}=\overline{BC}$이다.
점 D에서 원 $C_1$을 포함하는 평면에 내린 수선의 발을 H라 하자. 사각형 ABCD의 넓이가 삼각형 ABH의 넓이의 $4$배일 때, 이 원기둥의 높이는? [3점]
① $3\sqrt2$ ② $\sqrt{19}$ ③ $2\sqrt5$ ④ $\sqrt{21}$ ⑤ $\sqrt{22}$
풀이
원기둥의 밑면을 포함하는 두 평면은 평행하고 원기둥의 높이가 일정하므로, 점 C에서 밑면 $C_1$에 내린 수선의 발을 I라 하면 $\overline{DH}=\overline{CI}$이다.
$\overline{AD}=\overline{BC}$이므로 두 직각삼각형 ADH와 BCI에서 빗변과 한 직각변이 같아 $\overline{AH}=\overline{BI}$이다. 이에 따라 $\overline{AB}\pa\overline{HI}$이고 사각형 ABCD는 두 밑변 AB, CD가 평행한 등변사다리꼴이다.
AB가 원 $C_1$의 지름이므로 AB의 중점을 O라 하고, H에서 AB에 내린 수선의 발을 H′이라 하자. $\overline{HI}=\overline{CD}=3$이므로 $\overline{OH'}=\dfrac32$이다.
직각삼각형 OHH′에서 $\overline{OH}=\dfrac52$이므로 $\overline{HH'}=\sqrt{\left(\dfrac52\right)^2-\left(\dfrac32\right)^2}=2$이다.
삼각형 ABH의 넓이는 $\dfrac12\times5\times2=5$이다. 삼수선의 정리에 의하여 D에서 AB까지의 거리는 DH′이므로 사다리꼴 ABCD의 넓이는 $\dfrac12(5+3)\overline{DH'}=4\overline{DH'}$이다.
넓이가 $4$배라는 조건에서 $4\overline{DH'}=4\times5$, 따라서 $\overline{DH'}=5$이다. 직각삼각형 DHH′에서
$\overline{DH}=\sqrt{\overline{DH'}^{\,2}-\overline{HH'}^{\,2}}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$이다.
정답: ④ $\sqrt{21}$
28. 그림과 같이 $\overline{AB}=\overline{CD}=4$, $\overline{BC}=\overline{BD}=2\sqrt5$인 사면체 ABCD가 있고, 점 A에서 직선 CD에 내린 수선의 발 H에 대하여 두 평면 ABH와 BCD는 서로 수직이고 $\overline{AH}=4$이다.
삼각형 ABH의 무게중심을 G라 하고, 점 G를 중심으로 하고 평면 ACD에 접하는 구를 S라 하자. $\angle APG=\dfrac\pi2$인 구 S 위의 모든 점 P가 나타내는 도형을 T라 할 때, 도형 T의 평면 ABC 위로의 정사영의 넓이는? [4점]
① $\dfrac\pi7$ ② $\dfrac\pi6$ ③ $\dfrac\pi5$ ④ $\dfrac\pi4$ ⑤ $\dfrac\pi3$
풀이
① 삼각형 ABH의 성질 $\overline{AB}=\overline{AH}=4$이다. 점 A에서 BH에 내린 수선의 발을 J라 하면 이등변삼각형 ABH에서 J는 BH의 중점이고 $\overline{AJ}\perp\overline{BH}$이다.
평면 ABH와 평면 BCD가 서로 수직이고 교선이 BH이므로 $\overline{AJ}\perp(\mathrm{BCD})$이다. 따라서 $\overline{AJ}\perp\overline{CD}$이다. 또한 조건에서 $\overline{AH}\perp\overline{CD}$이므로 $\overline{JH}\perp\overline{CD}$, 즉 $\overline{BH}\perp\overline{CD}$이다. (EBS의 삼수선의 정리 적용 근거)
$\overline{BC}=\overline{BD}=2\sqrt5$이므로 $\overline{CH}=\overline{DH}=2$이다. 직각삼각형 BCH에서
$\overline{BH}=\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=4$이다. 따라서 $\overline{AB}=\overline{AH}=\overline{BH}=4$이므로 삼각형 ABH는 한 변의 길이가 $4$인 정삼각형이다.
② 구와 원 T의 반지름 $\overline{AH}\perp\overline{CD}$, $\overline{BH}\perp\overline{CD}$이므로 평면 ABH 전체가 직선 CD에 수직이다. 또 평면 ACD는 CD를 포함하므로 평면 ABH와 평면 ACD도 서로 수직이다.
정삼각형 ABH의 무게중심 G에서 평면 ACD에 내린 수선의 발을 I라 하면 I는 AH의 중점이다. $\overline{AG}=\dfrac23\times\dfrac{\sqrt3}2\times4=\dfrac{4\sqrt3}{3}$이고, $\overline{GI}=\dfrac12\overline{AG}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$이다. 그러므로 구 S의 반지름은 $GI$이다.
$\angle AIG=\dfrac\pi2$, $\angle APG=\dfrac\pi2$이므로 구 S 위에서 조건을 만족시키는 점 P들의 자취 T는 선분 AG를 지름으로 하는 구와 S의 교선인 원이다. 이 원은 I를 지나며, 그 원이 놓인 평면은 AG에 수직이다.
원의 반지름을 $r$이라 하면 직각삼각형 AIG에서 넓이를 비교하여 $\overline{AI}\cdot\overline{GI}=\overline{AG}\cdot r$이다. 따라서
$\begin{aligned}2\times\dfrac{2\sqrt3}{3}&=\dfrac{4\sqrt3}{3}\times r\\r&=1\end{aligned}$
따라서 원 T의 넓이는 $\pi r^2=\pi$이다.
정삼각형 ABH의 내접원이 BH와 만나는 점을 J라 하면 A, G, J는 한 직선 위에 있고 이 직선은 평면 BCD에 수직이다. 따라서 원 T가 놓인 평면은 평면 BCD와 평행하다.
두 평면 BCD와 ABC가 이루는 예각을 $\theta$라 하면 정사영 넓이는 $\pi\cos\theta$이다. $\overline{AC}=\sqrt{AH^2+CH^2}=2\sqrt5$이고, $\overline{BC}=2\sqrt5$, $\overline{AB}=4$이므로 삼각형 ABC의 넓이는 $\dfrac12\times4\times\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=8$이다.
③ 평면 ABC 위로의 정사영 정삼각형 ABH의 내접원이 BH와 만나는 점도 J이므로 A, G, J는 한 직선 위에 있다. $\overline{AJ}\perp(\mathrm{BCD})$이므로 원 T가 놓인 평면은 평면 BCD와 평행하다.
$\overline{CH}=2$, $\overline{AH}=4$, $\angle AHC=\dfrac\pi2$이므로 $\overline{AC}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5$이다. $\overline{BC}=2\sqrt5$, $\overline{AB}=4$이므로 삼각형 ABC의 넓이는
$k=\dfrac12\times4\times\sqrt{(2\sqrt5)^2-2^2}=8$이다.
A를 평면 BCD에 정사영하면 J이므로 삼각형 ABC의 평면 BCD 위 정사영은 삼각형 JBC이다. $\overline{BJ}=\dfrac12\overline{BH}=2$, $\overline{CH}=2$, $\overline{BJ}\perp\overline{CH}$이므로 그 넓이는 $k'=\dfrac12\times2\times2=2$이다.
두 평면 ABC와 BCD가 이루는 예각을 $\theta$라 하면 $\cos\theta=\dfrac{k'}{k}=\dfrac28=\dfrac14$이다. 원 T를 포함한 평면이 BCD와 평행하므로 구하는 정사영의 넓이는 $\pi\cos\theta=\dfrac\pi4$이다.
정답: ④ $\dfrac\pi4$
기하 단답형
29. 그림과 같이 초점이 F$(p,0)$ ($p>0$)이고 준선이 $x=-p$인 포물선 위의 점 중
제1사분면에 있는 점 A에서 포물선의 준선에 내린 수선의 발을 H라 하고, 두 초점이 $x$축 위에 있고 세 점 F, A, H를 지나는 타원의 $x$좌표가 양수인 초점을 B라 하자. 삼각형 AHB의 둘레의 길이가 $p+27$, 넓이가 $2p+12$일 때, 선분 HF의 길이를 $k$라 하자. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
① 포물선과 타원의 성질 점 A의 좌표를 $(x_1,y_1)$ ($x_1>0$, $y_1>0$)이라 하자. 포물선의 초점은 $F(p,0)$, 준선은 $x=-p$이므로 포물선의 정의에 따라 $\overline{AF}=\overline{AH}=p+x_1$이고 $H=(-p,y_1)$이다.
타원에서 B와 반대쪽 초점을 B′라 하면, 타원의 대칭성과 정의를 이용하여 $\overline{AB}=\overline{HB'}$, $\overline{BH}+\overline{B'H}=3p-x_1$을 얻는다.
점 A에서 $x$축에 내린 수선의 발을 $A'=(x_1,0)$이라 하고, 직선 $x=-p$와 $x$축의 교점을 $H'=(-p,0)$이라 하자. 타원 E는 선분 $A' H'$의 중점을 지나는 수직선에 대하여 대칭이므로, $x$좌표가 양수인 초점 B에 대응하는 다른 초점을 $B'$라 하면 $\overline{AB}=\overline{HB'}$이다.
또 타원 E가 $x$축과 만나는 점 중 F가 아닌 점을 C라 하자. $\overline{A' F}=p-x_1$, $\overline{A' H'}=p+x_1$이며, 타원의 대칭성과 정의로부터
$\begin{aligned}\overline{CF}&=2\overline{A' F}+\overline{A' H'}\\&=2(p-x_1)+(p+x_1)\\&=3p-x_1\end{aligned}$
이다. 타원의 정의에 의해 $\overline{BH}+\overline{B' H}=\overline{CF}=3p-x_1$이므로, 삼각형 AHB의 둘레의 길이는
$\begin{aligned}\overline{AB}+\overline{BH}+\overline{AH}&=\overline{B' H}+\overline{BH}+\overline{AH}\\&=(3p-x_1)+(p+x_1)\\&=4p\end{aligned}$
이다. 문제에서 둘레가 $p+27$이므로 $4p=p+27$, 따라서 $p=9$이다.
② 점 A의 좌표와 선분 HF 포물선의 방정식은 $y^2=4px=36x$이므로 $y_1^2=36x_1$ …… ㉠이다.
삼각형 AHB에서 밑변 AH의 길이는 $p+x_1$이고 높이는 $y_1$이다. 넓이가 $2p+12=30$이므로
$\begin{aligned}\dfrac12(p+x_1)y_1&=30\\y_1(x_1+9)&=60\qquad\text{…… ㉡}\end{aligned}$
㉡의 양변을 제곱하고 ㉠을 대입하면
$\begin{aligned}36x_1(x_1+9)^2&=3600\\x_1^3+18x_1^2+81x_1-100&=0\\(x_1-1)(x_1^2+19x_1+100)&=0\end{aligned}$
$x_1>0$에서 $x_1^2+19x_1+100>0$이므로 $x_1=1$이고, ㉠에서 $y_1=6$이다.
직각삼각형 FHH'에서 $\overline{FH'}=\overline{FA'}+\overline{A' H'}=(p-x_1)+(p+x_1)=2p=18$이고, $\overline{HH'}=\overline{AA'}=y_1=6$이다.
$k^2=\overline{FH}^{\,2}=18^2+6^2=360$이다.
정답: $360$
30. 좌표평면에서 길이가 $10\sqrt2$인 선분 AB를 지름으로 하는 원 위의 두 점 P, Q가 $(\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB})\cdot(\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PB})=2|\overrightarrow{PQ}|^2$을 만족시킨다. $|\overrightarrow{PB}|=14$일 때, $|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{QB}|=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $|\overrightarrow{QB}|>0$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
선분 AB의 중점을 O라 하면 원의 반지름은 $5\sqrt2$이다. $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, $\overrightarrow{OP}=\mathbf u$, $\overrightarrow{OQ}=\mathbf v$라 하면 $|\mathbf b|^2=|\mathbf u|^2=|\mathbf v|^2=50$이고 $\overrightarrow{OA}=-\mathbf b$이다.
$|\overrightarrow{\ PB \ }|=|\mathbf b-\mathbf u|=14$이므로 $196=|\mathbf b|^2+|\mathbf u|^2-2\mathbf b\cdot\mathbf u=100-2\mathbf b\cdot\mathbf u$이다. 따라서 $\mathbf b\cdot\mathbf u=-48$이다.
$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=(-\mathbf b-\mathbf u)+(\mathbf b-\mathbf u)=-2\mathbf u$이고, $\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{PB}=\mathbf v+\mathbf b-2\mathbf u$이다.
주어진 조건에 대입하면 $-2\mathbf u\cdot(\mathbf v+\mathbf b-2\mathbf u)=2|\mathbf v-\mathbf u|^2$이다.
$\begin{aligned}-2\mathbf u\cdot\mathbf v+96+200&=2(100-2\mathbf u\cdot\mathbf v)\\296-2\mathbf u\cdot\mathbf v&=200-4\mathbf u\cdot\mathbf v\\\mathbf u\cdot\mathbf v&=-48\end{aligned}$
따라서 $\mathbf u\cdot\mathbf b=\mathbf u\cdot\mathbf v=-48$이다. 길이가 같은 벡터 $\mathbf b$, $\mathbf v$는 $\mathbf u$ 방향의 성분이 같으므로, $Q\ne B$ 조건에 따라 $\mathbf v$는 $\mathbf b$를 $\mathbf u$ 방향 직선에 대하여 대칭이동한 벡터이다.
즉, $\mathbf v=2\dfrac{\mathbf b\cdot\mathbf u}{|\mathbf u|^2}\mathbf u-\mathbf b=-\dfrac{48}{25}\mathbf u-\mathbf b$이다. 따라서 $\mathbf b\cdot\mathbf v=-\dfrac{48}{25}(-48)-50=\dfrac{1054}{25}$이다.
$\begin{aligned}\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{QB}&=(-\mathbf b-\mathbf u)\cdot(\mathbf b-\mathbf v)\\&=-50+\mathbf b\cdot\mathbf v-\mathbf u\cdot\mathbf b+\mathbf u\cdot\mathbf v\\&=-50+\dfrac{1054}{25}=-\dfrac{196}{25}\end{aligned}$
따라서 $\left|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{QB}\right|=\dfrac{196}{25}$이므로 $p=25$, $q=196$이고 $p+q=221$이다.
정답: $221$