2026학년도 대학수학능력시험 수학 기출문제 홀수형의 문제와 풀이를 정리한 자료입니다. 오류가 있는 풀이나 문제는 아래의 기출문제 파일과 EBS 해설을 참고해 주세요.
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- 문제: 홀수형+짝수형
- 정답: 홀수형+짝수형
- 해설: EBS 해설 홀수형
2026 수능 수학 기출문제 풀이
공통과목
공통과목 5지선다형
1. $9^{\dfrac14}\times3^{-\dfrac12}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $\sqrt3$ ③ $3$ ④ $3\sqrt3$ ⑤ $9$
풀이
$9=3^2$이므로 지수법칙을 이용한다.
$\begin{aligned}9^{\dfrac14}\times3^{-\dfrac12}&=(3^2)^{\dfrac14}\times3^{-\dfrac12}\\&=3^{\dfrac12-\dfrac12}\\&=3^0=1\end{aligned}$
정답: ① $1$
2. 함수 $f(x)=3x^3+4x+1$에 대하여 $\displaystyle\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}$의 값은? [2점]
① $7$ ② $9$ ③ $11$ ④ $13$ ⑤ $15$
풀이
미분계수의 정의에 의하여 주어진 극한은 $f'(1)$이다.
$f'(x)=9x^2+4$이므로 $f'(1)=9+4=13$이다.
정답: ④ $13$
3. 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{4}(2a_k-k)=0$일 때, $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{4}a_k$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
합의 성질에 따라 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^4(2a_k-k)=2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^4a_k-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^4k$이다.
$\begin{aligned}0&=2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^4a_k-\dfrac{4(4+1)}2\\&=2\displaystyle\sum\limits_{k=1}^4a_k-10\end{aligned}$
따라서 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^4a_k=5$이다.
정답: ⑤ $5$
4. 함수
$f(x)=\begin{cases}3x-2 &(x<1)\\x^2-3x+a&(x\ge1)\end{cases}$
가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 $a$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$x=1$에서 연속이어야 하므로 좌극한과 함숫값이 같아야 한다.
$\displaystyle\lim\limits_{x\to1-}f(x)=3(1)-2=1$이고 $f(1)=1-3+a=a-2$이다.
따라서 $1=a-2$이므로 $a=3$이다.
정답: ③ $3$
5. 함수 $f(x)=(x+2)(2x^2-x-2)$에 대하여 $f'(1)$의 값은? [3점]
① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$
풀이
곱의 미분법을 적용하면 $f'(x)=(2x^2-x-2)+(x+2)(4x-1)$이다.
$\begin{aligned}f'(1)&=(2-1-2)+(1+2)(4-1)\\&=-1+9=8\end{aligned}$
정답: ③ $8$
6. $1$보다 큰 두 실수 $a$, $b$가 $\log_a b=3$, $\log_3\dfrac ba=\dfrac12$를 만족시킬 때, $\log_9ab$의 값은? [3점]
① $\dfrac38$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac58$ ④ $\dfrac34$ ⑤ $\dfrac78$
풀이
$\log_a b=3$이므로 $b=a^3$이다.
$\begin{aligned}\log_3\dfrac ba&=\log_3a^2=2\log_3a=\dfrac12\\\log_3a&=\dfrac14\end{aligned}$
$\begin{aligned}\log_9ab&=\log_{3^2}(a\cdot a^3)\\&=\dfrac{\log_3a^4}{2}=\dfrac{4}{2}\cdot\dfrac14=\dfrac12\end{aligned}$
정답: ② $\dfrac12$
7. 두 곡선 $y=x^2+3$, $y=-\dfrac15x^2+3$과 직선 $x=2$로 둘러싸인 부분의 넓이는? [3점]
① $\dfrac{18}5$ ② $\dfrac72$ ③ $\dfrac{17}5$ ④ $\dfrac{33}{10}$ ⑤ $\dfrac{16}5$
풀이
두 곡선은 $(0,3)$에서 만나고, $0\le x\le2$에서 위쪽 곡선은 $y=x^2+3$이다.
$\begin{aligned}S&=\displaystyle\int\nolimits_0^2\left\{(x^2+3)-\left(-\dfrac15x^2+3\right)\right\}\,dx\\&=\dfrac65\displaystyle\int\nolimits_0^2x^2\,dx\\&=\dfrac65\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^2=\dfrac{16}5\end{aligned}$
정답: ⑤ $\dfrac{16}5$
8. $\sin\theta+3\cos\theta=0$이고 $\cos(\pi-\theta)>0$일 때, $\sin\theta$의 값은? [3점]
① $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$ ② $\dfrac{\sqrt{10}}5$ ③ $0$ ④ $-\dfrac{\sqrt{10}}5$ ⑤ $-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
풀이
$\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta>0$이므로 $\cos\theta<0$이다.
$\sin\theta=-3\cos\theta$이므로 $\sin\theta>0$이고 $\sin^2\theta=9\cos^2\theta=9(1-\sin^2\theta)$이다.
따라서 $10\sin^2\theta=9$이므로 $\sin\theta=\dfrac3{\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$이다.
정답: ① $\dfrac{3\sqrt{10}}{10}$
9. 양수 $a$에 대하여 함수 $f(x)=x^3+3ax^2-9a^2x+4$라 하자. 직선 $y=5$가 곡선 $y=f(x)$에 접할 때, $f(2)$의 값은? [4점]
① $11$ ② $12$ ③ $13$ ④ $14$ ⑤ $15$
풀이
$f'(x)=3x^2+6ax-9a^2=3(x+3a)(x-a)$이고 $a>0$이므로 $x=-3a$에서 극대, $x=a$에서 극소이다.
또한 $f(0)=4<5$이고 수평선 $y=5$가 곡선에 접하므로 접하는 점은 극대점 $x=-3a$이다. 따라서 $f(-3a)=5$이다.
$\begin{aligned}f(-3a)&=-27a^3+27a^3+27a^3+4=27a^3+4\\27a^3+4&=5\\a^3&=\dfrac1{27}\end{aligned}$
$a>0$이므로 $a=\dfrac13$이다. 따라서 $f(x)=x^3+x^2-x+4$이며 $f(2)=8+4-2+4=14$이다.
정답: ④ $14$
10. 상수 $a$ ($a>1$)에 대하여 곡선 $y=a^x-2$ 위의 점 중 제1사분면에 있는 점 A를 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 B, 곡선 $y=a^x-2$의 점근선과 만나는 점을 C라 하자. $\overline{AB}=\overline{BC}$이고 삼각형 AOC의 넓이가 $8$일 때, $a\times\overline{OB}$의 값은? (단, O는 원점이다.) [4점]
① $2^\frac{13}{6}$ ② $2^{\frac{7}{3}}$ ③ $2^{\frac{5}{2}}$ ④ $2^{\frac{8}{3}}$ ⑤ $2^{\frac{17}{6}}$
풀이
곡선 $y=a^x-2$의 점근선은 $y=-2$이다. A의 좌표를 $(p,q)$라 하면 B는 $(p,0)$, C는 $(p,-2)$이다.
$\overline{BC}=2$이므로 $\overline{AB}=q=2$이다. A가 곡선 위의 점이므로 $2=a^p-2$, 즉 $a^p=4$이다.
삼각형 AOC는 $\overline{AC}=4$이고 원점 O에서 직선 AC까지의 거리가 $p$이므로 $\dfrac12\times4\times p=8$이다. 따라서 $p=4$이다.
$a^4=4$, $a>1$이므로 $a=\sqrt2$이다. 따라서 $a\times\overline{OB}=\sqrt2\times4=2^{\dfrac52}$이다.
정답: ③ $2^{\dfrac52}$
11. 시각 $t=0$일 때 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P가 있다. 실수 $k$에 대하여 시각이 $t$ ($t\ge0$)일 때 점 P의 속도 $v(t)$가 $v(t)=t^2-kt+4$이다. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
<보기>
ㄱ. $k=0$이면, 시각 $t=1$일 때 점 P의 위치는 $\dfrac{13}3$이다.
ㄴ. $k=3$이면, 출발한 후 점 P의 운동 방향이 한 번 바뀐다.
ㄷ. $k=5$이면, 시각 $t=0$에서 $t=2$까지 점 P가 움직인 거리는 $3$이다.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
풀이
ㄱ. $k=0$이면 $v(t)=t^2+4$이므로 시각 $t=1$의 위치는 $\displaystyle\int\nolimits_0^1(t^2+4)\,dt=\left[\dfrac{t^3}3+4t\right]_0^1=\dfrac{13}3$이다. (참)
ㄴ. $k=3$이면 $v(t)=t^2-3t+4=\left(t-\dfrac32\right)^2+\dfrac74>0$이므로 운동 방향이 바뀌지 않는다. (거짓)
ㄷ. $k=5$이면 $v(t)=(t-1)(t-4)$이고, $0<t<1$에서 양수, $1<t<2$에서 음수이다. 따라서 움직인 거리는 절댓값을 적분한다.
$\begin{aligned}s&=\displaystyle\int\nolimits_0^1(t^2-5t+4)\,dt-\displaystyle\int\nolimits_1^2(t^2-5t+4)\,dt\\&=\left[\dfrac{t^3}3-\dfrac{5t^2}2+4t\right]_0^1-\left[\dfrac{t^3}3-\dfrac{5t^2}2+4t\right]_1^2\\&=3\end{aligned}$ (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.
정답: ③ ㄱ, ㄷ
12. 등비수열 $\{a_n\}$이 $2(a_1+a_4+a_7)=a_4+a_7+a_{10}=6$을 만족시킬 때, $a_{10}$의 값은? [4점]
① $\dfrac{22}7$ ② $\dfrac{24}7$ ③ $\dfrac{26}7$ ④ $\dfrac{30}7$ ⑤ $\dfrac{32}7$
풀이
등비수열의 공비를 $r$이라 하면 $a_4=a_1r^3$, $a_7=a_1r^6$, $a_{10}=a_1r^9$이다.
$2a_1(1+r^3+r^6)=6$이므로 $a_1(1+r^3+r^6)=3$이다. 또 $a_1r^3(1+r^3+r^6)=6$이다.
두 식을 나누면 $r^3=2$이다. 따라서 $a_1(1+2+4)=3$이므로 $a_1=\dfrac37$이다.
$a_{10}=a_1r^9=\dfrac37\times2^3=\dfrac{24}7$이다.
정답: ② $\dfrac{24}7$
13. 함수 $f(x)=x^2-4x-3$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(1,-6)$에서의 접선을 $l$이라 하고, 함수 $g(x)=(x^3-2x)f(x)$에 대하여 곡선 $y=g(x)$ 위의 점 $(1,6)$에서의 접선을 $m$이라 하자. 두 직선 $l$, $m$과 $y$축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [4점]
① $21$ ② $28$ ③ $35$ ④ $42$ ⑤ $49$
풀이
$f'(x)=2x-4$이므로 $f'(1)=-2$이다. 따라서 직선 $l$의 방정식은 $y+6=-2(x-1)$, 즉 $y=-2x-4$이다.
곱의 미분법으로 $g'(x)=(3x^2-2)f(x)+(x^3-2x)f'(x)$이다.
$g'(1)=(3-2)(-6)+(1-2)(-2)=-4$이므로 직선 $m$의 방정식은 $y-6=-4(x-1)$, 즉 $y=-4x+10$이다.
두 접선의 교점은 $-2x-4=-4x+10$에서 $x=7$이다. 두 접선의 $y$절편 차는 $10-(-4)=14$이므로 넓이는 $\dfrac12\times14\times7=49$이다.
정답: ⑤ $49$
14. 그림과 같이 $\overline{AB}=3$, $\overline{BC}=4$이고 $\angle B=\dfrac\pi2$인 직각삼각형 ABC가 있다.
선분 AB를 $2:1$로 내분하는 점을 D, 점 A를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $\overline{AD}$인 원이 선분 AC와 만나는 점을 E, 직선 AB가 이 원과 만나는 점 중 D가 아닌 점을 F라 하고, 호 EF 위의 점 G를 $\overline{CG}=2\sqrt6$이 되도록 잡는다. 세 점 C, E, G를 지나는 원 위의 점 H가 $\angle HCG=\angle BAC$를 만족시킬 때, 선분 GH의 길이는? [4점]
① $\dfrac{6\sqrt{15}}5$ ② $\dfrac{38\sqrt{10}}{25}$ ③ $\dfrac{14\sqrt3}5$ ④ $\dfrac{32\sqrt{15}}{25}$ ⑤ $\dfrac{8\sqrt{10}}5$
풀이
$\triangle ABC$는 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형이므로 $\overline{AC}=5$, $\sin\angle BAC=\dfrac45$이다. 선분 AB를 $2:1$로 내분하였으므로 $\overline{AD}=\overline{AE}=\overline{AG}=2$, $\overline{CE}=5-2=3$이다.
$\theta=\angle CAG$라 하면 삼각형 ACG에서 코사인법칙에 의하여 $\cos\theta=\dfrac{2^2+5^2-(2\sqrt6)^2}{2\cdot2\cdot5}=\dfrac14$이다.
삼각형 AEG에서 $\overline{GE}^{\,2}=2^2+2^2-2\cdot2\cdot2\cdot\dfrac14=6$이므로 $\overline{GE}=\sqrt6$이다.
삼각형 CGE에서 $\phi=\angle ECG$라 하면 $\cos\phi=\dfrac{(2\sqrt6)^2+3^2-(\sqrt6)^2}{2\cdot2\sqrt6\cdot3}=\dfrac{3\sqrt6}{8}$이다.
$0<\phi<\pi$이므로 $\sin\phi=\sqrt{1-\left(\dfrac{3\sqrt6}8\right)^2}=\dfrac{\sqrt{10}}8$이다.
세 점 C, E, G를 지나는 원의 반지름을 $R$이라 하면 사인법칙에 의하여 $2R=\dfrac{\overline{GE}}{\sin\phi}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt{10}/8}=\dfrac{8\sqrt{15}}5$이다.
삼각형 CHG에서 $\angle HCG=\angle BAC$이므로 사인법칙에 의하여 $\overline{GH}=2R\sin\angle HCG=\dfrac{8\sqrt{15}}5\cdot\dfrac45=\dfrac{32\sqrt{15}}{25}$이다.
정답: ④ $\dfrac{32\sqrt{15}}{25}$
15. 함수 $f(x)$가 $f(x)=\begin{cases}-x^2&(x<0)\\x^2-x&(x\ge0)\end{cases}$이고, 양수 $a$에 대하여 함수 $g(x)$를
$g(x)=\begin{cases}ax+a&(x<-1)\\0&(-1\le x<1)\\ax-a&(x\ge1)\end{cases}$
이라 하자. 함수 $h(x)=\displaystyle\int\nolimits_0^x(g(t)-f(t))\,dt$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$의 최댓값을 $k$라 하자. $a=k$일 때, $k+h(3)$의 값은? [4점]
① $\dfrac92$ ② $\dfrac{11}2$ ③ $\dfrac{13}2$ ④ $\dfrac{15}2$ ⑤ $\dfrac{17}2$
풀이
미적분의 기본정리에 따라 $h'(x)=g(x)-f(x)$이다. 구간별로 정리하면
$h'(x)=\begin{cases}x^2+a(x+1)&(x<-1)\\x^2&(-1\le x<0)\\x-x^2&(0\le x<1)\\(x-1)(a-x)&(x\ge1)\end{cases}$
$-1\le x<1$에서는 $h'(x)\ge0$이며 $x=0$에서 부호가 바뀌지 않는다. $x\ge1$에서는 $a>1$일 때 $x=a$에서 양수에서 음수로 부호가 바뀌어 극대가 발생하고, $0<a\le1$일 때에는 $x=1$에서 부호가 바뀌어 극대가 발생한다.
함수 $h$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하려면 $x<-1$에서 추가적인 부호 변화가 없어야 하므로 $x^2+a(x+1)\ge0$이어야 한다.
$a>1$일 때 이 이차식이 $x<-1$에서 항상 음수가 되지 않을 조건을 살펴보면, 최솟값이 $x=-\dfrac a2$에서 생기는 $a>2$의 범위에서는 $a-\dfrac{a^2}4\ge0$, 즉 $a\le4$가 필요하다. 따라서 가능한 $a$의 최댓값은 $k=4$이다. $a=4$일 때 $h'(x)=(x+2)^2$ ($x<-1$)로 접할 뿐 부호가 바뀌지 않는다.
$k=4$이면 $0\le t<1$에서 $g(t)-f(t)=-t^2+t$, $1\le t\le3$에서 $g(t)-f(t)=-t^2+5t-4$이다.
$\begin{aligned}h(3)&=\displaystyle\int\nolimits_0^1(-t^2+t)\,dt+\displaystyle\int\nolimits_1^3(-t^2+5t-4)\,dt\\&=\left[-\dfrac{t^3}3+\dfrac{t^2}2\right]_0^1+\left[-\dfrac{t^3}3+\dfrac{5t^2}2-4t\right]_1^3\\&=\dfrac16+\dfrac{10}3=\dfrac72\end{aligned}$
따라서 $k+h(3)=4+\dfrac72=\dfrac{15}2$이다.
정답: ④ $\dfrac{15}2$