선택과목: 확률과 통계
확률과 통계 5지선다형
23. 네 문자 $a$, $b$, $c$, $d$ 중에서 중복을 허락하여 $3$개를 택해 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]
① $56$ ② $60$ ③ $64$ ④ $68$ ⑤ $72$
풀이
한 자리에 올 수 있는 문자는 $4$가지이고 중복을 허용하므로 세 자리를 채우는 방법은 $4\times4\times4=4^3=64$가지이다.
정답: ③ $64$
24. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $P(A)=\dfrac25$, $P(B\mid A)=\dfrac14$, $P(A\cup B)=1$일 때, $P(B)$의 값은? [3점]
① $\dfrac7{10}$ ② $\dfrac34$ ③ $\dfrac45$ ④ $\dfrac{17}{20}$ ⑤ $\dfrac9{10}$
풀이
조건부확률의 정의로부터 $P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)=\dfrac25\times\dfrac14=\dfrac1{10}$이다.
확률의 덧셈정리에 따라 $1=P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$이므로
$P(B)=1-\dfrac25+\dfrac1{10}=\dfrac7{10}$이다.
정답: ① $\dfrac7{10}$
25. 주머니에 숫자 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$가 하나씩 적혀 있는 흰 공 $5$개와 숫자 $2$, $3$, $4$, $5$, $6$이 하나씩 적혀 있는 검은 공 $5$개가 들어 있다.
이 주머니에서 임의로 $2$개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 $2$개의 공이 서로 같은 색이거나 꺼낸 $2$개의 공에 적힌 수가 서로 같을 확률은? [3점]
① $\dfrac7{15}$ ② $\dfrac8{15}$ ③ $\dfrac35$ ④ $\dfrac23$ ⑤ $\dfrac{11}{15}$
풀이
전체 경우의 수는 ${}_{10}C_2=45$이다.
같은 색 공 두 개를 뽑는 경우의 수는 흰 공 두 개 또는 검은 공 두 개이므로 $2\times{}_5C_2=20$이다.
같은 숫자가 적힌 공 두 개를 뽑는 경우는 숫자 $2$, $3$, $4$, $5$를 흰색과 검은색에서 각각 뽑는 $4$가지이다.
두 사건은 동시에 일어날 수 없으므로 구하는 확률은 $\dfrac{20+4}{45}=\dfrac8{15}$이다.
정답: ② $\dfrac8{15}$
26. 평균이 $m$이고 표준편차가 $5$인 정규분포를 따르는 모집단에서 크기가 $36$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균을 이용하여 구한 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간이 $1.2\le m\le a$이다. $a$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $P(|Z|\le2.58)=0.99$로 계산한다.) [3점]
① $5.1$ ② $5.2$ ③ $5.3$ ④ $5.4$ ⑤ $5.5$
풀이
표본평균을 $\overline X$라 하면 모집단의 표준편차가 $5$이고 표본 크기가 $36$이므로 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간은
$\overline X-2.58\dfrac5{\sqrt{36}}\le m\le\overline X+2.58\dfrac5{\sqrt{36}}$이다.
$2.58\times\dfrac56=2.15$이므로 신뢰구간 양 끝의 차이는 $2\times2.15=4.3$이다.
$a-1.2=4.3$에서 $a=5.5$이다.
정답: ⑤ $5.5$
27. 이산확률변수 $X$가 가지는 값이 $0$부터 $4$까지의 정수이고
$P(X=x)=\begin{cases}\dfrac{|2x-1|}{12}&(x=0,1,2,3)\\a&(x=4)\end{cases}$
일 때, $V\left(\dfrac1aX\right)$의 값은? (단, $a$는 $0$이 아닌 상수이다.) [3점]
① $36$ ② $39$ ③ $42$ ④ $45$ ⑤ $48$
풀이
확률의 합이 $1$이므로 $\dfrac1{12}+\dfrac1{12}+\dfrac3{12}+\dfrac5{12}+a=1$이다. 따라서 $a=\dfrac16$이다.
$E(X)=0\cdot\dfrac1{12}+1\cdot\dfrac1{12}+2\cdot\dfrac3{12}+3\cdot\dfrac5{12}+4\cdot\dfrac16=\dfrac52$
$E(X^2)=0^2\cdot\dfrac1{12}+1^2\cdot\dfrac1{12}+2^2\cdot\dfrac3{12}+3^2\cdot\dfrac5{12}+4^2\cdot\dfrac16=\dfrac{15}2$
$V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\dfrac{15}2-\dfrac{25}4=\dfrac54$이다.
분산의 성질 $V(cX)=c^2V(X)$에 의하여 $V\left(\dfrac1aX\right)=V(6X)=36\times\dfrac54=45$이다.
정답: ④ $45$
28. $16$개의 공과 $1$부터 $6$까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 여섯 개의 빈 상자가 있다. 한 개의 주사위를 사용하여 다음 시행을 한다. [4점]
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $k$일 때,
$k$가 홀수이면 $1$, $3$, $5$가 적힌 상자에 공을 각각 $1$개씩 넣고,
$k$가 짝수이면 $k$의 약수가 적힌 상자에 공을 각각 $1$개씩 넣는다.
이 시행을 $4$번 반복한 후 여섯 개의 상자에 들어 있는 모든 공의 개수의 합이 홀수일 때, $3$이 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수가 $2$가 적힌 상자에 들어 있는 공의 개수보다 $1$개 더 많을 확률은?
① $\dfrac18$ ② $\dfrac3{16}$ ③ $\dfrac14$ ④ $\dfrac5{16}$ ⑤ $\dfrac38$
풀이
사건 $A$를 공의 총개수가 홀수인 사건, 사건 $B$를 $3$번 상자의 공이 $2$번 상자보다 $1$개 더 많은 사건으로 놓는다. 구하는 확률은 $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$이다.
주사위의 홀수 눈 $1,3,5$는 공을 $3$개 넣고(확률 $\dfrac36$), 눈 $2$는 $2$개(확률 $\dfrac16$), 눈 $4$는 $3$개(확률 $\dfrac16$), 눈 $6$은 $4$개(확률 $\dfrac16$) 넣는다.
먼저 $P(A)$를 계산한다. 네 시행에서 나온 눈의 수의 구성을 네 가지로 나눈다.
(ⅰ) 홀수 눈 $3$번, $2$ 또는 $6$인 눈 $1$번 공의 개수는 홀수이므로 경우의 확률은 $\dfrac{4!}{3!}\left(\dfrac36\right)^3\left(\dfrac26\right)=\dfrac{216}{6^4}$이다.
(ⅱ) 홀수 눈 $2$번, 눈 $4$가 $1$번, 눈 $2$ 또는 $6$이 $1$번 공의 개수가 홀수이며, 확률은 $\dfrac{4!}{2!}\left(\dfrac36\right)^2\left(\dfrac16\right)\left(\dfrac26\right)=\dfrac{216}{6^4}$이다.
(ⅲ) 홀수 눈 $1$번 눈 $4$가 $2$번이고 눈 $2$ 또는 $6$이 $1$번인 경우, 또는 눈 $2$ 또는 $6$이 $3$번인 경우에 총개수가 홀수이다. 그 확률은
$\begin{aligned}&\dfrac{4!}{2!}\left(\dfrac36\right)\left(\dfrac16\right)^2\left(\dfrac26\right)+\dfrac{4!}{3!}\left(\dfrac36\right)\left(\dfrac26\right)^3\\&=\dfrac{72+96}{6^4}=\dfrac{168}{6^4}\end{aligned}$
(ⅳ) 모두 짝수 눈 눈 $4$가 $1$번이고 눈 $2$ 또는 $6$이 $3$번인 경우, 또는 눈 $4$가 $3$번이고 눈 $2$ 또는 $6$이 $1$번인 경우에 총개수가 홀수이다. 그 확률은
$\begin{aligned}&\dfrac{4!}{3!}\left(\dfrac16\right)\left(\dfrac26\right)^3+\dfrac{4!}{3!}\left(\dfrac16\right)^3\left(\dfrac26\right)\\&=\dfrac{32+8}{6^4}=\dfrac{40}{6^4}\end{aligned}$
따라서 $P(A)=\dfrac{216+216+168+40}{6^4}=\dfrac{640}{6^4}$이다.
다음으로 $P(A\cap B)$를 계산한다. 두 상자의 공 개수 차이가 $1$이면서 공의 총개수가 홀수인 경우는 다음 두 가지뿐이다.
① 홀수 눈 $2$번, 눈 $4$가 $1$번, 눈 $6$이 $1$번 $3$번 상자에는 $3$개, $2$번 상자에는 $2$개가 들어가며 총 $13$개이다. 그 확률은 $\dfrac{4!}{2!}\left(\dfrac36\right)^2\left(\dfrac16\right)^2=\dfrac{108}{6^4}$이다.
② 홀수 눈 $1$번, 눈 $6$이 $3$번 $3$번 상자에는 $4$개, $2$번 상자에는 $3$개가 들어가며 총 $15$개이다. 그 확률은 $\dfrac{4!}{3!}\left(\dfrac36\right)\left(\dfrac16\right)^3=\dfrac{12}{6^4}$이다.
$P(A\cap B)=\dfrac{108+12}{6^4}=\dfrac{120}{6^4}$이므로 $P(B\mid A)=\dfrac{120/6^4}{640/6^4}=\dfrac3{16}$이다.
정답: ② $\dfrac3{16}$
확률과 통계 단답형
29. $6$ 이하의 자연수 $a$에 대하여 한 개의 주사위와 한 개의 동전을 사용하여 다음 시행을 한다. [4점]
주사위를 한 번 던져 나온 눈의 수가 $a$보다 작거나 같으면 동전을 $5$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록하고,
나온 눈의 수가 $a$보다 크면 동전을 $3$번 던져 앞면이 나온 횟수를 기록한다.
이 시행을 $19200$번 반복하여 기록한 수가 $3$인 횟수를 확률변수 $X$라 하자. $E(X)=4800$일 때, $P(X\le4800+30a)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값이 $k$이다. $1000\times k$의 값을 구하시오.
풀이
한 시행에서 기록한 수가 $3$일 확률을 $p$라 하면
$\begin{aligned}p&=\dfrac a6\cdot{}_5C_3\left(\dfrac12\right)^5+\dfrac{6-a}6\cdot{}_3C_3\left(\dfrac12\right)^3\\&=\dfrac a6\cdot\dfrac{10}{32}+\dfrac{6-a}6\cdot\dfrac18\\&=\dfrac{a+4}{32}\end{aligned}$
따라서 $X\sim B(19200,p)$이고 $E(X)=19200p=4800$에서 $p=\dfrac14$를 얻는다. $\dfrac{a+4}{32}=\dfrac14$이므로 $a=4$이다.
분산은 $V(X)=19200\cdot\dfrac14\cdot\dfrac34=3600$이고 표준편차는 $60$이다. 정규근사로 $Z=\dfrac{X-4800}{60}$을 사용하면
$\begin{aligned}P(X\le4800+30a)&=P(X\le4920)\\&\approx P\left(Z\le\dfrac{4920-4800}{60}\right)\\&=P(Z\le2)\\&=0.5+0.477=0.977\end{aligned}$
따라서 $1000k=1000\times0.977=977$이다.
정답: $977$
30. 비어 있는 주머니 $10$개가 일렬로 놓여 있고, 공 $8$개가 있다. 각 주머니에 들어 있는 공의 개수가 $2$ 이하가 되도록 공을 주머니에 남김없이 나누어 넣을 때, 다음 조건을 만족시키는 경우의 수를 구하시오. (단, 공끼리는 서로 구별하지 않는다.) [4점]
(가) 들어 있는 공의 개수가 $1$인 주머니는 $4$개 또는 $6$개이다.
(나) 들어 있는 공의 개수가 $2$인 주머니와 이웃한 주머니에는 공이 들어 있지 않다.
풀이
조건 (가)에 따라 공이 한 개 든 주머니가 $4$개인 경우와 $6$개인 경우로 나눈다.
(ⅰ) $1$개 든 주머니가 $4$개라면 $2$개 든 주머니는 $2$개, 비어 있는 주머니는 $4$개이다. 먼저 빈 주머니 $4$개를 일렬로 놓고, 인접한 주머니가 비도록 하는 $2$개 든 주머니의 자리를 빈 주머니 사이와 양 끝의 $5$곳에서 $2$곳 고른다. 그 경우의 수는 ${}_5C_2=10$이다.
이 배열에서 $1$개 든 주머니를 놓을 수 있는 곳은 $2$개 든 주머니 두 개의 앞뒤 조건을 피해 남는 $3$곳이다. $4$개의 주머니를 이 세 곳에 나누어 배치하는 중복조합의 수는 ${}_3H_4={}_6C_4=15$이다. 따라서 $10\times15=150$가지이다.
(ⅱ) $1$개 든 주머니가 $6$개라면 $2$개 든 주머니는 $1$개, 빈 주머니는 $3$개이다. 먼저 빈 주머니 $3$개를 놓고, 빈 주머니 사이와 양 끝의 $4$곳 중 $2$개 든 주머니의 자리를 선택하는 경우는 ${}_4C_1=4$가지이다.
나머지 $1$개 든 주머니 $6$개를 $2$개 든 주머니의 양옆을 피해 남은 $3$곳에 나누어 놓는 중복조합은 ${}_3H_6={}_8C_6=28$가지이다. 따라서 $4\times28=112$가지이다.
합하면 $150+112=262$가지이다.
정답: $262$