선택과목: 미적분
미적분 5지선다형
23. $\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan6x}{2x}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
$\displaystyle\lim\limits_{u\to0}\dfrac{\tan u}{u}=1$을 이용한다.
$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan6x}{2x}&=3\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\tan6x}{6x}\\&=3\times1=3\end{aligned}$
정답: ③ $3$
24. $\displaystyle\int\nolimits_0^{\dfrac\pi2}\sqrt{\sin x-\sin^3x}\,dx$의 값은? [3점]
① $\dfrac16$ ② $\dfrac13$ ③ $\dfrac12$ ④ $\dfrac23$ ⑤ $\dfrac56$
풀이
$\sin x-\sin^3x=\sin x(1-\sin^2x)=\sin x\cos^2x$이다. $0\le x\le\dfrac\pi2$에서 $\cos x\ge0$이므로 $\sqrt{\sin x\cos^2x}=\sqrt{\sin x}\cos x$이다.
$t=\sin x$로 치환하면 $dt=\cos x\,dx$이고 $x=0$에서 $t=0$, $x=\dfrac\pi2$에서 $t=1$이다.
$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_0^{\dfrac\pi2}\sqrt{\sin x-\sin^3x}\,dx&=\displaystyle\int\nolimits_0^1\sqrt t\,dt\\&=\left[\dfrac23t^{\dfrac32}\right]_0^1=\dfrac23\end{aligned}$
정답: ④ $\dfrac23$
25. 수열 $\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$에 대하여 $\sqrt{9n^2-5}+2n<a_n<5n+1$을 만족시킬 때, $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(a_n+2)^2}{na_n+5n^2-2}$의 값은? [3점]
① $\dfrac12$ ② $\dfrac32$ ③ $\dfrac52$ ④ $\dfrac72$ ⑤ $\dfrac92$
풀이
양쪽을 $n>0$으로 나누면 $\sqrt{9-\dfrac5{n^2}}+2<\dfrac{a_n}n<5+\dfrac1n$이다.
좌우 양쪽이 모두 $5$로 수렴하므로 샌드위치 정리에 따라 $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n}n=5$이다.
$\begin{aligned}&\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(a_n+2)^2}{na_n+5n^2-2}\\&=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\left(\dfrac{a_n}n+\dfrac2n\right)^2}{\dfrac{a_n}n+5-\dfrac2{n^2}}\\&=\dfrac{(5+0)^2}{5+5-0}=\dfrac52\end{aligned}$
정답: ③ $\dfrac52$
26. 그림과 같이 곡선 $y=\sqrt{x+x\ln x}$와 $x$축 및 두 직선 $x=1$, $x=2$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다.
이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
① $\dfrac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}$ ② $\dfrac{\sqrt3(5+12\ln2)}{24}$
③ $\dfrac{\sqrt3(1+12\ln2)}{16}$ ④ $\dfrac{\sqrt3(1+2\ln2)}4$
⑤ $\dfrac{\sqrt3(1+9\ln2)}{12}$
풀이
$1\le x\le2$에서 밑면의 세로 길이는 $\sqrt{x+x\ln x}$이고, 이 길이가 각 정삼각형 단면의 한 변의 길이이다.
한 변의 길이가 $s$인 정삼각형의 넓이는 $\dfrac{\sqrt3}4s^2$이므로 단면적은 $A(x)=\dfrac{\sqrt3}4(x+x\ln x)$이다.
$\begin{aligned}V&=\displaystyle\int\nolimits_1^2A(x)\,dx\\&=\dfrac{\sqrt3}4\displaystyle\int\nolimits_1^2(x+x\ln x)\,dx\\&=\dfrac{\sqrt3}4\left[\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^2}2\ln x-\dfrac{x^2}4\right]_1^2\\&=\dfrac{\sqrt3}4\left(1+2\ln2-\dfrac14\right)\\&=\dfrac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}\end{aligned}$
정답: ① $\dfrac{\sqrt3(3+8\ln2)}{16}$
27. 매개변수 $t$로 나타내어진 곡선 $x=e^{4t}(1+\sin^2\pi t)$, $y=e^{4t}(1-3\cos^2\pi t)$를 $C$라 하자. 곡선 $C$가 직선 $y=3x-5e$와 만나는 점을 P라 할 때, 곡선 $C$ 위의 점 P에서의 접선의 기울기는? [3점]
① $\dfrac{3\pi-4}{\pi+4}$ ② $\dfrac{3\pi-2}{\pi+6}$ ③ $\dfrac{3\pi}{\pi+8}$ ④ $\dfrac{3\pi+2}{\pi+10}$ ⑤ $\dfrac{3\pi+4}{\pi+12}$
풀이
주어진 직선에 매개변수식을 대입하면
$\begin{aligned}e^{4t}(1-3\cos^2\pi t)&=3e^{4t}(1+\sin^2\pi t)-5e\\-5e^{4t}&=-5e\end{aligned}$
여기서 $\sin^2\pi t+\cos^2\pi t=1$을 이용했다. 따라서 $e^{4t}=e$이므로 $t=\dfrac14$이다.
$\begin{aligned}\dfrac{dx}{dt}&=e^{4t}\{4(1+\sin^2\pi t)+2\pi\sin\pi t\cos\pi t\}\\\dfrac{dy}{dt}&=e^{4t}\{4(1-3\cos^2\pi t)+6\pi\sin\pi t\cos\pi t\}\end{aligned}$
$t=\dfrac14$에서 $\sin^2\dfrac\pi4=\cos^2\dfrac\pi4=\dfrac12$, $\sin\dfrac\pi4\cos\dfrac\pi4=\dfrac12$이므로
$\left.\dfrac{dx}{dt}\right|_{t=1/4}=e(6+\pi)$, $\left.\dfrac{dy}{dt}\right|_{t=1/4}=e(-2+3\pi)$이다.
따라서 접선의 기울기는 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{3\pi-2}{\pi+6}$이다.
정답: ② $\dfrac{3\pi-2}{\pi+6}$
28. 함수 $f(x)=\dfrac12x^2-x+\ln(1+x)$와 양수 $t$에 대하여 점 $(s,f(s))$ ($s>0$)에서 $y$축에 내린 수선의 발과 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(s,f(s))$에서의 접선이 $y$축과 만나는 점 사이의 거리가 $t$가 되도록 하는 $s$의 값을 $g(t)$라 하자. $\displaystyle\int\nolimits_{\dfrac12}^{\dfrac{27}4}g(t)\,dt$의 값은? [4점]
① $\dfrac{161}{12}+\ln3$ ② $\dfrac{40}3+\ln3$ ③ $\dfrac{53}4+\ln2$ ④ $\dfrac{79}6+\ln2$ ⑤ $\dfrac{157}{12}+\ln2$
풀이
$f'(x)=x-1+\dfrac1{1+x}=\dfrac{x^2}{x+1}$이다.
점 $(s,f(s))$에서의 접선은 $y-f(s)=f'(s)(x-s)$이고 $y$축과의 교점의 $y$좌표는 $f(s)-sf'(s)$이다. 따라서 수선의 발 $(0,f(s))$과의 거리는 $s f'(s)$이며
$t=s f'(s)=\dfrac{s^3}{s+1}\quad(s>0)$이다. 이 함수는 $s>0$에서 엄격히 증가하므로 $g$는 그 역함수이다.
$t=\dfrac12$이면 $s=1$, $t=\dfrac{27}4$이면 $s=3$이다. 부분적분으로
$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_{\dfrac12}^{\dfrac{27}4}g(t)\,dt&=\left[tg(t)\right]_{1/2}^{27/4}-\displaystyle\int\nolimits_{1/2}^{27/4}t g'(t)\,dt\\&=\dfrac{27}4\cdot3-\dfrac12\cdot1-\displaystyle\int\nolimits_1^3\dfrac{s^3}{s+1}\,ds\end{aligned}$
다항식 나눗셈으로 $\dfrac{s^3}{s+1}=s^2-s+1-\dfrac1{s+1}$이다. 따라서
$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_1^3\dfrac{s^3}{s+1}\,ds&=\left[\dfrac{s^3}3-\dfrac{s^2}2+s-\ln(s+1)\right]_1^3\\&=\dfrac{20}3-\ln2\end{aligned}$
그러므로 $\displaystyle\int\nolimits_{\dfrac12}^{\dfrac{27}4}g(t)\,dt=\dfrac{79}4-\left(\dfrac{20}3-\ln2\right)=\dfrac{157}{12}+\ln2$이다.
정답: ⑤ $\dfrac{157}{12}+\ln2$
미적분 단답형
29. 첫째항과 공차가 같은 등차수열 $\{a_n\}$과 등비수열 $\{b_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. [4점]
어떤 자연수 $k$에 대하여 $b_{k+i}=\dfrac1{a_i}-1$ ($i=1,2,3$)이다.
부등식 $0<\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(b_n-\dfrac1{a_na_{n+1}}\right)<30$이 성립할 때, $a_2\times\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $a_1\ne0$이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)
풀이
등차수열의 첫째항과 공차를 $d$라 하면 $a_n=nd$ ($d\ne0$)이다. 주어진 관계는 $b_{k+1}=\dfrac1d-1$, $b_{k+2}=\dfrac1{2d}-1$, $b_{k+3}=\dfrac1{3d}-1$이다.
연속한 세 항이 등비수열을 이루므로 중항의 제곱이 양옆 항의 곱과 같다.
$\left(\dfrac1{2d}-1\right)^2=\left(\dfrac1d-1\right)\left(\dfrac1{3d}-1\right)$
양변을 정리하면 $\dfrac1{12d^2}-\dfrac1{3d}=0$이므로 $d=\dfrac14$이다. 따라서 $a_n=\dfrac n4$이고 $b_{k+1}=3$, $b_{k+2}=1$, $b_{k+3}=\dfrac13$이므로 등비수열의 공비는 $r=\dfrac13$이다.
이때 $b_{k+1}=b_1r^k=3$에서 $b_1=3^{k+1}$이다. 또 $\dfrac1{a_na_{n+1}}=\dfrac{16}{n(n+1)}=16\left(\dfrac1n-\dfrac1{n+1}\right)$이므로 무한급수의 합은 $16$이다.
따라서 $\begin{aligned}\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(b_n-\dfrac1{a_na_{n+1}}\right)&=\dfrac{b_1}{1-1/3}-16\\&=\dfrac32b_1-16\end{aligned}$
$0<\dfrac32b_1-16<30$이므로 $\dfrac{32}3<b_1<\dfrac{92}3$이다. $b_1=3^{k+1}$, $k$는 자연수이므로 $b_1=27$이다.
$b_2=9$, 짝수째 항들의 공비는 $r^2=\dfrac19$이므로 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\dfrac9{1-1/9}=\dfrac{81}8$이다.
$a_2\times\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_{2n}=\dfrac12\times\dfrac{81}8=\dfrac{81}{16}$이므로 $p+q=16+81=97$이다.
정답: $97$
30. 실수 전체의 집합에서 증가하는 연속함수 $f(x)$의 역함수 $f^{-1}(x)$가 다음 조건을 만족시킨다. [4점]
(가) $|x|\le1$일 때, $4\times\left(f^{-1}(x)\right)^2=x^2(x^2-5)^2$이다.
(나) $|x|>1$일 때, $\left|f^{-1}(x)\right|=e^{|x|-1}+1$이다.
실수 $m$에 대하여 기울기가 $m$이고 점 $(1,0)$을 지나는 직선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점의 개수를 $g(m)$이라 하자. 함수 $g(m)$이 $m=a$, $m=b$ ($a<b$)에서 불연속일 때, $g(a)\times\left(\displaystyle\lim\limits_{m\to a+}g(m)\right)+g(b)\times\left(\dfrac{\ln b}{b}\right)^2$의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}x=0$)
풀이
$f(x)$가 실수 전체에서 증가하는 연속함수이므로 그 역함수 $F(x)=f^{-1}(x)$도 실수 전체에서 증가하는 연속함수이다.
조건 (가)에서 $|x|\le1$일 때 $4F(x)^2=x^2(x^2-5)^2$이므로 증가성을 고려하면 $F(x)=-\dfrac x2(x^2-5)=-\dfrac12x^3+\dfrac52x$이다.
조건 (나)에 의해 $|x|>1$에서 $|F(x)|=e^{|x|-1}+1$이다. $F(1)=2$, $F(-1)=-2$이고 $F$가 증가하므로
$F(x)=\begin{cases}-e^{-x-1}-1&(x<-1)\\-\dfrac12x^3+\dfrac52x&(-1\le x\le1)\\e^{x-1}+1&(x>1)\end{cases}$
기울기가 $m$이고 $(1,0)$을 지나는 직선 $y=m(x-1)$과 곡선 $y=f(x)$의 교점 개수를 $g(m)$이라 하자. 좌표를 바꾸면 $m\ne0$에서 곡선 $y=F(x)$와 직선 $y=1+\dfrac{x}{m}$의 교점 개수와 같다. $m=0$인 경우에는 원래 직선 $y=0$이 증가함수의 그래프와 한 점에서 만난다.
직선 $y=m(x-1)$과 곡선 $y=f(x)$의 교점은 좌표를 교환하여 직선 $y=1+\dfrac{x}{m}$과 곡선 $y=F(x)$의 교점으로 셀 수 있다 ($m\ne0$). 역함수 그래프의 접선을 이용하여 교점 개수의 변화를 조사한다.
(ⅰ) 가운데 곡선에 대한 접선 점 $(0,1)$을 지나 $y=-\dfrac12x^3+\dfrac52x$에 접하는 직선 $l$을 생각하자. 도함수는 $F'(x)=-\dfrac32x^2+\dfrac52$이다.
접점의 $x$좌표를 $\alpha$라 하면 $\dfrac{F(\alpha)-1}{\alpha}=F'(\alpha)$이고
$\begin{aligned}\dfrac{-\dfrac12\alpha^3+\dfrac52\alpha-1}{\alpha}&=-\dfrac32\alpha^2+\dfrac52\\-\alpha^3+5\alpha-2&=-3\alpha^3+5\alpha\\2\alpha^3&=2\end{aligned}$
따라서 $\alpha=1$이고 접선 $l$의 기울기는 $F'(1)=1$이다. 이는 오른쪽 가지 $F(x)=e^{x-1}+1$의 $x=1$에서의 접선 기울기 $e^{1-1}=1$과도 같다.
(ⅱ) 왼쪽 지수함수에 대한 접선 점 $(0,1)$을 지나 $y=-e^{-x-1}-1$에 접하는 직선 $m$을 생각하자. 도함수는 $F'(x)=e^{-x-1}$이다.
접점의 $x$좌표를 $\beta<-1$라 하면
$\begin{aligned}\dfrac{-e^{-\beta-1}-1-1}{\beta}&=e^{-\beta-1}\\-e^{-\beta-1}-2&=\beta e^{-\beta-1}\\(\beta+1)e^{-\beta-1}&=-2\qquad\text{…… ㉠}\end{aligned}$
직선 $y=x$에 대하여 이 두 접선을 대칭이동한 직선들은 원래 곡선 $y=f(x)$의 접선이다. 역함수의 접선 기울기가 각각 $1$, $e^{-\beta-1}$이므로, 원래 곡선의 접선 기울기는 각각 $1$, $e^{\beta+1}$이다.
접선과 그래프의 위치 및 $\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}x=0$을 이용해 교점 수를 분류하면
$g(m)=\begin{cases}1&(m\le0)\\3&(0<m<b)\\2&(m=b)\\1&(m>b)\end{cases}$
그림의 접선과 곡선의 위치 및 양 끝에서의 증가 양상을 비교하면, $m\le0$에서는 교점 $1$개, $0<m<e^{\beta+1}$에서는 $3$개, $m=e^{\beta+1}$에서는 접점이 생겨 $2$개, $m>e^{\beta+1}$에서는 $1$개이다. 이때 $\displaystyle\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$은 무한대로 갈 때 지수함수 가지와 직선의 교점 개수를 판별할 때 사용된다.
$g(m)=\begin{cases}1&(m\le0)\\3&(0<m<e^{\beta+1})\\2&(m=e^{\beta+1})\\1&(m>e^{\beta+1})\end{cases}$
따라서 $g(m)$의 불연속점은 $a=0$, $b=e^{\beta+1}$ ($a<b$)이고, $g(a)=1$, $\displaystyle\lim\limits_{m\to a+}g(m)=3$, $g(b)=2$이다.
$b=e^{\beta+1}$에서 $\ln b=\beta+1$이므로 ㉠에 의하여 $\dfrac{\ln b}{b}=\dfrac{\beta+1}{e^{\beta+1}}=-2$이다.
$\begin{aligned}&g(a)\times\left(\displaystyle\lim\limits_{m\to a+}g(m)\right)+g(b)\times\left(\dfrac{\ln b}{b}\right)^2\\&=1\times3+2\times(-2)^2=11\end{aligned}$
정답: $11$