공통과목 단답형
16. 수열 $\{a_n\}$은 $a_1=1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=n^2a_n+1$을 만족시킨다. $a_3$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$n=1$을 대입하면 $a_2=1^2a_1+1=1+1=2$이다.
$n=2$를 대입하면 $a_3=2^2a_2+1=4\times2+1=9$이다.
정답: $9$
17. 함수 $f(x)=4x^3-2x$의 한 부정적분 $F(x)$에 대하여 $F(0)=4$일 때, $F(2)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$F'(x)=f(x)$이므로 적분상수를 $C$라 할 때 $F(x)=x^4-x^2+C$이다.
$F(0)=4$에서 $C=4$이고 $F(2)=2^4-2^2+4=16$이다.
정답: $16$
18. $\overline{AB}=5$, $\overline{AC}=6$이고 $\cos(\angle BAC)=-\dfrac35$인 삼각형 ABC의 넓이를 구하시오. [3점]
풀이
삼각형의 내각이므로 $\sin\angle BAC>0$이다.
$\sin\angle BAC=\sqrt{1-\cos^2\angle BAC}=\sqrt{1-\dfrac9{25}}=\dfrac45$이다.
따라서 삼각형의 넓이는 $\dfrac12\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cdot\sin\angle BAC=\dfrac12\cdot5\cdot6\cdot\dfrac45=12$이다.
정답: $12$
19. $-2\le x\le2$인 모든 실수 $x$에 대하여 부등식 $-k\le2x^3+3x^2-12x-8\le k$가 성립하도록 하는 양수 $k$의 최솟값을 구하시오. [3점]
풀이
$f(x)=2x^3+3x^2-12x-8$로 놓으면 $f'(x)=6x^2+6x-12=6(x+2)(x-1)$이다.
$[-2,2]$에서 $f$는 $[-2,1]$에서 감소하고 $[1,2]$에서 증가하므로 끝점과 극솟값을 확인한다.
$\begin{aligned}f(-2)&=-16+12+24-8=12\\f(1)&=2+3-12-8=-15\\f(2)&=16+12-24-8=-4\end{aligned}$
따라서 $-15\le f(x)\le12$이고 $|f(x)|$의 최댓값은 $15$이다. 그러므로 양수 $k$의 최솟값은 $15$이다.
정답: $15$
20. 수열 $\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다. [4점]
∙ $a_1=7$
∙ $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\dfrac23a_n+\dfrac16n^2-\dfrac16n+10$이다.
다음은 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{12}a_k+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}a_{2k+1}$의 값을 구하는 과정이다.
$2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 $a_{n+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n+1}a_k-\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_k$이므로
$a_{n+1}=\dfrac23(a_{n+1}-a_n)+\boxed{\ (가)\ }$
이고, 이 식을 정리하면
$2a_n+a_{n+1}=3\times \boxed{\ (가)\ }$ …… ㉠
이다.
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n}a_k=\dfrac23a_n+\dfrac16n^2-\dfrac16n+10$ ($n\ge2$)
에서 양변에 $n=2$를 대입하면
$a_2=\boxed{\ (나)\ }$ …… ㉡
이다. ㉠과 ㉡에 의하여
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{12}a_k+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{5}a_{2k+1}=a_1+a_2+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(2a_{2k+1}+a_{2k+2})$
$=\boxed{\ (다)\ }$
이다.
위의 (가)에 알맞은 식을 $f(n)$이라 하고, (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $p$, $q$라 할 때, $\dfrac{p\times q}{f(12)}$의 값을 구하시오.
풀이
$S_n=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^na_k$라 하면 $n\ge2$에서 $a_{n+1}=S_{n+1}-S_n$이다.
$\begin{aligned}a_{n+1}&=\dfrac23(a_{n+1}-a_n)+\dfrac16\{(n+1)^2-n^2\}-\dfrac16\{(n+1)-n\}\\&=\dfrac23(a_{n+1}-a_n)+\dfrac n3\end{aligned}$
따라서 (가)는 $\dfrac n3$이고 $2a_n+a_{n+1}=n$이다.
$n=2$일 때 $a_1+a_2=\dfrac23a_2+\dfrac16\times4-\dfrac16\times2+10$이다. $a_1=7$이므로 $7+\dfrac13a_2=\dfrac{31}3$에서 $a_2=10$이다. 따라서 (나)는 $10$이다.
주어진 합을 $a_1+a_2+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(2a_{2k+1}+a_{2k+2})$로 바꾸고, $2a_n+a_{n+1}=n$에 $n=2k+1$을 대입한다.
$\begin{aligned}q&=7+10+\displaystyle\sum\limits_{k=1}^5(2k+1)\\&=17+(3+5+7+9+11)\\&=17+35=52\end{aligned}$
$f(12)=\dfrac{12}3=4$이므로 $\dfrac{p\times q}{f(12)}=\dfrac{10\times52}{4}=130$이다.
정답: $130$
21. 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$와 실수 $t$에 대하여 함수
$g(x)=\begin{cases}-f(x)&(x<t)\\f(x)&(x\ge t)\end{cases}$
는 실수 전체의 집합에서 연속이고 다음 조건을 만족시킨다. [4점]
(가) 모든 실수 $a$에 대하여 $\displaystyle\lim\limits_{x\to a+}\dfrac{g(x)}{x(x-2)}$의 값이 존재한다.
(나) $\displaystyle\lim\limits_{x\to m+}\dfrac{g(x)}{x(x-2)}$의 값이 음수가 되도록 하는 자연수 $m$의 집합은 $\left\{g(-1),-\dfrac72g(1)\right\}$이다.
$g(-5)$의 값을 구하시오. (단, $g(-1)\ne-\dfrac72g(1)$)
풀이
다항함수 $f(x)$가 연속이고 $g(x)$가 실수 전체에서 연속이므로, $x=t$에서 $\displaystyle\lim\limits_{x\to t-}g(x)=\displaystyle\lim\limits_{x\to t+}g(x)=g(t)$이다. 즉 $-f(t)=f(t)$이므로 $f(t)=0$이다.
또 조건 (가)의 $x=0,2$에서는 분모 $x(x-2)$가 $0$이 되지만 오른쪽 극한이 유한하게 존재해야 하므로 $g(0)=g(2)=0$, 따라서 $f(0)=f(2)=0$이다. 그러므로 $f(x)=\alpha x(x-2)(x-k)$ ($\alpha>0$)로 놓을 수 있다.
조건 (나)의 극한이 음수가 되는 자연수 $m$을 세 경우로 나누어 살펴본다.
(ⅰ) $m=1$인 경우 $\displaystyle\lim\limits_{x\to1+}x(x-2)=-1<0$이므로 극한이 음수가 되려면 $g(1)>0$이어야 한다. 그런데 이때 $-\dfrac72g(1)<0$이 되어 조건 (나)에 주어진 집합의 원소가 자연수라는 사실과 모순이다. 따라서 $m=1$은 해당하지 않는다.
(ⅱ) $m=2$인 경우 $g(2)=0$이므로 $\displaystyle\lim\limits_{x\to2+}\dfrac{g(x)}{x(x-2)}=\dfrac12\displaystyle\lim\limits_{x\to2+}\dfrac{g(x)-g(2)}{x-2}<0$이려면 $\displaystyle\lim\limits_{x\to2+}\dfrac{g(x)-g(2)}{x-2}<0$이어야 한다.
(ⅲ) $m>2$인 경우 분모 $m(m-2)>0$이므로 $\displaystyle\lim\limits_{x\to m+}\dfrac{g(x)}{x(x-2)}=\dfrac{g(m)}{m(m-2)}<0$일 필요충분조건은 $g(m)<0$이다.
조건 (나)에서 해당하는 자연수 $m$은 정확히 $2$개이고 $m=1$은 불가능하다. 따라서 $m>2$에서 $g(m)<0$인 자연수가 적어도 하나 존재한다. 이와 $g(-1)>0$, $g(1)<0$의 부호 조건을 함께 적용하면 $t=2$, $k>3$이 되어
$g(x)=\begin{cases}-\alpha x(x-2)(x-k)&(x<2)\\\alpha x(x-2)(x-k)&(x\ge2)\end{cases}$
이때 $m=2$ 또는 $m>2$에서 해당 극한이 음수가 되는 경우는 $2\le m<k$이다. 집합에 서로 다른 자연수 두 개가 들어 있으므로 그 자연수는 $2,3$이고 $3<k\le4$이다.
$g(-1)=3\alpha(k+1)$, $g(1)=-\alpha(k-1)$이다. 조건 (나)에 의하여 $\{3\alpha(k+1),\dfrac72\alpha(k-1)\}=\{2,3\}$이다.
이때 $m=2$에서 오른쪽 극한은 $-\alpha(k-2)<0$이고, $m>2$일 때 해당 극한이 음수가 되려면 $2<m<k$이다. 해당 자연수가 $2,3$의 두 개뿐이므로 $3<k\le4$이다.
또한 $g(-1)=3\alpha(k+1)$, $g(1)=-\alpha(k-1)$이고, 조건 (나)에 의하여 $\left\{3\alpha(k+1),\dfrac72\alpha(k-1)\right\}=\{2,3\}$이다.
① $g(-1)=2$, $-\dfrac72g(1)=3$인 경우 $3\alpha(k+1)=2$, $\dfrac72\alpha(k-1)=3$이므로 $\alpha=\dfrac{2}{3(k+1)}=\dfrac6{7(k-1)}$이다. 따라서 $7(k-1)=9(k+1)$에서 $k=-8$로, $3<k\le4$에 모순이다.
② $g(-1)=3$, $-\dfrac72g(1)=2$인 경우 $3\alpha(k+1)=3$, $\dfrac72\alpha(k-1)=2$이므로 $\alpha=\dfrac1{k+1}=\dfrac4{7(k-1)}$이다. 따라서 $7(k-1)=4(k+1)$이고 $k=\dfrac{11}{3}$, $\alpha=\dfrac3{14}$이다. 이는 $3<k\le4$를 만족한다.
$\begin{aligned}g(-5)&=-\dfrac3{14}(-5)(-7)\left(-5-\dfrac{11}{3}\right)\\&=-\dfrac3{14}\times35\times\left(-\dfrac{26}{3}\right)\\&=65\end{aligned}$
정답: $65$
22. 곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위의 점 A$(a,b)$와 곡선 $y=4^{x-1}-\dfrac12$ 위의 점 B가 제1사분면에 있다. 점 A를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점이 직선 OB 위에 있고 선분 AB의 중점의 좌표가 $\left(\dfrac{77}8,\dfrac{133}8\right)$일 때, $a\times b=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, O는 원점이고, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$의 식을 변형하면 $16^y=8x+2$ …… ㉠이다.
곡선 $y=4^{x-1}-\dfrac12$의 식을 변형하면 $4^x=4y+2$ …… ㉡이다. ㉠에서 $x$ 대신 $\dfrac y2$, $y$ 대신 $\dfrac x2$를 대입하면 $16^{\dfrac x2}=8\dfrac y2+2$, 즉 $4^x=4y+2$로 ㉡과 일치한다.
점 $A(a,b)$가 곡선 $y=\log_{16}(8x+2)$ 위에 있으므로 $16^b=8a+2$이다. 따라서 점 $(2b,2a)$는 곡선 $y=4^{x-1}-\dfrac12$ 위에 있고, $(b,a)$와 원점을 잇는 직선 위에도 있다.
점 $B(c,d)$도 이 곡선 위에 있고 $4^c=4d+2$이다. 또한 점 $A$를 $y=x$에 대하여 대칭이동한 $(b,a)$가 직선 OB 위에 있으므로 $a=\dfrac dc\,b$, 즉 $ac-bd=0$ …… ㉢이다.
제1사분면에서 $y=4^{x-1}-\dfrac12$는 엄격히 증가하는 볼록곡선이며 $y$절편이 음수이다. 따라서 원점과 제1사분면의 한 점을 잇는 반직선은 이 곡선과 한 점에서만 만난다. 그러므로 $(c,d)=(2b,2a)$ …… ㉣이고, 실제로 $ac-bd=a(2b)-b(2a)=0$이다.
선분 AB의 중점이 $\left(\dfrac{77}{8},\dfrac{133}{8}\right)$이므로 $\dfrac{a+c}{2}=\dfrac{77}{8}$, $\dfrac{b+d}{2}=\dfrac{133}{8}$이다.
$\begin{aligned}a+2b&=\dfrac{77}{4}\\2a+b&=\dfrac{133}{4}\\a&=\dfrac{63}{4},\qquad b=\dfrac74\end{aligned}$
$ab=\dfrac{63}{4}\times\dfrac74=\dfrac{441}{16}$이므로 $p=16$, $q=441$이며 $p+q=457$이다.
정답: $457$