삼차방정식의 근과 계수의 관계

삼차방정식 $ax^3+bx^2+cx+d=0$의 세 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$라 하면 삼차식 $ax^3+bx^2+cx+d$는 $x-\alpha$, $x-\beta$, $x-\gamma$를 인수로 가지므로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

• $ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

우변을 전개하여 정리하면 $a\{x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\}$이고

$a\ne0$이므로 양변을 $a$로 나누면

$x^3+\dfrac{b}{a}x^2+\dfrac{c}{a}x+\dfrac{d}{a}$
$=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$

이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 다음이 성립합니다.

$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$, $\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$

삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의해

$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{-5}{1}=5$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{2}{1}=2$, $\alpha\beta\gamma=-\dfrac{8}{1}=-8$

$x^3-(-1+2-3)x^2+\{(-1)\times2+2\times(-3)+(-3)\times(-1)\}x-(-1)\times2\times(-3)=0$

$\therefore\;x^3+2x^2-5x-6=0$

사차방정식 $ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$ $(a\neq0)$ 의 네 근을 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $\delta$로 두면 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$는 인수정리에 의해 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.

• $f(x)=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)(x-\delta)$

먼저 두 개씩 묶어 전개한 다음 결과를 곱하여 정리하면 다음과 같습니다.

$(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$
$(x-\gamma)(x-\delta)=x^2-(\gamma+\delta)x+\gamma\delta$

이므로

$a{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta}{x^2-(\gamma+\delta)x+\gamma\delta}=0$

입니다.

이를 전개하면

$a[x^4-(\alpha+\beta+\gamma+\delta)x^3$

$+{\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta}x^2$

$-(\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta)x$

$+\alpha\beta\gamma\delta]=0$

입니다.

따라서

$ax^4-a(\alpha+\beta+\gamma+\delta)x^3$

$+a(\alpha\beta+\alpha\gamma+\alpha\delta+\beta\gamma+\beta\delta+\gamma\delta)x^2$

$-a(\alpha\beta\gamma+\alpha\beta\delta+\alpha\gamma\delta+\beta\gamma\delta)x$

$+a\alpha\beta\gamma\delta=0$

입니다.

이를 원래의 사차방정식

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$

과 비교하면 각 항의 계수가 같으므로 다음이 성립합니다.