이번시간에는 소인수분해를 이용해 최소공배수를 구하는 방법에 대해 학습해 보기로 하자. 공배수와 최소공배수 먼저 초등학교에서 배운 공배수와 최소공배수에 대해 복습하고 소인수분해를 이용해 최소공배수를 구하는 방법에 대해 정리해 보기로 하자. 정의 성질 위의 성질은 간단한 검증을 통해 받아들이기로 하자. 성질 검증 예를 통해 성질을 확인하고 넘어가기로 하자. 12와 30의 최소공배수 두 수의 최소공배수를 구하기 위해 배수를 나열하고 … 더 읽기
이번 시간에는 전 시간에 이어서 순환소수의 순환마디에 대해 정리하고, 순환소수를 분수(유리수)로 변형하는 공식에 대해 학습해 보기로 하자. 순환소수와 순환마디 정의와 표기법 순환소수의 정의는 전 시간에 다루었기 때문에 언급만 하고 넘어가려고 한다. 순환소수에서 $\color{blue}\text{일정한 숫자의 배열}$이 되풀이되는 부분을 ‘$\color{blue}\text{순환마디}$’ 라고 부르기로 하자. 예를 살펴보면서 순환마디의 정의를 더 정확히 정리해 보기로 하자. 위의 주어진 경우처럼 하나의 순환소수에서 … 더 읽기
공약수와 최대공약수 소인수분해를 이용한 최대공약수와 공약수를 구하는 방법에 대해 학습하기 전에 초등학교에서 배운 개념과 서로소에 대한 개념을 정리하도록 하자. 정의 예시 12, 30의 최대공약수 $12$의 약수: $\{1,2,3,4,6,12\}$$30$의 약수: $\{1,2,3,5,6,10,15,30\}$$12$와 $30$의 공약수: $\{1,2,3,6\}$$12$와 $30$의 최대공약수: $\{6\}$ 14, 15의 최대공약수 $14$의 약수: $\{1,2,7,14\}$$15$의 약수: $\{1,3,5,15\}$$14$와 $15$의 공약수: $\{1\}$$14$와 $15$의 최대공약수: $\{1\}$$\therefore$ $14$ 와 $15$는 서로소이다. 성질 위의 … 더 읽기
이번 시간에는 소인수분해와 표를 이용해 약수를 체계적으로 구하는 방법을 학습하고 약수의 개수를 구하는 과정을 일반화 하여 일반적 식으로 정리해 보기로 하자. 소인수분해와 약수, 약수의 개수 $12$를 소인수분해하여 나타내면 다음과 같다. $12=2^2\times3$ 소인수분해를 이용해 약수와 약수의 개수를 어떻게 구할 수 있을까? 12의 약수는 12를 나누어 떨어지게 하는 수 이므로 다음과 같이 표현할 수 있다. $\dfrac{12}{12\text{의 약수}}=\dfrac{{\color{blue}2^2}\times{\color{red}3^1}}{\text{12의 … 더 읽기
이번 시간에는 인수와 소인수를 정의하고 소인수분해와 이를 간결하게 표현하기 위한 거듭제곱 표기법에 대해 학습해 보기로하자. 인수와 소인수 약수와 인수 먼저 정의를 정리하고 인수에 대해 정리해 보자. 예를 들어 $12$는 $\{\color{black}{1},\color{blue}{2},\color{red}{3},\color{red}{4},\color{blue}{6},\color{black}{12}\}$로 나누어 떨어지고 이를 12의 약수라고 할 수 있다. $12$를 나누어 떨어지는 수를 이용해 $12$를 곱으로 표현하면 다음과 같다. 두 자연수를 곱해서 $12$일 떄, 구성하는 각 … 더 읽기
유리수는 우리가 일상에서 자주 접하는 수지만, 그 특성을 제대로 이해하는 것은 쉽지 않습니다. 유리수는 분수로 표현되는 수인데, 그 소수 형태가 유한소수와 무한소수로 나뉘는 사실을 알고 있나요? 특히, 무한소수 중에서도 ‘순환소수’라는 흥미로운 개념이 있다는 사실도 알고 있었을까요? 오늘은 유리수의 소수 표현을 자세히 살펴보면서, 유한소수 조건 순환소수 조건 까지 살펴보도록 하겠습니다. 유리수(분수)의 소수 표현(복습) 분수를 나눗셈을 이용해 … 더 읽기
이번 시간에는 소수와 합성수에 대해 정리하고 소수를 찾는 방법으로 에라토스테네스의 체에 대하여 학습하고 마지막으로 소수 판정법에 대해 학습하기로 하자. 먼저 두 가지 초등학교와 중학교에서 배우는 두 소수의 의미에 대해 간단히 정리하자. 초등학교 때 배운 소수는 소~수로 읽고 오늘 학습할 소수는 소쑤로 발음한다는 것을 기억하고 학습을 이어가자. 자연수의 ‘분해’ 수학에서 분해는 주어진 수나 식을 곱셈으로 정리하는 … 더 읽기
이번 시간에는 자연수를 다루는데 기초가 되는 2,3,4,5,8,9,11,13의 배수 판정법에 대해 정리해 보자. 이를 이용하면 쉽게 약수를 구할 수 있어 소인수 분해를 이용한 모든 계산에 유용하게 사용할 수 있다. 모든 자연수는 1의 배수이기 때문에 2의 배수 부터 차근 차근 정리해 보기로 하자. 2, 5, 4, 8 의 배수 판정법 2의 배수 판정법 마지막 한 자리가 $2$의 … 더 읽기
이번 시간에는 명제의 참과 거짓을 진리집합을 이용해 정리해 보려고 한다. 수학에서는 발견된 사실을 명제로 표현하고, 명제의 참과 거짓을 판단하는 증명의 과정을 거친다. 이 과정을 논리학이라고 하고 고등학교 수학을 학습하기 위해 매우 중요한 과정이다. 명제 ‘옳고 그름을 판정할 수 있는 문장이나 식’예를들어 “맞꼭지각의 크기는 서로 같다”는 참인 명제이다.명제는 주로 $p,q,r$을 이용해 나타낸다. [개념주의]바로 다음 학습하는 조건도 … 더 읽기
지수법칙은 중학교에서 자연수 범위에서 다루고 지수의 확장을 통해 고등학교 에서는 정수, 유리수 범위 까지 확장되며, 지수함수를 통해 지수의 범위는 실수까지 확장된다. 여기서는 자연수 범위에서 지수법칙을 검증하고 정수 범위로 확장되는 과정에 대한 증명을 자세히 다뤄 보도록 하겠다. 지수법칙 (지수가 자연수) 실수 $a,b$ 와 자연수 $m,n$에 대하여 다음이 성립한다. 법칙이 사실인지 확인 하는 과정은 다음과 같다. 지수가 … 더 읽기
이번 시간에는 이차식 인수분해를 쉽게 하는 방법에 대해 학습해 보기로 하자. 이해를 돕기 위해 결론부터 이야기하고 원리에 대해 설명을 이어가도록 하겠다. 이차식 인수분해 이차식은 간단히 인수분해 될 수도 있으나 간단한 일차식(정수계수 일차식)으로 인수분해가 어려운 경우도 있다. 먼저 이를 빠르게 파악하는 것이 인수분해를 잘하는 핵심이다. 만약 간단히 인수분해를 못한다면 근의 공식을 써야 하기 때문이다. 인수분해 가능성 … 더 읽기
이번 시간에는 중학교 3학년 고등학교 1학년에 등장하는 인수분해 공식을 정리하려고 합니다. 인수분해의 뜻과 용어 정리 예를 들면 다음과 같습니다. $x^2+5x+6 \rightleftharpoons (x+2)(x+3)$ 따라서 인수분해는 전개의 역과정이다. 중3과 고1의 인수분해 차이 중학교 3학년에서는 이차식을 인수분해하여 항 이 두 개 이하인 식으로 정리하는 인수분해를 주로 다루고 고등학교 1학년에서는 3차 이상의 식의 인수분해, 항이 셋 이상인 식으로 인수분해 … 더 읽기