삼차방정식과 사차방정식

$f(a)=0$인 $a$가 있다면 인수정리에 의해 $f(x)=(x-a)g(x)$인 $g(x)$를 조립제법을 이용해 구할 수 있습니다. 따라서 방정식 $f(x)=0$의 해는 다음과 같습니다.

• $(x-a)g(x)=0$의 해: $(x-a)=0$ 또는 $g(x)=0$

먼저 $x$에 $\pm\dfrac{\text{상수항 }4\text{의 양의 약수}}{\text{최고차항의 계수 }3\text{의 양의 약수}}$, 즉 $\pm1$, $\pm2$, $\pm4$, $\pm\dfrac13$, $\pm\dfrac23$, $\pm\dfrac43$을 대입하여 (좌변)$=0$을 만족시키는 것을 찾습니다.

$f(x)=3x^3+7x^2-4$라 하면 $f(-1)=-3+7-4=0$이고, 조립제법을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

$\begin{array}{rl}-1\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr}3&7&0&-4\\&-3&-4&4\end{array}}\\&\begin{array}{rrrr}\phantom{)}3&\phantom{-}4&-4&\phantom{-}\boxed{0}\end{array}\end{array}$

따라서 $f(x)=(x+1)(3x^2+4x-4)$이고, 이차식 까지 인수분해 하면 $f(x)=(x+1)(x+2)(3x-2)$입니다. $(x+1)(x+2)(3x-2)=0$의 해를 구하면 다음과 같습니다.

• $;x=-1$ 또는 $x=-2$ 또는 $x=\dfrac{2}{3}$

먼저 $x^4$의 계수가 $1$이므로 $x$에 상수항 $6$의 약수, 즉 $\pm1$, $\pm2$, $\pm3$, $\pm6$을 대입하여 (좌변)$=0$을 만족시키는 것을 찾습니다.

$f(x)=x^4+x^3-x^2-7x-6$로 두면, $f(-1)=1-1-1+7-6=0$이고 $f(2)=16+8-4-14-6=0$임을 확인할 수 있습니다. 조립제법을 이용하여 $f(x)$를 인수분해하면

$\begin{array}{rl}-1\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrrr}1&1&-1&-7&-6\\&-1&0&1&6\end{array}}\\
2\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrrr}1&\phantom{-}0&-1&-6&\phantom{-}\boxed{0}\\&2&4&6\end{array}}\\
&\begin{array}{rrrr}1&\phantom{-}2&\phantom{-}3&\phantom{-}\boxed{0}&\end{array}\end{array}$

조립제법의 결과를 정리하면, $f(x)=(x+1)(x-2)(x^2+2x+3)$이고 주어진 방정식의 해는 $(x+1)(x-2)(x^2+2x+3)=0$의 해와 같고 정리하면 다음과 같습니다.

• $x=-1$ 또는 $x=2$ 또는 $x=-1\pm\sqrt2i$

$x^2+4x=X$로 놓으면 주어진 방정식은 다음과 같은 $X$에 대한 이차방정식이 됩니다.

• $(X+5)^2-12X=40$, $X^2-2X-15=0$

$X$에 대한 이차방정식을 인수분해 하면 $(X+3)(X-5)=0$이고, 해는 $X=-3$ 또는 $X=5$입니다. $X=x^2+4x$를 대입하여 두 식을 정리하면, $x$에 대한 이차방정식이 되고 다음과 같이 해를 구할 수 있습니다.

1. $X=-3$일 때, $x^2+4x+3=0$을 인수분해 하면 $(x+3)(x+1)=0$이고, 해는 $x=-3$ 또는 $x=-1$
2. $X=5$일 때, $x^2+4x-5=0$을 인수분해 하면 $(x+5)(x-1)=0$이고, 해는 $x=-5$ 또는 $x=1$

(1), (2)에 따라서 주어진 이차방정식의 해는 $x=-5$ 또는 $x=-3$ 또는 $x=-1$ 또는 $x=1$입니다.

이 유형은 두 일차식의 상수항의 합이 서로 같아지도록 두 개씩 짝을 지으면 공통부분이 만들어지고 이를 치환하여 풀 수 있습니다.

$(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120$에서 상수항의 합이 같도록 두 일차식을 묶어 전개하면 다음과 같이 공통부분을 찾을 수 있습니다.

• $\{(x+1)(x+4)\}\{(x+2)(x+3)\}=120$, 정리하면 $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)=120$

공통부분 $x^2+5x=X$로 놓으면 주어진 방정식은 $(X+4)(X+6)=120$이 되고 이항하여 인수분해하면, 다음과 같이 $X$를 구할 수 있습니다.

• $X^2+10X-96=0$, $(X+16)(X-6)=0$ X=-16$ 또는 $X=6$

해에 $X=x^2+5x$를 대입해 $x$ 값을 구하면 다음과 같습니다.

1. $X=-16$일 때, $x^2+5x+16=0$이고, $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{39}i}{2}$
2. $X=6$일 때, $x^2+5x-6=0$이고 인수분해를 이용해 풀면 $(x+6)(x-1)=0$, $x=-6$ 또는 $x=1$

(1) (2)에 따라서 $x=-6$ 또는 $x=1$ 또는 $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{39}i}{2}$

${\color{blue}x^4}+ax^2+{\color{blue}b}=0$에서 사차항과 상수항을 이용해 완전제곱식이 되도록 변형하면 (완전제곱식의 조건 $B^2=4AC$) 다음과 같습니다.

$\l{({\color{blue}x^4}+\bbox[#ffff00]{2 \sqrt b x^2}+{\color{blue}b}) -\bbox[#ffff00]{2 \sqrt b x^2})\r}+ax^2$$=(x^2+\sqrt b)^2 -2 \sqrt b x^2+ax^2$$=(x^2+\sqrt b)^2 +(a-2 \sqrt b) x^2$

이렇게 변형한 식에 합차공식으로 인수분해를 적용할 수 있습니다.

$x^2=X$로 치환하면 주어진 방정식은 $X^2-3X-4=0$이고 인수분해를 하면 $(X+1)(X-4)=0$이고, $X=-1$ 또는 $X=4$가 해가 됩니다. $X=x^2$을 대입하여 식을 정리하고 $x$를 구하면 다음과 같습니다.

• $x^2=-1$ 또는 $x^2=4$

따라서 $x=\pm i$ 또는 $x=\pm2$입니다.

$x^2$을 치환하여도 인수분해가 되지 않는 복지이차식의 경우, 사차항과 상수항을 기준으로 완전제곱식으로 변형해 보아야 합니다.

${\color{blue}x^4}+x^2+{\color{blue}1}=0$에서 사차항과 상수항을 기준으로 완전제곱식으로 변형하면 다음과 같습니다.

$\l{({\color{blue}x^4}+\bbox[#ffff00]{2x^2}+{\color{blue}1})-\bbox[#ffff00]{2x^2}\r}+x^2$$=(x^2+1)^2-x^2$

합차공식을 이용해 인수분해를 하면, $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$이고, $x^2+x+1=0$ 또는 $x^2-x+1=0$

1. $x^2+x+1=0$에서 $x=\dfrac{-1\pm\sqrt3i}{2}$
2. $x^2-x+1=0$에서 $x=\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}$

(1) (2)에 따라서 $x=\dfrac{-1\pm\sqrt3i}{2}$ 또는 $x=\dfrac{1\pm\sqrt3i}{2}$입니다.

사차 상반방정식$6x^4+5x^3-38x^2+5x+6=0$의 양변을 $x^2$으로 나눈 후 $x+\dfrac1x=X$로 치환하여 풀어봅시다.

$x=0$이 해가 될 수 없으므로, $x\ne0$로 두고 양변을 $x^2$으로 나누어 정리하면 다음과 같습니다.

$6x^2+5x-38+\dfrac5x+\dfrac6{x^2}=0$
$6\left(x^2+\dfrac1{x^2}\right)+5\left(x+\dfrac1x\right)-38=0$
$6\left\{\left(x+\dfrac1x\right)^2-2\right\}+5\left(x+\dfrac1x\right)-38=0$
$6\left(x+\dfrac1x\right)^2+5\left(x+\dfrac1x\right)-50=0$ (곱셈공식 변형식)

$x+\dfrac1x=X$로 놓으면 $6X^2+5X-50=0$이고 인수분해하면 $(3X+10)(2X-5)=0$이므로 $X=-\dfrac{10}3$ 또는 $X=\dfrac52$입니다. $X=x+\dfrac1x$를 대입하여 정리하면

1. $X=-\dfrac{10}3$일 때, $x+\dfrac1x=-\dfrac{10}3$의 해를 구하면, $3x^2+10x+3=0$, $(x+3)(3x+1)=0$, $x=-3$ 또는 $x=-\dfrac13$
2. $X=\dfrac52$일 때, $x+\dfrac1x=\dfrac52$의 해를 구하면, $2x^2-5x+2=0$, $(2x-1)(x-2)=0$, $x=\dfrac12$ 또는 $x=2$

(1) (2) 에 따라서 $x=-3$ 또는 $x=-\dfrac13$ 또는 $x=\dfrac12$ 또는 $x=2$입니다.