삼차 이상의 다항식은 기본 인수분해 공식만으로 바로 인수분해하기 어려운 경우가 많습니다. 이때 인수정리를 이용하여 다항식의 값을 $0$으로 만드는 수를 찾으면 일차인수를 결정할 수 있고, 조립제법을 이용하여 나머지 몫을 구하면 인수분해를 이어갈 수 있습니다. 이번 글에서는 인수정리를 이용한 인수분해의 절차와 인수의 후보를 찾는 방법을 정리하고, 대표적인 삼차식 예제를 통해 조립제법과 연결하여 인수분해하는 과정을 살펴보겠습니다.
인수정리를 이용한 인수분해
삼차 이상의 다항식 $f(x)$는 인수정리와 조립제법을 이용하여 다음과 같은 방법으로 인수분해할 수 있습니다.
- 다항식 $f(x)$에서 $f(a)=0$을 만족시키는 상수 $a$의 값을 찾는다
- $f(a)=0$이면 $f(x)$는 $x-a$로 나누어 떨어진다.(인수정리)
- 조립제법을 이용하여 $f(x)$를 $x-a$로 나누었을 때의 몫 $Q(x)$를 구한다.
- $f(x)=(x-a)Q(x)$
- $Q(b)=0$이되는 $b$가 있는지 찾아본다.
그렇다면 $f(a)=0$이 되는 유리수 $a$값은 어떻게 추측할 수 있을 까요? 다음 정리를 통해 살펴봅시다.
유리근 정리
다항식을 $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$에 대하여, $f(a)=0$인 유리수 $a$ 가 있다면 다음을 만족해야 합니다.
- $a=\pm\dfrac{(f(x)\text{의 상수항의 약수})}{(f(x)\text{의 최고차항 계수의 약수})}$
증명(유리근 정리)
$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$에 대하여
$f(a)=0$인 유리수 $a$가 있다고 하면
$a=\dfrac{p}{q}$(기약분수)로 둘 수 있고
$f\left(\dfrac{p}{q}\right)=0$을 만족합니다.
$a_n\left(\dfrac{p}{q}\right)^n+a_{n-1}\left(\dfrac{p}{q}\right)^{n-1}+\cdots+a_1\dfrac{p}{q}+a_0=0 \cdots (1)$
(1)의 양변에 $q^n$을 곱하면
- $a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=0\cdots(2)$
$p\mid a_0$
(2)에서 상수항을 우변으로 이항하면
$a_np^n+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}=-a_0q^n$
왼쪽의 모든 항에는 $p$가 들어 있으므로 $p$는 오른쪽의 $a_0q^n$을 나눌 수 있어야 합니다.
그런데 $\dfrac{p}{q}$는 기약분수이므로 $p$와 $q$는 서로소입니다.
따라서 $p\mid a_0$ 즉, 분자 $p$는 상수항의 약수여야 합니다.
$q\mid a_n$
(2)에서 최고차항을 우변으로 이항하면
$a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots+a_1pq^{n-1}+a_0q^n=-a_np^n$
왼쪽의 모든 항에는 $q$가 들어 있으므로
$q$는 $a_np^n$을 나눌 수 있어야 합니다.
$p$와 $q$가 서로소이므로
$q\mid a_n$ 즉, 분모 $q$는 최고차항의 계수의 약수여야 합니다.
$p\mid a_0$, $q\mid a_n$
계수가 모두 정수인 다항식에서 유리수 $a=\dfrac{p}{q}$가 $f(a)=0$을 만족한다면,
$\boxed{a=\pm\dfrac{\text{상수항의약수}}{\text{최고차항 계수의 약수}}}$의 형태에서 찾으면 됩니다.
다항식 $6x^3+5x^2-2x-1$을 인수분해 하는 과정을 통해 내용을 정리해 보도록 합시다.
풀이
$f(x)=6x^3+5x^2-2x-1$로 두고 유리근 정리를 적용해 $f(a)=0$이 될 수 있는 $a$값을 생각해 봅시다.
$\pm\dfrac{(\text{상수항의 약수})}{(\text{최고차항 계수의 약수})}$를 나열하면 다음과 같습니다.
- $\pm1,\ \pm\dfrac{1}{2},\ \pm\dfrac{1}{3},\ \pm\dfrac{1}{6}$
차례로 대입하면 $f(-1)=-6+5+2-1=0$임을 알 수 있고
인수정리에 의하여 $x+1$은 $f(x)$의 인수입니다.
따라서 조립제법을 이용하여 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$\begin{array}{rl} -1\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 6 & 5 & -2 & -1\\ & -6 & 1 & 1 \end{array}}\\ & \begin{array}{rrrr} 6 & -1 & -1 & \phantom{{}-}\boxed{0} \end{array} \end{array}$
$6x^3+5x^2-2x-1$$=(x+1)(6x^2-x-1)$$=(x+1)(2x-1)(3x+1)$.
인수정리를 이용한 인수분해의 기본 절차를 확인했다면, 실제 문제에서는 먼저 $f(a)=0$이 되는 값을 찾고 조립제법으로 몫을 구한 뒤 그 몫이 다시 인수분해되는지 확인해야 합니다. 다음 예제에서 이 과정을 적용해 보겠습니다.
예제
$x^3-4x^2+x+6$을 인수분해 하여라.
풀이
$f(x)=x^3-4x^2+x+6$이라 두면
$f(-1)=-1-4-1+6=0$ 이므로 $f(x)$는 $x+1$을 인수로 갖습니다.
조립제법을 이용하여 식을 정리하면 다음과 같습니다.
$\begin{array}{rl} -1\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 1 & -4 & 1 & 6\\ & -1 & 5 & -6 \end{array}}\\ & \begin{array}{rrrr} 1 & -5 & 6 & \phantom{{}-}\boxed{0} \end{array} \end{array}$
$x^3-4x^2+x+6=(x+1)(x^2-5x+6)$$=(x+1)(x-2)(x-3)$
$3x^3-5x^2-34x+24$를 인수분해 하여라.
풀이
$f(x)=3x^3-5x^2-34x+24$로 두면,
$f(-3)=-81-45+102+24=0$
이므로 $f(x)$는 $x+3$을 인수로 갖습니다.
조립제법을 이용하여 정리하면 아래와 같습니다.
$\begin{array}{rl} -3\; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 3 & -5 & -34 & 24\\ & -9 & 42 & -24 \end{array}}\\ & \begin{array}{rrrr} 3 & -14 &\phantom{-{}}8 & \phantom{-2}\boxed{0} \end{array} \end{array}$
$3x^3-5x^2-34x+24=(x+3)(3x^2-14x+8)$$=(x+3)(3x-2)(x-4)$
다양한 인수분해 방법에 대해 정리하고 마무리 하도록 하겠습니다.
인수분해 정리
인수정리를 이용한 인수분해에서는 먼저 다항식의 값을 $0$으로 만드는 수를 찾아 일차인수를 결정하고, 조립제법으로 몫을 구한 뒤 그 몫까지 인수분해할 수 있는지 확인하는 과정이 중요합니다. 계수가 모두 정수인 다항식에서는 상수항과 최고차항의 계수의 약수를 이용하여 후보를 정하면 시행착오를 줄일 수 있습니다. 인수정리와 조립제법을 하나의 과정으로 연결하여 이해하면 삼차 이상의 다항식도 기본 인수분해 공식으로 이어서 정리할 수 있습니다.