다항식의 나눗셈은 자연수의 나눗셈과 비슷한 방식으로 계산할 수 있지만, 차수가 높아질수록 직접 나눗셈의 과정이 길어지고 계산도 복잡해집니다. 특히 일차식으로 나누는 경우에는 직접 나눗셈에서 반복되는 일정한 규칙을 발견할 수 있고, 이 규칙을 계수의 연산만으로 정리한 방법이 바로 조립제법입니다. 이번 글에서는 직접 나눗셈의 과정에서 조립제법의 원리를 찾아보고, 조립제법의 계산 과정과 일반적인 일차식으로 나누는 경우까지 차례로 정리해 보겠습니다.
일차식의 나눗셈
$3x^3-2x^2+x-6$을 $x-2$를 직접 나누는 과정에서 규칙을 찾고 나눗셈에 대한 알고리즘 조립제법에 대해 정리해 보도록 하겠습니다.
$\begin{array}{rl}&\phantom{)}\bbox[#ffff00]{3}x^2+\bbox[#dcff8d]{4}x+\bbox[#94efef]{9}\\
{\color{red}x-2}\; &\enclose{longdiv}{\color{blue}\bbox[#ffff00]{3} x^3-2x^2+x-6}\\
&\underline{\phantom{)}3x^3-6x^2\phantom{{}+x-6}}\\
&\phantom{)3x^3+{}} \bbox[#dcff8d]{4}x^2+x\phantom{{}-6}\\
&\underline{\phantom{)3x^3+{}}4x^2-8x\phantom{{}-6}}\\
&\phantom{)3x^3-2x^2+{}}\bbox[#94efef]{9}x-6\\
&\underline{\phantom{)3x^3-2x^2+{}}9x-18}\\
&\phantom{)3x^3-2x^2+x+{}}\bbox[#f3c2d5]{12}
\end{array}$
이 연산은 일차식 $x-2$로 나누는 과정은 다음 세 단계를 반복해서 이용한 결과 입니다.
- 1단계: $x-2$는 일차항의 계수가 $1$이므로 최고차항의 계수가 몫의 계수를 결정한다.
- 2단계: 두 다항식을 빼서 정리하는 과정에서 최고차항은 항상 사라진다.
- 3단계: 상수항은 최고차항의 계수와 곱해져 다음 차수에 뺄셈으로 연산된다.
위의 과정을 알고리즘으로 만든것이 조립제법입니다.
조립제법의 원리
조립제법은 다항식을 이차항의 계수가 $1$인 일차식($x+b$꼴)으로 나눌 때 직접 나눗셈을 하는 과정을 계수의 연산으로만 정리한 알고리즘입니다. 이제 조립제법의 과정에 대해 정리해 봅시다.
- 다항식의 계수를 첫째 줄에 차례로 적고, 이때 차수가 비어있는 항은 계수를 $0$으로 적습니다.
- 나누는식 ($x-2$)가 0이 되는 $x$의 값, $\color{red}2$를 맨 왼쪽에 적습니다.
- 원리: 상수항의 부호를 바꾸어 나눗셈의 3단계의 뺄셈 연산대신 덧셈으로 처리할 수 있습니다.
- 다항식의 첫번째 계수($\color{blue}3$)을 내려 적습니다.
- 원리: 최고차항 계수가 몫의 계수를 결정하는 나눗셈 1단계와 같습니다.
- $\color{red}2$와 내려적은 $\color{blue}3$을 곱한 값($6$)을 다음 계수 아래에 적습니다.
- 원리: 부호가 바뀐 $\color{red}2$와 첫번째 계수($\color{blue}3$)를 곱하여 다음 연산을 준비합니다.
- 다음 차수의 계수 $\color{blue}-2$와 $6$을 더하여 다음 몫의 계수($4$)를 계산합니다.
- 원리: ${\color{red}2}\times {\color{red}3}=6$은 부호가 바꾼 상수항 $\color{red}2$와 첫번째 계수$\color{blue}3$이 연산된 결과 이므로 뺄셈 대신 덧셈으로 처리하면 다음 몫의 차수 $4$를 계산할 수 있습니다.
조립제법 적용
$3x^3-2x^2+x-6$을 $x-2$로 나눈 결과를 조립제법을 이용하여 다시 정리해 보면 다음과 같습니다.
$\begin{array}{rl} {\color{red}2} \; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} \color{blue}3 & \color{blue}-2 & \color{blue}1 & \color{blue}-6 \\& 6 & 8 & 18 \end{array}} \\
& \begin{array}{rrrr} \ \bbox[#ffff00]{3} & \phantom{-}\bbox[#dcff8d]{4} & \bbox[#94efef]{9} & \boxed{\bbox[#f3c2d5]{12}} \end{array} \end{array}$
조립제법의 결과로 나오는 $\bbox[#ffff00]{3} \quad \bbox[#dcff8d]{4} \quad \bbox[#94efef]{9} \quad \boxed{\bbox[#f3c2d5]{12}}$는 직접 나눗셈을 통해 얻은 몫과 나머지의 계수와 정확하게 일치하므로 몫과 나머지는 다음과 같습니다.
- 몫: $3x^2+4x+9$
- 나머지: $12$
조립제법을 이용할 때 나누는 식이 $x$의 계수가 $1$인 일차식이 아닌 경우에는 몫의 관계를 추가로 확인해야 합니다. 다음에서 그 관계를 살펴봅니다.
일차식의 나눗셈과 조립제법
다항식 $f(x)$를 다음의 두 일차식 $x+\dfrac{b}{a}$, $ax+b$ 으로 나눈 몫과 나머지가 다음과 같을 때 $f(x)=(x+\dfrac{b}{a})Q_1(x)+R_1=(ax+b)Q_2(x)+R_2$일 때 두 몫과 나머지 사이에 다음이 성립합니다.
- $\dfrac{1}{a}Q_1(x)=Q_2(x)$ 또는 $Q_1(x)=aQ_2(x)$
- $R_1=R_2$
증명
다항식 $f(x)$를 $x+\dfrac{b}{a}$로 나누었을 때의 몫을 $Q_1(x)$, 나머지를 $R_1$이라 하면 다음이 성립합니다.
- $f(x)=\left(x+\dfrac{b}{a}\right)Q_1(x)+R_1$
$\left(x+\dfrac{b}{a}\right)=\dfrac{1}{a}(ax+b)$이므로 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$f(x)={\color{blue}\left(x+\dfrac{b}{a}\right)}Q_1(x)+R_1$
$={\color{blue}\dfrac{1}{a} \times (ax+b)} \times Q_1(x)+R_1 $
$=(ax+b)\times{\color{red}\dfrac{1}{a}Q_1(x)}+R_1$
$=(ax+b)\times{\color{red}Q_2(x)}+R_2$
따라서 $\dfrac{1}{a}Q_1(x)=Q_2(x)$ 또는 $Q_1(x)=aQ_2(x)$ 이고 $R_1=R_2$ 입니다.
$ax+b$로 나눈 몫과 나머지는 $x+\dfrac{b}{a}$로 나눈 몫과 나머지로 구할수 있음을 의미하고, 조립제법을 일차항의 계수가 1이 아닌 일반적인 일차식 ($ax+b$)으로 나눌 때도 사용할 수 있음을 의미합니다.
조립제법은 다항식을 일차식으로 나눌 때 계수만을 이용하여 몫과 나머지를 빠르게 구하는 방법입니다. 특히 나누는 식의 일차항의 계수가 1이 아닌 경우에는 몫을 다시 조정해야 하므로 그 관계를 함께 확인해 두는 것이 중요합니다.
적용
조립제법을 이용하여 다음 나눗셈의 몫과 나머지를 구하시오.
(1) $(3x^3+4x^2-5)\div(x+2)$
풀이
$3x^3+4x^2-5$를 $x+2$로 나누었을 때의 몫과 나머지를 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하여 구하면
$\begin{array}{rl} -2 \; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 3 & 4 & 0 & -5 \\ & -6 & 4 & -8 \end{array}} \\ & \begin{array}{rrrr} 3 & -2 & 4 & \boxed{-13} \end{array} \end{array}$
몫: $3x^2-2x+4$, 나머지: $-13$
(2) $(2x^3-5x^2+5x+3)\div(2x-3)$
풀이
$2x-3=2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)$이므로 오른쪽과 같이 조립제법을 이용하면
$\begin{array}{rl} \dfrac{3}{2} \; & \enclose{left,bottom}{\begin{array}[t]{rrrr} 2 & -5 & 5 & 3 \\ & 3 & -3 & 3 \end{array}} \\ & \begin{array}{rrrr} 2 & -2 & 2 & \boxed{6} \end{array} \end{array}$
위의 결과를 정리하면 다음과 같습니다.
$2x^3-5x^2+5x+3$
$=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)(2x^2-2x+2)+6$
$=\left(x-\dfrac{3}{2}\right)\times2(x^2-x+1)+6$
$=(2x-3)(x^2-x+1)+6$
∴ 몫: $x^2-x+1$, 나머지: $6$
일차식의 계수가 $1$인 경우에는 조립제법에서 얻은 계수가 바로 몫의 계수가 되지만, 일차항의 계수가 $1$이 아닌 경우에는 나누는 식의 상수배 관계를 이용해 몫을 조정해야 하는 것을 기억해야 합니다.
조립제법은 단순히 계산을 빠르게 하기 위한 방법이 아니라, 다항식을 일차식으로 직접 나누는 과정에서 반복되는 연산을 계수만으로 정리한 알고리즘입니다. 따라서 직접 나눗셈에서 각 계수가 어떻게 만들어지는지를 이해하면 조립제법의 곱하고 더하는 과정도 자연스럽게 이해할 수 있습니다. 또한 나누는 식이 $ax+b$와 같이 일차항의 계수가 $1$이 아닌 경우에는 $x+\dfrac{b}{a}$로 바꾸어 조립제법을 적용한 뒤 몫을 조정하고 나머지는 그대로 사용한다는 점까지 함께 기억해 두면 다양한 다항식의 나눗셈 문제에 활용할 수 있습니다.