이차방정식과 삼차방정식에서는 근의 합과 곱을 이용해 방정식의 계수를 나타낼 수 있었습니다. 이러한 관계는 근의 개수가 늘어나도 일정한 규칙을 따르므로, 사차방정식뿐 아니라 일반적인 $n$차방정식으로 확장할 수 있습니다. 이번 글에서는 여러 근을 선택하여 곱한 값의 합이 각 항의 계수와 어떻게 연결되는지 알아보고, 인수분해를 이용해 일반식을 증명한 뒤 사차방정식에 적용해 보겠습니다.
$n$차방정식의 근과 계수의 관계
이차방정식과 삼차방정식에서 살펴본 근과 계수의 관계는 $n$차방정식에서도 성립합니다. 근의 개수가 늘어나더라도 근의 합, 두 근끼리의 곱의 합, 세 근끼리의 곱의 합과 같은 관계를 이용하면 각 항의 계수를 나타낼 수 있습니다.
최고차항의 계수가 $1$인 $n$차방정식 $x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+a_n=0$의 $n$개의 근을 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\ldots$, $\alpha_n$에 대하여 다음이 성립합니다.
- $a_1=\bbox[#ffff00]{-}\l(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n\r)=\bbox[#ffff00]{-}(모든\ 근의\ 합)$
- $a_2=\displaystyle \sum_{1\le i<j\le n}\alpha_i\alpha_j=(서로\ 다른\ 두\ 근의\ 곱의\ 합)$
- $a_3=\displaystyle \bbox[#ffff00]{-}\l( \sum_{1\le i<j<k\le n}\alpha_i\alpha_j\alpha_k\r)=\bbox[#ffff00]{-}(서로\ 다른\ 세\ 근의\ 곱의\ 합)$
- $a_n=\bbox[#ffff00]{(-1)^n} \alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n=\bbox[#ffff00]{(-1)^n}(모든\ 근의\ 곱)$
여기서 $\sum$는 조건을 만족하는 모든 경우의 값을 더한다는 뜻입니다.
- $\displaystyle\sum_{1\le i<j\le n}\alpha_i\alpha_j$: $n$개의 근 중 서로 다른 두 근을 선택하여 곱한 값을 모두 더한다는 의미
설명
$n$차방정식의 근을 $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\ldots$, $\alpha_n$이라 하면, 인수정리에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
$$x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$$
$(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_n)$ 을 전개하여 내림차순으로 정리하면 다음과 같습니다.
$$=x^n -(\alpha_1+\alpha_2+\cdots+\alpha_n)x^{n-1}+{\displaystyle \left(\sum_{1\le i<j\le n}\alpha_i\alpha_j\right)x^{n-2}}-{\displaystyle\left(\sum_{1\le i<j<k\le n} \alpha_i\alpha_j\alpha_k\right)x^{n-3}}+\cdots+(-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n$$
이 등식은 $x$에 대한 항등식이므로 양변의 동류항의 계수를 비교하면 근과 계수의 관계를 얻을 수 있습니다.
이때 근을 곱하는 개수가 하나씩 늘어날 때마다 부호가 번갈아 바뀝니다. 따라서 $n$개의 근 중 $k$개를 선택하여 곱한 값의 합은 $x^{n-k}$의 계수와 다음 관계를 가집니다.
$$\displaystyle\sum_{1\le i_1<i_2<\cdots<i_k\le n}\alpha_{i_1}\alpha_{i_2}\cdots\alpha_{i_k}=(-1)^ka_k$$(단, $1\le k\le n$)
$n$차방정식의 근과 계수의 관계는 근을 하나씩 더 선택하여 곱한 값의 합이 최고차항부터 차례대로 각 항의 계수와 대응한다는 규칙으로 정리할 수 있습니다. 이때 선택한 근의 개수에 따라 부호가 번갈아 바뀌며, 모든 근의 곱은 방정식의 차수가 짝수인지 홀수인지에 따라 상수항과의 부호 관계가 달라집니다. 이 원리를 이해하면 사차 이상의 고차방정식에서도 근을 직접 구하지 않고 계수만으로 근의 합과 곱에 관한 정보를 얻을 수 있습니다.