선택과목: 미적분
미적분 5지선다형
23. $\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}$의 값은? [2점]
① $\dfrac15$ ② $\dfrac25$ ③ $\dfrac35$ ④ $\dfrac45$ ⑤ $1$
풀이
$\displaystyle\lim\limits_{u\to0}\dfrac{\ln(1+u)}u=1$을 이용한다.
$\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}{\ln(1+5x)}=\dfrac35\times\dfrac{\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{3x}}{\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+5x)}{5x}}=\dfrac35$이다.
정답: ③ $\dfrac35$
24. 매개변수 $t$ ($t>0$)으로 나타내어진 곡선
$x=\ln(t^3+1),\qquad y=\sin\pi t$
에서 $t=1$일 때, $\dfrac{dy}{dx}$의 값은? [3점]
① $-\dfrac\pi3$ ② $-\dfrac{2\pi}{3}$ ③ $-\pi$ ④ $-\dfrac{4\pi}{3}$ ⑤ $-\dfrac{5\pi}{3}$
풀이
$x=\ln(t^3+1)$에서 $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{3t^2}{t^3+1}$이다.
$y=\sin\pi t$에서 $\dfrac{dy}{dt}=\pi\cos\pi t$이다.
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{\pi(t^3+1)\cos\pi t}{3t^2}$이다.
$t=1$에서 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\pi(1+1)(-1)}3=-\dfrac{2\pi}{3}$이다.
정답: ② $-\dfrac{2\pi}{3}$
25. 양의 실수 전체의 집합에서 정의되고 미분가능한 두 함수 $f(x)$, $g(x)$가 있다. $g(x)$는 $f(x)$의 역함수이고, $g'(x)$는 양의 실수 전체의 집합에서 연속이다. 모든 양수 $a$에 대하여
$\displaystyle\int\nolimits_1^a\dfrac{1}{g'(f(x))f(x)}\,dx=2\ln a+\ln(a+1)-\ln2$
이고 $f(1)=8$일 때, $f(2)$의 값은? [3점]
① $36$ ② $40$ ③ $44$ ④ $48$ ⑤ $52$
풀이
$g$의 정의역과 $f$의 치역은 양의 실수 전체이므로 $f(x)>0$이다.
역함수의 성질 $g(f(x))=x$을 미분하면 $g'(f(x))f'(x)=1$이다.
따라서 $\dfrac1{g'(f(x))f(x)}=\dfrac{f'(x)}{f(x)}$이므로
$\displaystyle\int\nolimits_1^a\dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln f(a)-\ln f(1)=\ln f(a)-\ln8$이다.
주어진 등식에 대입하면 $\ln f(a)-3\ln2=2\ln a+\ln(a+1)-\ln2$이다.
따라서 $\ln f(a)=\ln\{4a^2(a+1)\}$이고 $f(a)=4a^2(a+1)$이다.
$f(2)=4\times2^2\times3=48$이다.
다른 풀이: $y=f(x)$로 치환하면 $dy=f'(x)dx$이고 $f'(x)=1/g'(y)$이므로 원래 적분은 $\displaystyle\int\nolimits_8^{f(a)}\dfrac1y\,dy$이다. 역시 같은 결론에 이른다.
정답: ④ $48$
26. 그림과 같이
곡선 $y=\sqrt{(1-2x)\cos x}$ $\left(\dfrac{3\pi}{4}\le x\le\dfrac{5\pi}{4}\right)$와 $x$축 및 두 직선 $x=\dfrac{3\pi}{4}$, $x=\dfrac{5\pi}{4}$로 둘러싸인 부분을 밑면으로 하는 입체도형이 있다.
이 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [3점]
① $\sqrt2\pi-\sqrt2$ ② $\sqrt2\pi-1$ ③ $2\sqrt2\pi-\sqrt2$ ④ $2\sqrt2\pi-1$ ⑤ $2\sqrt2\pi$
풀이
단면의 한 변의 길이는 $\sqrt{(1-2x)\cos x}$이므로 정사각형 단면의 넓이는 $S(x)=(1-2x)\cos x$이다.
따라서 부피 $V$는 $\displaystyle\int\nolimits_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(1-2x)\cos x\,dx$이다.
부분적분법에서 $u=1-2x$, $v'=\cos x$로 놓으면 $u'=-2$, $v=\sin x$이다.
$V=[(1-2x)\sin x]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}+2\displaystyle\int\nolimits_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}\sin x\,dx$
$=\left(1-\dfrac{5\pi}{2}\right)\left(-\dfrac{\sqrt2}2\right)-\left(1-\dfrac{3\pi}{2}\right)\dfrac{\sqrt2}2+2\left[ -\cos x\right]_{\frac{3\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}$
$=2\sqrt2\pi-\sqrt2$이다.
정답: ③ $2\sqrt2\pi-\sqrt2$
27. 실수 $t$에 대하여 원점을 지나고 곡선 $y=\dfrac1{e^x}+e^t$에 접하는 직선의 기울기를 $f(t)$라 하자. $f(a)=-e\sqrt e$를 만족시키는 상수 $a$에 대하여 $f'(a)$의 값은? [3점]
① $-\dfrac13e\sqrt e$ ② $-\dfrac12e\sqrt e$ ③ $-\dfrac23e\sqrt e$ ④ $-\dfrac56e\sqrt e$ ⑤ $-e\sqrt e$
풀이
$y=e^{-x}+e^t$이므로 $\dfrac{dy}{dx}=-e^{-x}$이다.
접점의 좌표를 $(s,e^{-s}+e^t)$라 하면 접선의 방정식은 $y=-e^{-s}(x-s)+e^{-s}+e^t$이다.
이 접선이 원점을 지나므로 $0=se^{-s}+e^{-s}+e^t$에서 $e^t=-(s+1)e^{-s}$이다.
양변을 $s$에 대하여 미분하면 $e^t\dfrac{dt}{ds}=se^{-s}$이다.
접선의 기울기는 $f(t)=-e^{-s}$이므로 $f'(t)\dfrac{dt}{ds}=e^{-s}$이다.
따라서 $f'(t)=\dfrac{e^{-s}}{dt/ds}=\dfrac{e^t}{s}$이다.
$f(a)=-e\sqrt e=-e^{3/2}$에서 $e^{-s}=e^{3/2}$, 즉 $s=-\dfrac32$이다.
$e^a=-(s+1)e^{-s}=\dfrac12e^{3/2}$이므로
$f'(a)=\dfrac{e^a}{s}=\dfrac{\frac12e^{3/2}}{-\frac32}=-\dfrac13e\sqrt e$이다.
정답: ① $-\dfrac13e\sqrt e$
28. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\ge0$이고, $x<0$일 때 $f(x)=-4xe^{4x^2}$이다. 모든 양수 $t$에 대하여 $x$에 대한 방정식 $f(x)=t$의 서로 다른 실근의 개수는 $2$이고, 이 방정식의 두 실근 중 작은 값을 $g(t)$, 큰 값을 $h(t)$라 하자.
두 함수 $g(t)$, $h(t)$는 모든 양수 $t$에 대하여 $2g(t)+h(t)=k$ ($k$는 상수)를 만족시킨다. $\displaystyle\int\nolimits_0^7 f(x)\,dx=e^4-1$일 때, $\dfrac{f(9)}{f(8)}$의 값은? [4점]
① $\dfrac32e^5$ ② $\dfrac43e^7$ ③ $\dfrac54e^9$ ④ $\dfrac65e^{11}$ ⑤ $\dfrac76e^{13}$
풀이
$x<0$에서 $f'(x)=-4e^{4x^2}(1+8x^2)<0$이므로 $f(x)$는 감소한다.
$f(x)=t$가 양수 $t$마다 서로 다른 해를 음수 쪽에 하나, 음수가 아닌 쪽에 하나 가지므로, 양수 값을 갖는 $x\ge0$ 영역에서는 함수가 증가한다. 다만 $0\le x\le k$에서 $f(x)=0$인 구간은 존재할 수 있다.
두 실근은 $g(t)<0<h(t)$이고 $2g(t)+h(t)=k$이므로 $h(t)=k-2g(t)$이다.
음의 반직선에서 $\displaystyle\int f(x)\,dx=-\dfrac12e^{4x^2}+C$이다.
함수 $2g(t)+h(t)=k$와 $t\to0+$을 이용하면 $g(t)\to0-$, $h(t)\to k$이므로 $f(x)=0$인 오른쪽 구간 $[0,k]$ 뒤에 양수 부분이 이어진다. 대응하는 높이가 같은 두 구간은 $x=k-2u$로 연결된다.
$h(t_1)=7$에 대응하는 $g(t_1)<0$에 대하여 $\displaystyle\int\nolimits_0^7 f(x)\,dx=2\int\nolimits_{g(t_1)}^0f(u)\,du=e^{4g(t_1)^2}-1=e^4-1$이다.
$g(t_1)<0$이므로 $g(t_1)=-1$이다. 이때 $t_1=f(-1)=4e^4$, $h(t_1)=7$이므로 $k=2(-1)+7=5$이다.
$h(t)=k-2g(t)$에서 $f(8)=f\left(\dfrac{k-8}{2}\right)=f\left(-\dfrac32\right)$, $f(9)=f\left(\dfrac{k-9}{2}\right)=f(-2)$이다.
$\dfrac{f(9)}{f(8)}=\dfrac{-4(-2)e^{4(-2)^2}}{-4(-\frac32)e^{4(-\frac32)^2}}=\dfrac43e^{16-9}=\dfrac43e^7$이다.
정답: ② $\dfrac43e^7$
미적분 단답형
29. 첫째항과 공비가 각각 $0$이 아닌 두 등비수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여 두 급수 $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$이 각각 수렴하고
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n=\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\right)\times\left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n\right)$
$\displaystyle 3\times\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{2n}|=7\times\sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_{3n}|$
이 성립한다. $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{b_{2n-1}+b_{3n+1}}{b_n}=S$일 때, $120S$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
$a_n=ar^{n-1}$, $b_n=bs^{n-1}$ ($a,b,r,s\ne0$)라 하면 수렴 조건으로 $|r|<1$, $|s|<1$이다.
$\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_nb_n=\dfrac{ab}{1-rs}$, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=\dfrac a{1-r}$, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n=\dfrac b{1-s}$이므로
$1-rs=(1-r)(1-s)$에서 $r+s=2rs$이다. ①
$r>0$인 경우 $3\dfrac{|a_2|}{1-r^2}=7\dfrac{|a_3|}{1-r^3}$에서 $3/(1-r^2)=7r/(1-r^3)$이다.
$4r^3-7r+3=(r-1)(2r-1)(2r+3)=0$이므로 수렴 가능한 후보는 $r=\dfrac12$이다. 그러나 $r+s=2rs$에 대입하면 $\dfrac12+s=s$, 즉 모순이다.
$r<0$인 경우 $\displaystyle3\dfrac{|a_2|}{1-r^2}=7\dfrac{|a_3|}{1+r^3}$이다.
$-\dfrac3{1-r^2}=\dfrac{7r}{1+r^3}$에서 $4r^3-7r-3=(r+1)(2r-3)(2r+1)=0$이다.
$|r|<1$에서 $r=-\dfrac12$이고, ①에 대입하여 $-\dfrac12+s=-s$이므로 $s=\dfrac14$이다.
따라서 $b_n=b\left(\dfrac14\right)^{n-1}$이다.
$\dfrac{b_{2n-1}}{b_n}=\left(\dfrac14\right)^{n-1}$이고 $\dfrac{b_{3n+1}}{b_n}=\left(\dfrac14\right)^{2n+1}$이다.
$S=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left\{\left(\dfrac14\right)^{n-1}+\left(\dfrac14\right)^{2n+1}\right\}=\dfrac1{1-\frac14}+\dfrac{\frac1{64}}{1-\frac1{16}}=\dfrac43+\dfrac1{60}=\dfrac{27}{20}$이다.
$120S=120\times\dfrac{27}{20}=162$이다.
정답: $162$
30. 실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(x)$가 $f'(x)=|\sin x|\cos x$이다. 양수 $a$에 대하여 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(a,f(a))$에서의 접선의 방정식을 $y=g(x)$라 하자. 함수
$h(x)=\displaystyle\int\nolimits_0^x\{f(t)-g(t)\}\,dt$
가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되도록 하는 모든 양수 $a$를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때, $n$번째 수를 $a_n$이라 하자. $\dfrac{100}{\pi}(a_6-a_2)$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
$f'(x)=|\sin x|\cos x=\begin{cases}\dfrac12\sin2x&(\sin x\ge0)\\-\dfrac12\sin2x&(\sin x<0)\end{cases}$이다.
$f'(x)$의 그래프는 $0\le x\le2\pi$에서 $\sin2x$를 부호에 따라 위아래로 반사시킨 형태이다.
$h'(x)=f(x)-g(x)$이고 $g(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$이므로 $h'(a)=0$이다.
$h(x)$가 $x=a$에서 극대 또는 극소가 되려면 $x=a$를 기준으로 $h'(x)$의 부호가 바뀌어야 한다.
$f$의 그래프가 접선 $y=g(x)$을 사이에 두고 위아래로 바뀌어야 하므로 $f$의 변곡점에 해당하는 접점 및 $f'$의 첨점에서의 부호 변화도 조사한다.
$f'$의 부호와 증가·감소 변화를 $0\le x\le2\pi$에서 분석하면 이에 해당하는 양수 $a$는 $\dfrac\pi4$, $\dfrac{3\pi}4$, $\pi$, $\dfrac{5\pi}4$, $\dfrac{7\pi}4$, $2\pi$이다.
따라서 $a_2=\dfrac{3\pi}4$, $a_6=2\pi$이다.
$\dfrac{100}{\pi}(a_6-a_2)=\dfrac{100}{\pi}\left(2\pi-\dfrac{3\pi}4\right)=125$이다.
정답: $125$