선택과목: 확률과 통계
확률과 통계 5지선다형
23. $5$개의 문자 $x,x,y,y,z$를 모두 일렬로 나열하는 경우의 수는? [2점]
① $10$ ② $20$ ③ $30$ ④ $40$ ⑤ $50$
풀이
같은 문자가 $x$ 두 개, $y$ 두 개이므로 서로 다른 나열의 수는
$\dfrac{5!}{2!\times2!}=\dfrac{120}{4}=30$이다.
정답: ③ $30$
24. 두 사건 $A$, $B$는 서로 독립이고
$\mathrm P(A\cap B)=\dfrac14,\qquad\mathrm P(A^C)=2\mathrm P(A)$
일 때, $\mathrm P(B)$의 값은? (단, $A^C$은 $A$의 여사건이다.) [3점]
① $\dfrac38$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac58$ ④ $\dfrac34$ ⑤ $\dfrac78$
풀이
$\mathrm P(A^C)=1-\mathrm P(A)=2\mathrm P(A)$이므로 $\mathrm P(A)=\dfrac13$이다.
$A$, $B$가 독립이므로 $\mathrm P(A\cap B)=\mathrm P(A)\mathrm P(B)=\dfrac14$이다.
$\dfrac13\mathrm P(B)=\dfrac14$에서 $\mathrm P(B)=\dfrac34$이다.
정답: ④ $\dfrac34$
25. 숫자 $1,2,3,4,5,6$이 하나씩 적혀 있는 $6$장의 카드가 있다.
이 $6$장의 카드를 모두 한 번씩 사용하여 일렬로 임의로 나열할 때, 양 끝에 놓인 카드에 적힌 두 수의 합이 $10$ 이하가 되도록 카드가 놓일 확률은? [3점]
① $\dfrac8{15}$ ② $\dfrac{19}{30}$ ③ $\dfrac{11}{15}$ ④ $\dfrac56$ ⑤ $\dfrac{14}{15}$
풀이
양 끝에 놓인 카드의 두 수의 합이 $10$보다 큰 경우는 $5+6=11$인 경우뿐이다.
전체 나열은 $6!$가지이다. 이 사건의 여사건은 양 끝이 $5,6$인 경우로 $2!\times4!$가지이다.
따라서 여사건의 확률은 $\dfrac{2!\times4!}{6!}=\dfrac1{15}$이다.
구하는 확률은 $1-\dfrac1{15}=\dfrac{14}{15}$이다.
정답: ⑤ $\dfrac{14}{15}$
26. $4$개의 동전을 동시에 던져서 앞면이 나오는 동전의 개수를 확률변수 $X$라 하고, 이산확률변수 $Y$를
$Y=\begin{cases}X&(X\text{가 }0\text{ 또는 }1\text{의 값을 가지는 경우})\\2&(X\text{가 }2\text{ 이상의 값을 가지는 경우})\end{cases}$
라 하자. $\mathrm E(Y)$의 값은? [3점]
① $\dfrac{25}{16}$ ② $\dfrac{13}{8}$ ③ $\dfrac{27}{16}$ ④ $\dfrac74$ ⑤ $\dfrac{29}{16}$
풀이
$\mathrm P(Y=0)=\mathrm P(X=0)=\binom40\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac1{16}$이다.
$\mathrm P(Y=1)=\mathrm P(X=1)=\binom41\left(\dfrac12\right)^4=\dfrac14$이다.
$\mathrm P(Y=2)=1-\dfrac1{16}-\dfrac14=\dfrac{11}{16}$이다.
$\mathrm E(Y)=0\times\dfrac1{16}+1\times\dfrac14+2\times\dfrac{11}{16}=\dfrac{13}{8}$이다.
정답: ② $\dfrac{13}{8}$
27. 정규분포 $\mathrm N(m,5^2)$을 따르는 모집단에서 크기가 $49$인 표본을 임의추출하여 얻은 표본평균이 $\overline x$일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $a\le m\le\dfrac65a$이다. $\overline x$의 값은? (단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm P(|Z|\le1.96)=0.95$로 계산한다.) [3점]
① $15.2$ ② $15.4$ ③ $15.6$ ④ $15.8$ ⑤ $16.0$
풀이
모표준편차는 $5$, 표본크기는 $49$이므로 모평균에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간은
$\overline x-1.96\times\dfrac5{\sqrt{49}}\le m\le\overline x+1.96\times\dfrac5{\sqrt{49}}$이다.
$1.96\times\dfrac57=1.4$이므로 구간은 $[\overline x-1.4,\overline x+1.4]$이다.
$a=\overline x-1.4$, $\dfrac65a=\overline x+1.4$이므로 $\dfrac15a=2.8$, $a=14$이다.
$\overline x=a+1.4=15.4$이다.
정답: ② $15.4$
28. 하나의 주머니와 두 상자 $\mathrm A$, $\mathrm B$가 있다.
주머니에는 숫자 $1,2,3,4$가 하나씩 적힌 $4$장의 카드가 들어 있고, 상자 $\mathrm A$에는 흰 공과 검은 공이 각각 $8$개 이상 들어 있고, 상자 $\mathrm B$는 비어 있다. 이 주머니와 두 상자 $\mathrm A$, $\mathrm B$를 사용하여 다음 시행을 한다.
주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 카드에 적힌 수를 확인한 후 다시 주머니에 넣는다. 확인한 수가 $1$이면 상자 $\mathrm A$에 있는 흰 공 $1$개를 상자 $\mathrm B$에 넣고, 확인한 수가 $2$ 또는 $3$이면 상자 $\mathrm A$에 있는 흰 공 $1$개와 검은 공 $1$개를 상자 $\mathrm B$에 넣고, 확인한 수가 $4$이면 상자 $\mathrm A$에 있는 흰 공 $2$개와 검은 공 $1$개를 상자 $\mathrm B$에 넣는다.
이 시행을 $4$번 반복한 후 상자 $\mathrm B$에 들어 있는 공의 개수가 $8$일 때, 상자 $\mathrm B$에 들어 있는 검은 공의 개수가 $2$일 확률은? [4점]
① $\dfrac3{70}$ ② $\dfrac2{35}$ ③ $\dfrac1{14}$ ④ $\dfrac3{35}$ ⑤ $\dfrac1{10}$
풀이
$E$를 네 번의 시행 후 상자 $\mathrm B$에 공이 $8$개 있는 사건, $F$를 검은 공이 $2$개 있는 사건이라 하면 구하는 조건부확률은 $\mathrm P(F\mid E)=\dfrac{\mathrm P(E\cap F)}{\mathrm P(E)}$이다.
한 시행에서 옮기는 공의 개수는 숫자 $1$일 때 $1$개, $2,3$일 때 $2$개, $4$일 때 $3$개이다.
네 번의 합이 $8$인 경우는 $(3,3,1,1)$, $(3,2,2,1)$, $(2,2,2,2)$를 순서와 관계없이 택한 세 경우이다.
$(i)$ $(3,3,1,1)$: 숫자 $4$ 카드 $2$장과 $1$ 카드 $2$장이 필요하여 경우의 수가 $\dfrac{4!}{2!2!}=6$이므로 확률은 $6\left(\dfrac14\right)^4$이다. 검은 공은 $2$개이다.
$(ii)$ $(3,2,2,1)$: 숫자 $4$ 카드 $1$장, 숫자 $1$ 카드 $1$장, 숫자 $2$ 또는 $3$ 카드 $2$장이 필요하므로 가중 경우의 수는 $\dfrac{4!}{2!}\times2^2=48$이고, 확률은 $48\left(\dfrac14\right)^4$이다. 검은 공은 $3$개이다.
$(iii)$ $(2,2,2,2)$: 매번 숫자 $2$ 또는 $3$ 카드이므로 경우의 수는 $2^4=16$이고, 확률은 $16\left(\dfrac14\right)^4$이다. 검은 공은 $4$개이다.
따라서 $\mathrm P(E)=(6+48+16)\left(\dfrac14\right)^4=70\left(\dfrac14\right)^4$이다.
$E\cap F$는 $(i)$에 해당하므로 $\mathrm P(E\cap F)=6\left(\dfrac14\right)^4$이다.
$\mathrm P(F\mid E)=\dfrac6{70}=\dfrac3{35}$이다.
정답: ④ $\dfrac3{35}$
확률과 통계 단답형
29. 다음 조건을 만족시키는 $6$ 이하의 자연수 $a,b,c,d$의 모든 순서쌍 $(a,b,c,d)$의 개수를 구하시오. [4점]
$a\le c\le d$이고 $b\le c\le d$이다.
풀이
$(i)$ $a\le b\le c\le d$인 순서쌍: $1,2,3,4,5,6$에서 중복을 허락하여 네 수를 고른 다음 크지 않은 순서대로 놓는 것이므로
$\displaystyle {}_6\mathrm H_4=\binom{6+4-1}{4}=\binom94=126$이다.
$(ii)$ $b\le a\le c\le d$인 순서쌍도 같은 방법으로 $126$개이다.
$(iii)$ 두 경우에 공통으로 포함되는 $a=b\le c\le d$인 순서쌍은 중복을 허락하여 세 수를 고르는 것이므로
$\displaystyle {}_6\mathrm H_3=\binom{6+3-1}{3}=\binom83=56$개이다.
따라서 포함배제원리에 의하여 총 $126+126-56=196$개이다.
다른 방법으로 $(ii)$에서 $b<a\le c\le d$로 제한하면 $b=1,2,3,4,5$일 때의 경우의 수는 차례로 $\binom73,\binom63,\binom53,\binom43,\binom33$, 즉 $35+20+10+4+1=70$이다.
따라서 $(i)$의 $126$개와 더하여 $196$개임을 다시 확인할 수 있다.
정답: $196$
30. 양수 $t$에 대하여 확률변수 $X$가 정규분포 $\mathrm N(1,t^2)$을 따른다.
$\mathrm P(X\le5t)\ge\dfrac12$이 되도록 하는 모든 양수 $t$에 대하여 $\mathrm P(t^2-t+1\le X\le t^2+t+1)$의 최댓값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 값을 $k$라 하자. $1000\times k$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
$X$의 평균이 $1$이고 정규분포는 평균을 중심으로 대칭이므로 $\mathrm P(X\le5t)\ge\dfrac12$는 $5t\ge1$과 동치이다. 따라서 $t\ge\dfrac15$이다.
$Z=\dfrac{X-1}{t}$로 표준화하면 $Z\sim\mathrm N(0,1)$이다.
$\mathrm P(t^2-t+1\le X\le t^2+t+1)=\mathrm P(t-1\le Z\le t+1)$이다.
구간 $[t-1,t+1]$의 길이는 $2$로 일정하고, 정규분포의 밀도는 $0$에서 멀어질수록 작아지므로 $t>0$가 작을수록 확률이 크다.
따라서 $t\ge\dfrac15$에서 최댓값은 $t=\dfrac15$일 때 얻는다.
$k=\mathrm P(-0.8\le Z\le1.2)=\mathrm P(0\le Z\le0.8)+\mathrm P(0\le Z\le1.2)$이다.
문제에 주어진 표를 이용하면 $k=0.288+0.385=0.673$이므로 $1000k=673$이다.
정답: $673$