공통과목 단답형
16. 방정식 $3^{x-8}=\left(\dfrac1{27}\right)^x$을 만족시키는 실수 $x$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$\left(\dfrac1{27}\right)^x=(3^{-3})^x=3^{-3x}$이다.
$3^{x-8}=3^{-3x}$에서 $x-8=-3x$, 따라서 $4x=8$, $x=2$이다.
정답: $2$
17. 함수 $f(x)=(x+1)(x^2+3)$에 대하여 $f'(1)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
곱의 미분법을 적용하면 $f'(x)=(x^2+3)+(x+1)\cdot2x$이다.
$f'(1)=(1+3)+(1+1)\times2=8$이다.
정답: $8$
18. 두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}a_k=\sum\limits_{k=1}^{10}(2b_k-1),\qquad\sum\limits_{k=1}^{10}(3a_k+b_k)=33$
일 때, $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}b_k$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}a_k=2\sum\limits_{k=1}^{10}b_k-10$이다.
$3\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}a_k+\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=33$에서 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=33-3\sum\limits_{k=1}^{10}a_k$이다.
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=33-3\left(2\sum\limits_{k=1}^{10}b_k-10\right)=63-6\sum\limits_{k=1}^{10}b_k$이므로
$7\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=63$, 따라서 $\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10}b_k=9$이다.
정답: $9$
19. 함수 $f(x)=\sin\dfrac\pi4 x$라 할 때, $0<x<16$에서 부등식
$f(2+x)f(2-x)<\dfrac14$
을 만족시키는 모든 자연수 $x$의 값의 합을 구하시오. [3점]
풀이
$f(2+x)=\sin\left(\dfrac\pi2+\dfrac\pi4x\right)=\cos\dfrac\pi4x$이고 $f(2-x)=\cos\dfrac\pi4x$이다.
주어진 부등식은 $\cos^2\dfrac\pi4x<\dfrac14$, 즉 $-\dfrac12<\cos\dfrac\pi4x<\dfrac12$이다.
$0<x<16$에서 $0<\dfrac\pi4x<4\pi$이므로
$\dfrac\pi3<\dfrac\pi4x<\dfrac{2\pi}3$, $\dfrac{4\pi}3<\dfrac\pi4x<\dfrac{5\pi}3$, $\dfrac{7\pi}3<\dfrac\pi4x<\dfrac{8\pi}3$, $\dfrac{10\pi}3<\dfrac\pi4x<\dfrac{11\pi}3$이다.
$x$의 범위로 바꾸면 $\dfrac43<x<\dfrac83$, $\dfrac{16}3<x<\dfrac{20}3$, $\dfrac{28}3<x<\dfrac{32}3$, $\dfrac{40}3<x<\dfrac{44}3$이다.
만족시키는 자연수 $x$는 $2,6,10,14$이고 합은 $32$이다.
정답: $32$
20. $a>\sqrt2$인 실수 $a$에 대하여 함수 $f(x)$를 $f(x)=-x^3+ax^2+2x$라 하자. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm O(0,0)$에서의 접선이 곡선 $y=f(x)$와 만나는 점 중 $\mathrm O$가 아닌 점을 $\mathrm A$라 하고, 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $\mathrm A$에서의 접선이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm B$라 하자. 점 $\mathrm A$가 선분 $\mathrm{OB}$를 지름으로 하는 원 위의 점일 때, $\overline{\mathrm{OA}}\times\overline{\mathrm{AB}}$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
$f'(x)=-3x^2+2ax+2$이므로 $f'(0)=2$이고 원점에서의 접선은 $y=2x$이다.
$f(x)=2x$에서 $-x^3+ax^2=0$, 즉 $x^2(x-a)=0$이다. $\mathrm A$는 원점이 아니므로 $\mathrm A(a,2a)$이다.
$\mathrm A$가 $\overline{\mathrm{OB}}$를 지름으로 하는 원 위에 있으므로 $\angle\mathrm{OAB}=\dfrac\pi2$이다. 따라서 직선 $\mathrm{OA}$와 점 $\mathrm A$에서의 접선 $\mathrm{AB}$는 수직이다.
$\mathrm{OA}$의 기울기는 $2$, $f'(a)=2-a^2$이므로 $2(2-a^2)=-1$이다.
$a^2=\dfrac52$이고 $a>\sqrt2$이므로 $a=\dfrac{\sqrt{10}}2$이다.
$\mathrm A\left(\dfrac{\sqrt{10}}2,\sqrt{10}\right)$에서의 접선의 기울기는 $-\dfrac12$이므로 $y=-\dfrac12\left(x-\dfrac{\sqrt{10}}2\right)+\sqrt{10}$이다.
$y=0$에서 $x=\dfrac{5\sqrt{10}}2$이므로 $\mathrm B\left(\dfrac{5\sqrt{10}}2,0\right)$이다.
$\overline{\mathrm{OA}}=\sqrt{\left(\frac{\sqrt{10}}2\right)^2+(\sqrt{10})^2}=\dfrac{5\sqrt2}2$이다.
$\overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{\left(\frac{5\sqrt{10}}2-\frac{\sqrt{10}}2\right)^2+(\sqrt{10})^2}=5\sqrt2$이다.
$\overline{\mathrm{OA}}\times\overline{\mathrm{AB}}=\dfrac{5\sqrt2}2\times5\sqrt2=25$이다.
정답: $25$
21. 양수 $a$에 대하여 $x\ge-1$에서 정의된 함수 $f(x)$는
$f(x)=\begin{cases}-x^2+6x&(-1\le x<6)\\a\log_4(x-5)&(x\ge6)\end{cases}$
이다. $t\ge0$인 실수 $t$에 대하여 닫힌구간 $[t-1,t+1]$에서의 $f(x)$의 최댓값을 $g(t)$라 하자. 구간 $[0,\infty)$에서 함수 $g(t)$의 최솟값이 $5$가 되도록 하는 양수 $a$의 최솟값을 구하시오. [4점]
풀이
$t=0$이면 $[-1,1]$에서 $f(x)=-x^2+6x$는 증가하여 $g(0)=f(1)=5$이다.
$0\le t\le2$인 경우 $[t-1,t+1]$은 $x=1$을 포함하므로 $g(t)\ge f(1)=5$이다.
$2\le t\le4$인 경우 이 구간은 $x=3$을 포함하므로 $g(t)\ge f(3)=9$이다.
$4\le t\le6$인 경우 이 구간은 $x=5$를 포함하므로 $g(t)\ge f(5)=5$이다.
$t>6$일 때 $x\ge6$에서의 함수는 $f(x)=a\log_4(x-5)$이고 증가하므로, 주어진 구간에서의 이 부분 최댓값은 $f(t+1)=a\log_4(t-4)$이다.
$t\to6+$에서 $[t-1,t+1]$에 포함되는 $x<6$ 부분의 최댓값은 $f(t-1)<5$에서 $5$로 가까워지며, $x\ge6$ 부분의 최댓값은 $f(t+1)\to f(7)=a\log_4 2=\dfrac a2$이다.
따라서 모든 $t>6$에서 $g(t)\ge5$가 되려면 $f(7)\ge5$, 즉 $\dfrac a2\ge5$이므로 $a\ge10$이다.
$a=10$이면 모든 $t>6$에서 $g(t)\ge f(t+1)>f(7)=5$이고, $0\le t\le6$에서도 위의 세 경우에 의하여 $g(t)\ge5$이다.
$g(0)=5$이므로 실제로 $g$의 최솟값은 $5$이고, 양수 $a$의 최솟값은 $10$이다.
정답: $10$
22. 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
함수 $f(x)$에 대하여 $f(k-1)f(k+1)<0$ 을 만족시키는 정수 $k$는 존재하지 않는다.
$f'\left(-\dfrac14\right)=-\dfrac14$, $f'\left(\dfrac14\right)<0$일 때, $f(8)$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
문제의 조건은 모든 정수 $k$에 대하여 $f(k-1)f(k+1)\ge0$임을 뜻한다.
$(i)$ $f(x)=0$이 서로 다른 실근을 하나만 가진 경우: 삼차함수는 단근 또는 삼중근에서 부호가 바뀐다. 그 실근을 사이에 두는 두 정수의 간격 $2$를 선택하면 곱이 음수가 되어 조건에 어긋난다.
$(ii)$ $f(x)=0$이 서로 다른 실근을 두 개 갖는 경우에는 단근 $a$와 중근 $b$를 갖거나 중근 $a$와 단근 $b$를 갖는다. ($a<b$)
(ii-①) $f(x)=(x-a)(x-b)^2$일 때,
단근 $a$보다 작은 정수 중 최댓값을 $m$이라 한다. 이때 $f(m-1)<0$, $f(m)<0$, $f(m+1)\ge0$, $f(m+2)\ge0$이다.
$f(m-1)f(m+1)\ge0$, $f(m)f(m+2)\ge0$에서 $f(m+1)=f(m+2)=0$이 필요하므로 $a=m+1$, $b=m+2$이다.
$f'(\frac14)<0$이므로 $m+1<\dfrac14<m+2$이다. 정수 $m=-1$이므로 $f(x)=x(x-1)^2$이다.
그러나 이 경우 $f'(-\frac14)>0$이므로 $f'(-\frac14)=-\dfrac14$과 모순이다.
(ii-②) $f(x)=(x-a)^2(x-b)$일 때
단근 $b$를 지나는 정수 간격의 부호 조건을 같은 방법으로 적용하면 $a=m+1$, $b=m+2$이다. $f'(\frac14)<0$에서 $m+1<\dfrac14<m+2$이므로 $m=-1$이고 $f(x)=x^2(x-1)$이다. 하지만 이 경우에도 $f'(-\frac14)>0$으로 미분 조건에 어긋난다.
(iii) 서로 다른 실근이 세 개인 경우 $f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)$ ($a<b<c$)이다.
$b<n<c$인 정수 $n$이 있으면 $f(n)f(n+2)<0$인 경우가 발생하므로 그러한 정수는 없어야 한다.
따라서 $a$보다 작은 정수 중 가장 큰 값을 $m$이라 하면 $f(m-1)<0$, $f(m)<0$, $f(m+1)\ge0$, $f(m+2)\ge0$이어야 하고, 조건에서 $b=m+1$, $c=m+2$가 따른다.
$f'(\frac14)<0$이므로 $a<\dfrac14<m+1$ 또는 $m+1<\dfrac14<m+2$의 두 경우가 있다.
(iii-①) $a<\dfrac14<m+1$이면 $m=0$이고 $b=1$, $c=2$이다. $f(x)=(x-a)(x-1)(x-2)$이며 $0<a<\dfrac14$이다. 이때 $f'(-\frac14)>0$이므로 불가능하다.
(iii-②) $m+1<\dfrac14<m+2$이면 $m=-1$이고 $b=0$, $c=1$이다. $f(x)=(x-a)x(x-1)=(x-a)(x^2-x)$이다.
$f'(x)=(x^2-x)+(x-a)(2x-1)$이므로 $f'(-\frac14)=\dfrac5{16}+(-\dfrac14-a)(-\dfrac32)=\dfrac{11}{16}+\dfrac32a$이다.
$\dfrac{11}{16}+\dfrac32a=-\dfrac14$에서 $a=-\dfrac58$이다.
따라서 $f'(\frac14)=-\dfrac3{16}+(\dfrac14+\dfrac58)(-\dfrac12)=-\dfrac58<0$으로 조건을 만족한다.
$f(x)=\left(x+\dfrac58\right)(x^2-x)$이므로 $f(8)=\dfrac{69}8\times56=483$이다.
정답: $483$