단답형
22. 다항식 $(3x+1)^8$의 전개식에서 $x$의 계수를 구하시오. [3점]
풀이
이항정리에 따른 일반항은 ${}_8C_r(3x)^r={}_8C_r3^rx^r$이다.
$x$의 항은 $r=1$인 항이므로 계수는 ${}_8C_1\times3=8\times3=24$이다.
정답: $24$
23. 함수 $f(x)$에 대하여 $f'(x)=3x^2+4x+5$이고 $f(0)=4$일 때, $f(1)$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$f'(x)=3x^2+4x+5$를 적분하면 $f(x)=x^3+2x^2+5x+C$이다.
$f(0)=4$이므로 $C=4$이고, $f(1)=1+2+5+4=12$이다.
정답: $12$
24. $\log_3 72-\log_3 8$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
로그의 성질을 이용하면 $\log_3 72-\log_3 8=\log_3\dfrac{72}{8}=\log_3 9=2$이다.
정답: $2$
25. 곡선 $y=4x^3-12x+7$과 직선 $y=k$가 만나는 점의 개수가 $2$가 되도록 하는 양수 $k$의 값을 구하시오. [3점]
풀이
$y'=12x^2-12=12(x-1)(x+1)$이므로 극값을 갖는 $x$는 $-1,1$이다.
$x=-1$에서 극댓값 $15$, $x=1$에서 극솟값 $-1$을 갖는다.
수평선 $y=k$가 삼차함수와 서로 다른 두 점에서 만나는 경우는 극댓값 또는 극솟값의 높이에서 한 점이 접할 때이다. 따라서 $k=15$ 또는 $k=-1$이며, $k>0$이므로 $k=15$이다.
정답: $15$
26. 함수 $f(x)$가 다음과 같다.
$f(x)=\begin{cases}-3x+a&(x\le1)\\\dfrac{x+b}{\sqrt{x+3}-2}&(x>1)\end{cases}$
이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 상수이다.) [4점]
풀이
실수 전체에서 연속이려면 $x=1$에서 좌극한, 우극한, 함숫값이 같아야 한다. 왼쪽의 함숫값은 $f(1)=a-3$이다.
$\displaystyle\lim\limits_{x\to1+}\dfrac{x+b}{\sqrt{x+3}-2}=a-3$가 유한하려면 분모가 $0$으로 갈 때 분자도 $0$으로 가야 하므로 $1+b=0$, 즉 $b=-1$이다.
분모를 유리화하면
$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{x\to1+}\dfrac{x-1}{\sqrt{x+3}-2}&=\displaystyle\lim\limits_{x\to1+}\dfrac{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}{(x+3)-4}\\&=\displaystyle\lim\limits_{x\to1+}(\sqrt{x+3}+2)=4\end{aligned}$
$a-3=4$에서 $a=7$이므로 $a+b=7-1=6$이다.
정답: $6$
27. 곡선 $y=x^2-7x+10$과 직선 $y=-x+10$으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하시오. [4점]
풀이
두 곡선의 교점은 $x^2-7x+10=-x+10$에서 $x(x-6)=0$이므로 $x=0,6$이다.
$0<x<6$에서 직선이 포물선보다 위에 있으므로
$\begin{aligned}S&=\displaystyle\int\nolimits_0^6\bigl\{(-x+10)-(x^2-7x+10)\bigr\}\,dx\\&=\displaystyle\int\nolimits_0^6(-x^2+6x)\,dx\\&=\left[-\dfrac{x^3}3+3x^2\right]_0^6\\&=-72+108=36\end{aligned}$
정답: $36$
28. $\angle A=\dfrac\pi3$이고 $\overline{AB}:\overline{AC}=3:1$인 삼각형 ABC가 있다.
삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이가 $7$일 때, 선분 AC의 길이를 $k$라 하자. $k^2$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
사인법칙을 적용하면 $\dfrac{\overline{BC}}{\sin(\pi/3)}=2\times7$이므로 $\overline{BC}=7\sqrt3$이다.
$\overline{AC}=k>0$이면 $\overline{AB}=3k$이고, 코사인법칙에 따라
$\begin{aligned}\overline{BC}^{\,2}&=\overline{AB}^{\,2}+\overline{AC}^{\,2}-2\overline{AB}\cdot\overline{AC}\cos\dfrac\pi3\\&=9k^2+k^2-3k^2=7k^2\end{aligned}$
따라서 $7k^2=(7\sqrt3)^2=147$이므로 $k^2=21$이다.
정답: $21$
29. 숫자 $3,3,4,4,4$가 하나씩 적힌 $5$개의 공이 들어 있는 주머니가 있다. 이 주머니와 한 개의 주사위를 사용하여 다음 규칙에 따라 점수를 얻는 시행을 한다.
주머니에서 임의로 한 개의 공을 꺼내어
꺼낸 공에 적힌 수가 $3$이면 주사위를 $3$번 던져서 나오는
세 눈의 수의 합을 점수로 하고,
꺼낸 공에 적힌 수가 $4$이면 주사위를 $4$번 던져서 나오는
네 눈의 수의 합을 점수로 한다.
이 시행을 한 번 하여 얻은 점수가 $10$점일 확률은 $\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]
풀이
공에 $3$이 적혀 있을 확률은 $\dfrac25$, $4$가 적혀 있을 확률은 $\dfrac35$이다.
(ⅰ) $3$을 뽑아 주사위를 세 번 던져 합이 $10$이 되는 눈의 조합은 $(6,3,1)$, $(6,2,2)$, $(5,4,1)$, $(5,3,2)$, $(4,4,2)$, $(4,3,3)$이다.
순서 있는 경우의 수는 $3!+\dfrac{3!}{2!}+3!+3!+\dfrac{3!}{2!}+\dfrac{3!}{2!}=27$이므로 이때의 확률은 $\dfrac25\times\dfrac{27}{6^3}=\dfrac1{20}$이다.
(ⅱ) $4$를 뽑아 주사위를 네 번 던져 합이 $10$이 되는 눈의 조합은 $(6,2,1,1)$, $(5,3,1,1)$, $(5,2,2,1)$, $(4,4,1,1)$, $(4,3,2,1)$, $(4,2,2,2)$, $(3,3,3,1)$, $(3,3,2,2)$이다.
순서 있는 경우의 수는 $\dfrac{4!}{2!}+\dfrac{4!}{2!}+\dfrac{4!}{2!}+\dfrac{4!}{2!2!}+4!+\dfrac{4!}{3!}+\dfrac{4!}{3!}+\dfrac{4!}{2!2!}=80$이다.
따라서 이때의 확률은 $\dfrac35\times\dfrac{80}{6^4}=\dfrac1{27}$이다.
전체 확률은 $\dfrac1{20}+\dfrac1{27}=\dfrac{47}{540}$이다. $p=540$, $q=47$은 서로소이므로 $p+q=587$이다.
정답: $587$
30. 함수 $f(x)$는 최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수이고, 함수 $g(x)$는 일차함수이다. 함수 $h(x)$를
$h(x)=\begin{cases}|f(x)-g(x)|&(x<1)\\f(x)+g(x)&(x\ge1)\end{cases}$
이라 하자. 함수 $h(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, $h(0)=0$, $h(2)=5$일 때, $h(4)$의 값을 구하시오. [4점]
풀이
$h(0)=|f(0)-g(0)|=0$이므로 $f(0)=g(0)$이다. $x=0$에서 $|f(x)-g(x)|$가 미분가능하고 최솟값 $0$을 가지므로 도함수는 $0$이다. 따라서 $f'(0)=g'(0)$이다.
$x=1$에서 연속이고 미분가능해야 하므로 좌우 함수값과 좌우 미분계수가 같다. $x=1$의 왼쪽에서 $f(x)-g(x)>0$이라면 미분계수의 일치로 $g'(1)=0$이 되어 $g$가 일차함수라는 조건에 모순된다.
$x=1$ 왼쪽에서 $f(x)-g(x)<0$이면 연속 조건에서 $-f(1)+g(1)=f(1)+g(1)$이므로 $f(1)=0$이다. 미분계수의 일치에서 $-f'(1)+g'(1)=f'(1)+g'(1)$이므로 $f'(1)=0$이다.
만약 $f(1)-g(1)=0$이면 연속성에 따라 $f(1)=g(1)=0$이다. $f-g$는 $x=0$을 중근으로 갖는 최고차항 계수 $1$인 삼차식이므로 이 경우 $f(x)-g(x)=x^2(x-1)$이다. $x=1$에서 미분계수를 맞추면 $g'(1)=-1$, $g(1)=0$이므로 $g(x)=1-x$이고, $h(2)=2\ne5$이다. 따라서 이 경우는 불가능하다.
결국 $f(1)=f'(1)=0$이므로 $f(x)=(x-1)^2(x+c)$, $g(x)=px+q$ ($p\ne0$)로 놓을 수 있다.
$\begin{aligned}f(0)&=c,\quad f'(0)=1-2c\\g(0)&=q,\quad g'(0)=p\end{aligned}$
$f(0)=g(0)$, $f'(0)=g'(0)$에서 $q=c$, $p=1-2c$이다.
$h(2)=f(2)+g(2)=(2+c)+2p+q=5$이므로
$\begin{aligned}2+c+2(1-2c)+c&=5\\4-2c&=5\\c&=-\dfrac12\end{aligned}$
따라서 $p=2$, $q=-\dfrac12$이고 $f(x)=(x-1)^2\left(x-\dfrac12\right)$, $g(x)=2x-\dfrac12$이다.
$\begin{aligned}h(4)&=f(4)+g(4)\\&=3^2\left(4-\dfrac12\right)+8-\dfrac12\\&=\dfrac{63}{2}+\dfrac{15}{2}=39\end{aligned}$
정답: $39$