15. 세 학생 A, B, C를 포함한 $6$명의 학생이 있다. 이 $6$명의 학생이 일정한 간격을 두고 원 모양의 탁자에 다음 조건을 만족시키도록 모두 둘러앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) [4점]
(가) A와 B는 이웃한다.
(나) B와 C는 이웃하지 않는다.
① $32$ ② $34$ ③ $36$ ④ $38$ ⑤ $40$
풀이
A와 B를 하나의 묶음으로 생각하면 그 묶음과 나머지 네 학생으로 총 $5$개의 대상을 원형으로 배열한다. 묶음 내부 순서를 고려한 경우의 수는 $(5-1)!\times2!=48$이다.
이 중 B와 C가 이웃하는 경우는 세 명이 $CBA$ 또는 $ABC$처럼 B가 가운데 있는 연속 묶음을 이루는 경우이다. 따라서 이 경우의 수는 $(4-1)!\times2=12$이다.
구하는 경우의 수는 $48-12=36$이다.
정답: ③ $36$
16. $0\le x<4\pi$일 때, 방정식 $4\sin^2x-4\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)-3=0$의 모든 해의 합은? [4점]
① $5\pi$ ② $6\pi$ ③ $7\pi$ ④ $8\pi$ ⑤ $9\pi$
풀이
$\cos\left(\dfrac\pi2+x\right)=-\sin x$이므로
$\begin{aligned}4\sin^2x+4\sin x-3&=0\\(2\sin x-1)(2\sin x+3)&=0\end{aligned}$
$-1\le\sin x\le1$이므로 $\sin x=\dfrac12$만 가능하다.
$0\le x<4\pi$에서 해는 $\dfrac\pi6,\dfrac{5\pi}6,\dfrac{13\pi}6,\dfrac{17\pi}6$이고
그 합은 $\dfrac{1+5+13+17}{6}\pi=6\pi$이다.
정답: ② $6\pi$
17. 두 다항함수 $f(x)$, $g(x)$가 $\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)+g(x)}x=3$, $\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)+3}{xg(x)}=2$를 만족시킨다. 함수 $h(x)=f(x)g(x)$에 대하여 $h'(0)$의 값은? [4점]
① $27$ ② $30$ ③ $33$ ④ $36$ ⑤ $39$
풀이
첫째 극한이 유한하므로 $f(0)+g(0)=0$이고, 다항함수의 미분가능성으로 $f'(0)+g'(0)=3$이다.
둘째 극한에서 $xg(x)\to0$이므로 $f(0)+3=0$, 즉 $f(0)=-3$이다. 따라서 $g(0)=3$이다.
$\begin{aligned}2&=\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)+3}{xg(x)}\\&=\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)-f(0)}x\cdot\dfrac1{g(x)}\\&=\dfrac{f'(0)}{g(0)}=\dfrac{f'(0)}3\end{aligned}$
따라서 $f'(0)=6$, $g'(0)=3-6=-3$이다.
$\begin{aligned}h'(0)&=f'(0)g(0)+f(0)g'(0)\\&=6\times3+(-3)\times(-3)=27\end{aligned}$
정답: ① $27$
18. $\dfrac14<a<1$인 실수 $a$에 대하여 직선 $y=1$이 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=\log_{4a}x$와 만나는 점을 각각 A, B라 하고, 직선 $y=-1$이 두 곡선 $y=\log_a x$, $y=\log_{4a}x$와 만나는 점을 각각 C, D라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]
ㄱ. 선분 AB를 $1:4$로 외분하는 점의 좌표는 $(0,1)$이다.
ㄴ. 사각형 ABCD가 직사각형이면 $a=\dfrac12$이다.
ㄷ. $\overline{AB}<\overline{CD}$이면 $\dfrac12<a<1$이다.
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ ④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
풀이
$A(a,1)$, $B(4a,1)$, $C\left(\dfrac1a,-1\right)$, $D\left(\dfrac1{4a},-1\right)$이다.
ㄱ. 선분 AB를 $1:4$로 외분하는 점은 $\left(\dfrac{4a-4a}{1-4},\dfrac{1-4}{1-4}\right)=(0,1)$이므로 참이다.
ㄴ. 직사각형이 되려면 A와 D의 $x$좌표가 같아야 하므로 $a=\dfrac1{4a}$이다. $a>0$에서 $a=\dfrac12$이므로 참이다.
ㄷ. $\overline{AB}=3a$, $\overline{CD}=\dfrac3{4a}$이다. $\overline{AB}<\overline{CD}$이면 $3a<\dfrac3{4a}$, 따라서 $a<\dfrac12$이므로 거짓이다.
옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.
정답: ③ ㄱ, ㄴ
19. 확률변수 $X$는 평균이 $8$, 표준편차가 $3$인 정규분포를 따르고, 확률변수 $Y$는 평균이 $m$, 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다.
두 확률변수 $X$, $Y$가 $P(4\le X\le8)+P(Y\ge8)=\dfrac12$을 만족시킬 때, $P\left(Y\le8+\dfrac{2\sigma}3\right)$의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]
① $0.8351$ ② $0.8413$ ③ $0.9332$ ④ $0.9772$ ⑤ $0.9938$
풀이
$X\sim N(8,3^2)$이므로 $P(4\le X\le8)=P\left(-\dfrac43\le Z\le0\right)=P\left(0\le Z\le\dfrac43\right)$이다.
$P(Y\ge8)=P\left(Z\ge\dfrac{8-m}{\sigma}\right)$이므로 주어진 합이 $\dfrac12$가 되기 위해서는 $\dfrac{8-m}{\sigma}=\dfrac43$이다.
$m=8-\dfrac{4\sigma}3$이므로
$\begin{aligned}P\left(Y\le8+\dfrac{2\sigma}3\right)&=P\left(Z\le\dfrac{8+\dfrac{2\sigma}3-m}{\sigma}\right)\\&=P(Z\le2)=0.5+0.4772=0.9772\end{aligned}$
정답: ④ $0.9772$
20. 실수 $a$ ($a>1$)에 대하여 함수 $f(x)$를 $f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)$라 하자. 함수 $g(x)=x^2\displaystyle\int\nolimits_0^x f(t)\,dt-\displaystyle\int\nolimits_0^x t^2f(t)\,dt$가 오직 하나의 극값을 갖도록 하는 $a$의 최댓값은? [4점]
① $\dfrac{9\sqrt2}{8}$ ② $\dfrac{3\sqrt6}{4}$ ③ $\dfrac{3\sqrt2}{2}$ ④ $\sqrt6$ ⑤ $2\sqrt2$
풀이
곱의 미분법과 미적분의 기본정리를 이용하면
$\begin{aligned}g'(x)&=2x\displaystyle\int\nolimits_0^xf(t)\,dt+x^2f(x)-x^2f(x)\\&=2x\displaystyle\int\nolimits_0^xf(t)\,dt\end{aligned}$
$F(x)=\displaystyle\int\nolimits_0^xf(t)\,dt$라 하면 $F'(x)=f(x)=(x+1)(x-1)(x-a)$이고 $g'(x)=2xF(x)$이다.
$f(x)$는 $x<-1$에서 음수, $-1<x<1$에서 양수, $1<x<a$에서 음수, $x>a$에서 양수이다. 따라서 $F(x)$는 $(-\infty,-1)$에서 감소, $(-1,1)$에서 증가, $(1,a)$에서 감소, $(a,\infty)$에서 증가한다.
$F(0)=0$, $F(-1)<0$, $\displaystyle\lim\limits_{x\to-\infty}F(x)=+\infty$이므로 $\alpha<-1$에 $F(\alpha)=0$인 점이 하나 있고, $g'(x)$는 $x=\alpha$에서 음수에서 양수로 바뀌어 극소를 갖는다.
$x=0$ 근방에서 $F(x)$와 $x$의 부호가 같으므로 $g'(x)=2xF(x)>0$이고, $x=0$에서는 극값이 생기지 않는다.
$x>0$에서 추가로 극값이 생기지 않으려면 $F$가 $x>0$에서 음수가 되지 않아야 한다. $F$의 양의 구간에서의 최솟값을 결정하는 값은 $F(0)=0$과 $F(a)$이므로 $F(a)\ge0$이어야 한다. 등호의 경우 $F$가 $x=a$에서 $0$에 접해도 부호가 바뀌지 않아 $g$에는 극값이 추가되지 않는다.
$\begin{aligned}F(a)&=\displaystyle\int\nolimits_0^a(t+1)(t-1)(t-a)\,dt\\&=\displaystyle\int\nolimits_0^a(t^3-at^2-t+a)\,dt\\&=\left[\dfrac{t^4}4-\dfrac{at^3}3-\dfrac{t^2}2+at\right]_0^a\\&=-\dfrac{a^4}{12}+\dfrac{a^2}{2}\end{aligned}$
$F(a)\ge0\iff a^2(6-a^2)\ge0$이므로 $a>1$에서 $1<a\le\sqrt6$이다. 따라서 $a$의 최댓값은 $\sqrt6$이다.
정답: ④ $\sqrt6$
21. 수열 $\{a_n\}$은 $0<a_1<1$이고, 모든 자연수 $n$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $a_{2n}=a_2\times a_n+1$
(나) $a_{2n+1}=a_2\times a_n-2$
$a_7=2$일 때, $a_{25}$의 값은? [4점]
① $78$ ② $80$ ③ $82$ ④ $84$ ⑤ $86$
풀이
(가)와 (나)를 같은 $n$에 대해 빼면 $a_{2n+1}=a_{2n}-3$이다.
$a_7=2$이므로 $a_6=5$이다. 또한 $a_3=a_2a_1-2$이고 (가)에 $n=1$을 넣으면 $a_2a_1=a_2-1$이므로 $a_3=a_2-3$이다.
$a_6=a_2a_3+1=5$이므로 $a_2(a_2-3)=4$이고 $(a_2-4)(a_2+1)=0$이다.
$a_2=-1$이면 $a_1=2$여서 $0<a_1<1$에 어긋난다. 따라서 $a_2=4$, $a_1=\dfrac34$이다.
$a_{12}=a_2a_6+1=4\times5+1=21$, $a_{24}=a_2a_{12}+1=4\times21+1=85$이다.
$a_{25}=a_{24}-3=82$이다.
정답: ③ $82$