2020 수능 수학 가형 풀이 해설 기출문제

1. 문제
   • 가형: 홀수형+짝수형
2. 정답
   • 가형+나형
3. 해설
   • 가형 EBS 해설 (홀수형)

$\begin{aligned}\vec{a}+\dfrac12\vec{b}&=(3,1)+\dfrac12(-2,4)\\&=(3,1)+(-1,2)\\&=(2,3)\end{aligned}$

따라서 모든 성분의 합은 $2+3=5$이다.

정답: ⑤ $5$

$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{6x}{e^{4x}-e^{2x}}&=\displaystyle\lim\limits_{x\to0}\dfrac{1}{\dfrac{e^{4x}-1}{6x}-\dfrac{e^{2x}-1}{6x}}\\&=\dfrac{1}{\dfrac{4}{6}-\dfrac{2}{6}}\\&=3\end{aligned}$

여기서 $\displaystyle\lim\limits_{u\to0}\dfrac{e^u-1}{u}=1$을 이용하였다.

정답: ③ $3$

주어진 점을 $\mathrm{P}(0,a,0)$이라 하면 $\overline{PA}=\overline{PB}$이므로

$\sqrt{(2-0)^2+(0-a)^2+(1-0)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(2-a)^2+(0-0)^2}$

$\sqrt{a^2+5}=\sqrt{a^2-4a+13}$

양변을 제곱하면 $a^2+5=a^2-4a+13$이므로 $a=2$이다.

정답: ② $2$

이항정리에 의하여 일반항은

$\begin{aligned}{}_4\mathrm{C}_r(2x)^{4-r}\left(\dfrac{1}{x^2}\right)^r&={}_4\mathrm{C}_r2^{4-r}x^{4-3r}\end{aligned}$

$x$의 항이 되려면 $4-3r=1$이어야 하므로 $r=1$이다.

따라서 $x$의 계수는 ${}_4\mathrm{C}_1\times2^3=4\times8=32$이다.

정답: ⑤ $32$

$x^2-3xy+y^2=x$의 양변을 $x$에 대하여 미분하면

$2x-3y-3x\dfrac{dy}{dx}+2y\dfrac{dy}{dx}=1$

$\begin{aligned}(3x-2y)\dfrac{dy}{dx}&=2x-3y-1\\\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{2x-3y-1}{3x-2y}\quad(3x\ne2y)\end{aligned}$

$(x,y)=(1,0)$을 대입하면 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2-1}{3}=\dfrac13$이다.

정답: ④ $\dfrac13$

서로 다른 $7$개의 공 중 $4$개를 꺼내는 전체 경우의 수는 ${}_7\mathrm{C}_4=35$이다.

흰 공 $3$개 중 $2$개, 검은 공 $4$개 중 $2$개를 고르는 경우의 수는

${}_3\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{C}_2=3\times6=18$이다.

따라서 확률은 $\dfrac{{}_3\mathrm{C}_2\times{}_4\mathrm{C}_2}{{}_7\mathrm{C}_4}=\dfrac{18}{35}$이다.

정답: ③ $\dfrac{18}{35}$

$4\cos^2x-1=0$에서

$(2\cos x+1)(2\cos x-1)=0$

$\cos x=-\dfrac12$ 또는 $\cos x=\dfrac12$이므로

$x=\dfrac\pi3,\ \dfrac{2\pi}3,\ \dfrac{4\pi}3,\ \dfrac{5\pi}3$이다.

한편 $\sin x\cos x<0$이므로 $x$는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다. 따라서 조건을 만족하는 값은 $\dfrac{2\pi}3$, $\dfrac{5\pi}3$이다.

구하는 합은 $\dfrac{2\pi}3+\dfrac{5\pi}3=\dfrac{7\pi}3$이다.

정답: ② $\dfrac{7\pi}{3}$

부분적분을 위하여 $u(x)=\ln x-1$, $v'(x)=\dfrac1{x^2}$로 놓으면

$u'(x)=\dfrac1x,\quad v(x)=-\dfrac1x$이다.

$\begin{aligned}\displaystyle\int\nolimits_e^{e^2}\dfrac{\ln x-1}{x^2}\,dx&=\left[-\dfrac{\ln x-1}{x}\right]_e^{e^2}+\displaystyle\int\nolimits_e^{e^2}\dfrac1{x^2}\,dx\\&=\left[-\dfrac{\ln x-1}{x}\right]_e^{e^2}+\left[-\dfrac1x\right]_e^{e^2}\\&=-\dfrac1{e^2}+\left(-\dfrac1{e^2}+\dfrac1e\right)\\&=\dfrac{e-2}{e^2}\end{aligned}$

정답: ⑤ $\dfrac{e-2}{e^2}$

점 $\mathrm{P}$의 시각 $t$에서의 속도는 $\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right)$이고

$\begin{aligned}\dfrac{dx}{dt}&=1+\cos^2t-\sin^2t=2\cos^2t\\\dfrac{dy}{dt}&=\sec^2t\end{aligned}$

이므로 속력은

$\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}=\sqrt{4\cos^4t+\sec^4t}$이다.

$4\cos^4t>0$, $\sec^4t>0$이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의해

$\begin{aligned}4\cos^4t+\sec^4t&\ge2\sqrt{4\cos^4t\sec^4t}\\&=2\sqrt4=4\end{aligned}$

등호는 $4\cos^4t=\sec^4t$일 때 성립한다. 이는 $\cos^4t=\dfrac12$일 때이며, 해당하는 $t$가 $0<t<\dfrac\pi2$에 존재한다.

따라서 속력의 최솟값은 $\sqrt4=2$이다.

정답: ③ $2$

$\angle C=\gamma$라 하면 삼각형의 내각의 합에 의하여

$\begin{aligned}\tan\gamma&=\tan\bigl(\pi-(\alpha+\beta)\bigr)\\&=-\tan(\alpha+\beta)=\dfrac32\end{aligned}$

$\overline{AB}=\overline{AC}$이므로 $\beta=\gamma$이고, 따라서 $\tan\beta=\dfrac32$이다.

$\begin{aligned}\tan\alpha&=\tan\bigl(\pi-(\beta+\gamma)\bigr)\\&=-\tan(2\beta)\\&=-\dfrac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta}\\&=-\dfrac{2\times\dfrac32}{1-\left(\dfrac32\right)^2}\\&=\dfrac{12}{5}\end{aligned}$

정답: ④ $\dfrac{12}{5}$

$y=ax^2-2\sin2x$에서

$y'=2ax-4\cos2x,\quad y'{}'=2a+8\sin2x$이다.

$y'{}'=0$에서 $\sin2x=-\dfrac a4$이다. 변곡점을 가지려면 $y'{}'$의 부호가 바뀌어야 하므로

$-1<-\dfrac a4<1$, 즉 $-4<a<4$이어야 한다.

따라서 가능한 정수 $a$는 $-3,-2,-1,0,1,2,3$의 $7$개이다.

$a=\pm4$에서는 $y'{}'$가 $0$이 되어도 부호가 바뀌지 않으므로 제외한다.

정답: ④ $7$

각 단면은 한 변의 길이가 $\sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}}$인 정사각형이므로 단면적은 $\dfrac{e^x}{e^x+1}$이다.

따라서 입체도형의 부피는

$\begin{aligned}V&=\displaystyle\int\nolimits_0^k\left(\sqrt{\dfrac{e^x}{e^x+1}}\right)^2\,dx\\&=\displaystyle\int\nolimits_0^k\dfrac{e^x}{e^x+1}\,dx\end{aligned}$

$t=e^x+1$로 놓으면 $dt=e^x\,dx$이고, $x=0$일 때 $t=2$, $x=k$일 때 $t=e^k+1$이다.

$\begin{aligned}V&=\displaystyle\int\nolimits_2^{e^k+1}\dfrac1t\,dt\\&=\left[\ln t\right]_2^{e^k+1}\\&=\ln\dfrac{e^k+1}{2}\end{aligned}$

$\ln\dfrac{e^k+1}{2}=\ln7$에서 $e^k+1=14$이므로 $k=\ln13$이다.

정답: ② $\ln13$

타원의 장반경이 $5$이므로 초점 $\mathrm{F}$에 대하여 $\overline{AF}=5$이다. 또한 $\mathrm{A}=(a,0)$이고 $\mathrm{F'}=(0,-c)$이다.

삼각형 $\mathrm{F'AO}$와 삼각형 $\mathrm{F'BF}$는 닮음비가 $1:2$이므로 $\overline{AB}=\overline{AF'}=5$, $\overline{BF}=2\overline{AO}=2a$이다.

따라서 삼각형 $\mathrm{BFA}$의 둘레의 길이는 $5+5+2a=10+2a$이다. ㉠

한편 $\overline{PF}=p$라 하면 타원의 정의에서 $\overline{PF'}=10-p$이고, 직각삼각형 $\mathrm{F'FP}$에서

$\begin{aligned}(10-p)^2&=p^2+(2c)^2\\100-20p&=4c^2\\p&=5-\dfrac{c^2}{5}\end{aligned}$

삼각형 $\mathrm{BPF'}$의 둘레의 길이는

$\begin{aligned}\overline{BF'}+\overline{BP}+\overline{PF'}&=10+(2a-p)+(10-p)\\&=20+2a-2p\end{aligned}$ ㉡

두 둘레의 길이의 차가 $4$이므로 ㉠, ㉡에서

$(20+2a-2p)-(10+2a)=4$, 따라서 $p=3$이다.

$3=5-\dfrac{c^2}{5}$이므로 $c^2=10$, $c=\sqrt{10}$이다.

타원의 관계식 $a^2+c^2=25$에서 $a=\sqrt{15}$이다.

따라서 삼각형 $\mathrm{AFF'}$의 넓이는 $\dfrac12\times 2c\times a=ac=\sqrt{10}\sqrt{15}=5\sqrt6$이다.

정답: ① $5\sqrt6$