미지수가 2개인 연립이차방정식은 식의 차수와 구조에 따라 풀이 방법이 달라집니다. 일차방정식이 함께 주어진 경우에는 한 문자를 정리하여 대입하고, 두 이차방정식이 주어진 경우에는 인수분해하거나 특정 항을 소거하여 풀 수 있습니다. 또한 두 식이 대칭식으로 이루어진 경우에는 $x+y$와 $xy$를 새로운 문자로 치환하여 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용할 수 있습니다. 이번 글에서는 연립이차방정식의 형태를 구분하고 각 유형에 알맞은 풀이 방법을 예제를 통해 정리해 보겠습니다.
미지수가 2개인 연립이차방정식
$\begin{cases}x-y=-1\\x^2-2y^2+2=0\end{cases}$, $\begin{cases}x^2+2xy-3y^2=0\\2x^2+xy+y^2=4\end{cases}$와 같이 미지수가 2개인 연립방정식에서 차수가 가장 높은 방정식이 이차방정식일 때, 이 연립방정식을 미지수가 2개인 연립이차방정식이라 합니다.
이때 미지수가 2개인 연립이차방정식에는 다음 두 가지의 유형이 있습니다.
$\boxed{\begin{cases}(일차식)=0\\(이차식)=0\end{cases}}$ $\boxed{\begin{cases}(이차식)=0\\(이차식)=0\end{cases}}$ $\boxed{\begin{cases}(대칭식)=0\\(대칭식)=0\end{cases}}$
일차방정식과 이차방정식으로 이루어진 연립이차방정식은 일차방정식을 이용해 한 문자를 없애는 방식으로 풀이합니다.
$\boxed{\begin{cases}(일차식)=0\\(이차식)=0\end{cases}}$ 유형
$\begin{cases}(일차식)=0\\(이차식)=0\end{cases}$ 꼴의 연립방정식은 일차식을 한 문자로 정리해 이차식에 대입하여 다음과 같이 풀이할 수 있습니다.
- 일차방정식을 한 문자에 대하여 정리한다.
- 앞에서 얻은 식을 이차방정식에 대입하여 푼다.
연립방정식 $\begin{cases}y-x=1\quad\cdots(ㄱ) \\x^2+y^2=25\quad\cdots(ㄴ) \end{cases}$를 풀어봅시다.
풀이
(ㄱ)을 $y$에 대해 정리하면, $y=x+1\cdots (ㄷ)$이고, (ㄷ)을 (ㄴ)에 대입하면 $x^2+(x+1)^2=25$입니다. 이 방정식을 풀면 다음과 같습니다.
$x^2+x-12=0$, $(x+4)(x-3)=0$, $x=-4$ 또는 $x=3$
- $x=-4$를 (3)에 대입하면 $y=-3$
- $x=3$을 (3)에 대입하면 $y=4$
따라서 연립방정식의 해는 $\begin{cases}x=-4\\y=-3\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$입니다.
순서쌍으로 표기하면, 해$(x,y)$는 $(-4,-3)$또는 $(3,4)$입니다.
두 식이 모두 이차방정식인 경우에는 두 식 가운데 인수분해할 수 있는 식을 먼저 찾아 일차방정식을 얻는 것이 핵심입니다.
$\boxed{\begin{cases}(이차식)=0\\(이차식)=0\end{cases}}$ 유형
$\begin{cases}(이차식)=0\\(이차식)=0\end{cases}$ 꼴의 연립방정식은 다음과 같은 경우로 나누어 풀이합니다.
- 둘 중 하나가 인수분해가 되는경우
- 모두 인수분해되지 않는 경우
인수분해가 가능한 경우
두 이차방정식 중 하나가 인수분해 가능한 경우 다음과 같이 문제를 해결할 수 있습니다.
- 두 이차방정식 중 인수분해가 가능한 식을 인수분해하여 일차방정식을 얻는다.
- 앞에서 얻은 일차방정식을 다른 이차방정식에 각각 대입하여 푼다.
연립방정식 $\begin{cases}2x^2-3xy+y^2=0\quad\cdots ㄱ\\2x^2+xy+y^2=8\quad\cdotsㄴ \end{cases}$을 풀어봅시다.
풀이
(ㄱ)의 좌변을 인수분해하면 $(x-y)(2x-y)=0$이고, 방정식의 해는 $y=x$ 또는 $y=2x$를 만족해야 합니다.
- $y=x$를 (ㄴ)에 대입하여 정리하면 $4x^2=8$, $x^2=2$이고, 따라서 $x=\pm\sqrt2$입니다. $y=x$이므로 $x=\pm\sqrt2$, $y=\pm\sqrt2$ (복부호동순)
- $y=2x$를 (ㄴ)에 대입하여 정리하면 $8x^2=8$, $x^2=1$ 이고 $x=\pm1$입니다. $y=2x$이므로 $x=\pm1$, $y=\pm2$ (복부호동순)
따라서 연립방정식의 해는 $\begin{cases}x=\sqrt2\\y=\sqrt2\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=-\sqrt2\\y=-\sqrt2\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}$입니다.
순서쌍으로 표기하면 해 $(x,y)$는 $(\sqrt 2,\sqrt 2)$, $(-\sqrt 2,-\sqrt 2)$, $(1,2)$, $(-1,-2)$
인수분해가 안되는 경우
두 이차방정식이 모두 인수분해되지 않는 경우에는 다음과 같은 방법으로 풀 수 있습니다.
- 이차항을 소거하여 일차방정식을 만든 후, 이차방정식과 연립하여 푼다.
- 상수항을 소거하여 인수분해되는 이차방정식을 만든 후 푼다.
먼저 두 식의 이차항을 소거하여 일차방정식을 만든 뒤, 남은 이차방정식과 연립하여 푸는 방법을 살펴보겠습니다.
1. 이차항을 소거하는 방법
연립방정식 $\begin{cases}3y^2+2x-5y=4\cdots(ㄱ)\\2y^2-5x+3y=9\cdots(ㄴ)\end{cases}$을 풀어 봅시다.
풀이
$(ㄱ)\times2-(ㄴ)\times3$을 하면 $19x-19y=-19$, $x-y=-1$이고, $x=y-1\cdots(ㄷ)$ 입니다.
(ㄷ)을 (ㄱ)에 대입하면 $3y^2+2(y-1)-5y=4$이고, $y^2-y-2=0$, $(y+1)(y-2)=0$, 따라서 $y=-1$ 또는 $y=2$입니다. (ㄷ)에 대입하여 $x$를 구하면 다음과 같습니다.
- $y=-1$이면 $x=-2$, $y=2$이면 $x=1$
따라서 연립방정식의 해는 $\begin{cases}x=-2\\y=-1\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}$입니다.
이번에는 상수항을 소거하여 인수분해할 수 있는 이차방정식을 만든 뒤, 각 인수에서 얻는 관계를 원래 방정식과 연립하여 풀어봅시다.
2. 상수항을 소거하는 방법
연립방정식 $\begin{cases}2x^2+xy-20y^2=16\cdots(ㄱ)\\x^2+xy-8y^2=12\cdots(ㄴ)\end{cases}$을 풀어봅시다.
풀이
$(ㄱ)\times3-(ㄴ)\times4$를 하면 $2x^2-xy-28y^2=0$이고 $(x-4y)(2x+7y)=0$ 따라서 $x=4y$ 또는 $x=-\dfrac{7}{2}y$입니다.
- $x=4y$를 (ㄴ)에 대입하여 풀면 $x=\pm4$, $y=\pm1$ (복부호 동순)
- $x=-\dfrac{7}{2}y$를 (ㄴ)에 대입하여 풀면 $x=\mp14$, $y=\pm4$ (복부호 동순)
따라서 립방정식의 해는 $\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=-4\\y=-1\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=-14\\y=4\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=14\\y=-4\end{cases}$입니다.
이제 두 방정식이 대칭식인 유형에 대해 살펴봅시다.
$\boxed{\begin{cases}(대칭식)=0\\(대칭식)=0\end{cases}}$ 유형
$x+y$와 $x^2-xy+y^2$에서 $x$와 $y$를 서로 바꾸면 $y+x$, $y^2-yx+x^2$이 되어 원래의 식과 같습니다.
이렇게 여러개의 변수로 이루어진 식에서 임의의 두 변수의 자리를 바꾸어 원래의 식과 완전히 같아지는 식을 대칭식이라고 합니다.
두 방정식이 $x$, $y$를 서로 바꾸어도 변하지 않는 대칭식이라면 다음과 같이 문제를 해결할 수 있습니다.
- $x+y=a$, $xy=b$로 놓고 주어진 방정식을 $a$, $b$에 대한 연립방정식으로 변형합니다.
- 앞의 연립방정식을 풀어 $a$, $b$를 구합니다.
- $x$, $y$를 두 근으로 갖고 두 근의 합이 $a(=x+y)$이고, 두 근의 곱이$b(=xy)$인 $t$에 대한 이차방정식을 세웁니다. $t^2-at+b=0$
- $t^2-at+b=0$의 두 근이 $t=\alpha$ 또는 $t=\beta$라면 $(x,y)=(\alpha, \beta)$또는 $(x,y)=(\beta, \alpha)$입니다.
과정을 다음과 같이 요약하면 다음과 같습니다.
$\boxed{x+y=a,\ xy=b}\ \Longrightarrow \boxed{a,b\text{의 값 구하기}}\ \Longrightarrow \boxed{t^2-at+b=0}\ \Longrightarrow \boxed{\text{두 근을 }x,y\text{로 배치}}$
연립방정식 $\begin{cases}x+y-2xy=-5\\2x+2y+5xy=44\end{cases}$을 풀어봅시다.
풀이
$x+y=a$, $xy=b$라 하면, 주어진 연립방정식은 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$\begin{cases}a-2b=-5\quad\cdots ㄱ \\2a+5b=44\quad\cdots ㄴ \end{cases}$
- $ㄱ\times2-ㄴ$을 하면 $-9b=-54$이고, $b=6$
- $b=6$을 ㄱ에 대입하면 $a-12=-5$이고 $a=7$
따라서 $x+y=7$, $xy=6$이므로 $x$, $y$는 $t$에 대한 이차방정식 $t^2-7t+6=0$의 두 근입니다.
$(t-1)(t-6)=0$, $t=1$ 또는 $t=6$이므로 연립방정식의 해는 $\begin{cases}x=1\\y=6\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=6\\y=1\end{cases}$입니다. 해를 순서쌍으로 나타내면 $(x,y)=(1,6)$ 또는 $(x,y)=(6,1)$입니다.
미지수가 2개인 연립이차방정식은 모든 문제를 같은 방법으로 푸는 것이 아니라 먼저 식의 형태를 파악하는 것이 중요합니다. 일차식과 이차식으로 이루어진 경우에는 대입을 이용하고, 두 이차식으로 이루어진 경우에는 인수분해 가능 여부를 확인한 뒤 이차항이나 상수항을 소거하여 풀이합니다. 두 식이 대칭식이라면 $x+y$와 $xy$로 치환한 뒤 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 세우면 됩니다. 이처럼 식의 구조에 맞는 방법을 선택하면 복잡해 보이는 연립이차방정식도 이미 배운 대입법, 인수분해, 근과 계수의 관계를 이용해 단계적으로 해결할 수 있습니다.