mathpowergen 유리수는 우리가 일상에서 자주 접하는 수지만, 그 특성을 제대로 이해하는 것은 쉽지 않습니다. 유리수는 분수로 표현되는 수인데, 그 소수 형태가 유한소수와 무한소수로 나뉘는 사실을 알고 있나요? 특히, 무한소수 중에서도 ‘순환소수’라는 흥미로운 개념이 있다는 사실도 알고 있었을까요? 오늘은 유리수의 소수 표현을 자세히 살펴보면서, 유한소수 조건 순환소수 조건 까지 살펴보도록 하겠습니다. 유리수(분수)의 소수 표현(복습) 분수를 나눗셈을 이용해 … 더 읽기
이번 시간에는 소수와 합성수에 대해 정리하고 소수를 찾는 방법으로 에라토스테네스의 체에 대하여 학습하고 마지막으로 소수 판정법에 대해 학습하기로 하자. 먼저 두 가지 초등학교와 중학교에서 배우는 두 소수의 의미에 대해 간단히 정리하자. 초등학교 때 배운 소수는 소~수로 읽고 오늘 학습할 소수는 소쑤로 발음한다는 것을 기억하고 학습을 이어가자. 자연수의 ‘분해’ 수학에서 분해는 주어진 수나 식을 곱셈으로 정리하는 … 더 읽기
이번 시간에는 자연수를 다루는데 기초가 되는 2,3,4,5,8,9,11,13의 배수 판정법에 대해 정리해 보자. 이를 이용하면 쉽게 약수를 구할 수 있어 소인수 분해를 이용한 모든 계산에 유용하게 사용할 수 있다. 모든 자연수는 1의 배수이기 때문에 2의 배수 부터 차근 차근 정리해 보기로 하자. 2, 5, 4, 8 의 배수 판정법 2의 배수 판정법 마지막 한 자리가 $2$의 … 더 읽기
이번 시간에는 명제의 참과 거짓을 진리집합을 이용해 정리해 보려고 한다. 수학에서는 발견된 사실을 명제로 표현하고, 명제의 참과 거짓을 판단하는 증명의 과정을 거친다. 이 과정을 논리학이라고 하고 고등학교 수학을 학습하기 위해 매우 중요한 과정이다. 명제 ‘옳고 그름을 판정할 수 있는 문장이나 식’예를들어 “맞꼭지각의 크기는 서로 같다”는 참인 명제이다.명제는 주로 $p,q,r$을 이용해 나타낸다. [개념주의]바로 다음 학습하는 조건도 … 더 읽기
지수법칙은 중학교에서 자연수 범위에서 다루고 지수의 확장을 통해 고등학교 에서는 정수, 유리수 범위 까지 확장되며, 지수함수를 통해 지수의 범위는 실수까지 확장된다. 여기서는 자연수 범위에서 지수법칙을 검증하고 정수 범위로 확장되는 과정에 대한 증명을 자세히 다뤄 보도록 하겠다. 지수법칙 (지수가 자연수) 실수 $a,b$ 와 자연수 $m,n$에 대하여 다음이 성립한다. 법칙이 사실인지 확인 하는 과정은 다음과 같다. 지수가 … 더 읽기
이번 시간에는 이차식 인수분해를 쉽게 하는 방법에 대해 학습해 보기로 하자. 이해를 돕기 위해 결론부터 이야기하고 원리에 대해 설명을 이어가도록 하겠다. 이차식 인수분해 이차식은 간단히 인수분해 될 수도 있으나 간단한 일차식(정수계수 일차식)으로 인수분해가 어려운 경우도 있다. 먼저 이를 빠르게 파악하는 것이 인수분해를 잘하는 핵심이다. 만약 간단히 인수분해를 못한다면 근의 공식을 써야 하기 때문이다. 인수분해 가능성 … 더 읽기
이번 시간에는 중학교 3학년 고등학교 1학년에 등장하는 인수분해 공식을 정리하려고 합니다. 인수분해의 뜻과 용어 정리 예를 들면 다음과 같습니다. $x^2+5x+6 \rightleftharpoons (x+2)(x+3)$ 따라서 인수분해는 전개의 역과정이다. 중3과 고1의 인수분해 차이 중학교 3학년에서는 이차식을 인수분해하여 항 이 두 개 이하인 식으로 정리하는 인수분해를 주로 다루고 고등학교 1학년에서는 3차 이상의 식의 인수분해, 항이 셋 이상인 식으로 인수분해 … 더 읽기
이번 시간에는 곱셈공식 변형식에 대해 정리해 보기로 하자. 먼저 곱셈공식을 정리하고 본론으로 들어가자. 곱셈공식 정리 곱셈공식은 중학교 3학년과 고등학교 1학년에 배운다. 아래의 식이 기억나지 않는다면 복습을 하고 학습을 이어가길 바란다. 중학교 곱셈공식 (중3) (복습) $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\[1em]$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\[1em]$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\[1em]$$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\\[1.5em]$$\begin{align}(ax&+b)(cx+d)\\&=acx^2+(ad+bc)x+bd\end{align}$ 고등학교 곱셈공식 (고1) (복습) $\begin{align}(a+&b+c)^2\\&=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\end{align}\\[2em]$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]$$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2+b^3\\[1em]$$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\\[1em]$$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\\[1em]$$\begin{align}(a+&b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\&=a^3+b^3+c^3-3abc\end{align}\\[2em]$$\begin{align}(a^2&+ab+b^2)(a^2-b+b^2)\\&=a^4+a^2b^2+b^4\end{align}\\[2em]$ 곱셈공식 변형식 암기할 내용의 수가 많으면 암기할 내용을 분류하여 분류 기준을 생각한 다음 암기 하는 … 더 읽기
중학교 곱셈공식에 대한 내용은 간단히 복습하고 고1 곱셈공식에 대한 내용을 학습해 보기로 하자. [중학교 곱셈공식] 제곱공식$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ 합차공식$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 방정식 공식$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$ 복습링크 중학교 3학년 곱셈공식 암기법 이제 고등학교에서 추가로 배우는 곱셈공식에 대해 학습해 보자. 고1 곱셈공식 중학교에서는 항이 두개이고 제곱식에 관련된 공식을 주로 다룬 반면 고등학교에서는 곱셈공식은 항이 세개이상인 경우와 3차식에 관련된 곱셈공식까지 다룬다. 먼저 곱셈공식 전체를 … 더 읽기
곱셈공식을 문자로 암기하였다면 잘 못된 방법이므로 곱셈공식과 곱셈공식 암기법을 다시 정리할 필요가 있다. 곱셈공식 안에는 수학의 연산 구조가 들어 있고 이러한 연산 구조가 반영된 말로 설명할 수 있도록 하는 것이 이번 학습의 목표이다. 이번 기회를 통해 수식의 구조를 통찰할 수 있는 능력을 기르길 바란다. 곱셈공식 중학교 3학년 제곱공식 분배법칙을 적용하면 다음과 같이 전개 할 수 … 더 읽기
합의 법칙과 곱의 법칙을 이용해 경우의 수를 계산하는 과정은 수학적 확률을 계산하는데 있어 기본이 된다. 각 용어에 대한 정확한 정의를 토대로 곱의 법칙의 개념을 정확히 이해하길 바란다. 용어정의 [예시] [정리] 합의 법칙 (경우의 수) 위의 기호를 이용해 합의 법칙을 정리하면 다음과 같다. 어떤 시행을 통해 발생한 사건 $A, B$에 대하여 A 또는 B가 일어날 경우의 … 더 읽기
포함배제의 원리는 중학교의 합의 법칙에서 등장하고, 고등학교에서 합집합의 원소 개수에 등장한다. 그리고 고등학교 통계 단원의 경우의 수를 계산하는 문제에서 중복되는 사건에 대한 경우를 중복 없이 셈할 때 사용한다. 이번 기회에 원리를 정확히 알고 이를 수학에서 어떻게 사용하는지 이해하는 시간이 되길 바란다. 경우의 수와 포함배제의 원리 수학에서는 물론이고 실생활에서 어떤 것을 세어야 하는 경우가 많다. 어떤 … 더 읽기