2020학년도 수능 수학 기출문제 홀수형의 문제와 풀이를 정리한 자료입니다. 오류가 있는 풀이나 문제는 아래의 기출문제 파일과 EBS 해설을 참고해 주세요.
pdf 다운로드
- 문제
- 정답
- 해설
2020학년도 수능 수학 나형 풀이 해설
5지선다형
1. $16\times2^{-3}$의 값은? [2점]
① $1$ ② $2$ ③ $4$ ④ $8$ ⑤ $16$
풀이
지수법칙에 의하여 $16\times2^{-3}=2^4\times2^{-3}=2^{4+(-3)}=2^1=2$이다.
정답: ② $2$
2. 두 집합 $A=\{a+2,6\}$, $B=\{3,b-1\}$에 대하여 $A=B$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 실수이다.) [2점]
① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$
풀이
두 집합이 같고 $3\ne6$이므로 $a+2=3$, $b-1=6$이다.
$a=1$, $b=7$이므로 $a+b=1+7=8$이다.
정답: ④ $8$
3. $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{9n^2+4}}{5n-2}$의 값은? [2점]
① $\dfrac15$ ② $\dfrac25$ ③ $\dfrac35$ ④ $\dfrac45$ ⑤ $1$
풀이
$n$은 자연수이므로 $n>0$이다. 분자와 분모를 $n$으로 나누면
$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{9n^2+4}}{5n-2}&=\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{9+\frac4{n^2}}}{5-\frac2n}\\&=\dfrac{\sqrt{9+0}}{5-0}=\dfrac35\end{aligned}$
정답: ③ $\dfrac35$
4. 그림은 두 함수 $f:X\to X$, $g:X\to X$를 나타낸 것이다.
$(g\circ f)(1)$의 값은? [3점]
① $1$ ② $3$ ③ $5$ ④ $7$ ⑤ $9$
풀이
첫 번째 대응 그림에서 $f(1)=5$이고, 두 번째 대응 그림에서 $g(5)=9$이다.
따라서 $(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(5)=9$이다.
정답: ⑤ $9$
5. 두 사건 $A$, $B$에 대하여 $\mathrm P(A^C)=\dfrac23$, $\mathrm P(A^C\cap B)=\dfrac14$일 때, $\mathrm P(A\cup B)$의 값은? (단, $A^C$은 $A$의 여사건이다.) [3점]
① $\dfrac12$ ② $\dfrac7{12}$ ③ $\dfrac23$ ④ $\dfrac34$ ⑤ $\dfrac56$
풀이
$\mathrm P(A^C)=\dfrac23$이므로 $\mathrm P(A)=1-\dfrac23=\dfrac13$이다.
$A\cup B=A\cup(A^C\cap B)$이고 $A\cap(A^C\cap B)=\varnothing$이므로 두 사건은 서로 배반이다.
$\begin{aligned}\mathrm P(A\cup B)&=\mathrm P(A)+\mathrm P(A^C\cap B)\\&=\dfrac13+\dfrac14=\dfrac7{12}\end{aligned}$
정답: ② $\dfrac7{12}$
6. 실수 $x$에 대한 두 조건
$p:\ x=a,$
$q:\ 3x^2-ax-32=0$
에 대하여 $p$가 $q$이기 위한 충분조건이 되도록 하는 양수 $a$의 값은? [3점]
① $1$ ② $2$ ③ $3$ ④ $4$ ⑤ $5$
풀이
조건 $p$가 조건 $q$의 충분조건이므로 $x=a$이면 $3x^2-ax-32=0$을 만족해야 한다.
$3a^2-a^2-32=0$에서 $2a^2=32$, $a^2=16$이다.
$a>0$이므로 $a=4$이다.
정답: ④ $4$
7. 함수 $f(x)=\dfrac{k}{x-3}+1$에 대하여 $f^{-1}(7)=4$일 때, 상수 $k$의 값은? (단, $k\ne0$) [3점]
① $2$ ② $4$ ③ $6$ ④ $8$ ⑤ $10$
풀이
$f^{-1}(7)=4$이면 $f(4)=7$이므로
$\dfrac{k}{4-3}+1=7$, 따라서 $k=6$이다.
정답: ③ $6$
8. 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같다.
$\displaystyle\lim\limits_{x\to0+}f(x)-\lim\limits_{x\to1-}f(x)$의 값은? [3점]
① $-2$ ② $-1$ ③ $0$ ④ $1$ ⑤ $2$
풀이
그래프에서 $\displaystyle\lim\limits_{x\to0+}f(x)=0$, $\displaystyle\lim\limits_{x\to1-}f(x)=2$이다.
따라서 $\displaystyle\lim\limits_{x\to0+}f(x)-\lim\limits_{x\to1-}f(x)=0-2=-2$이다.
정답: ① $-2$
9. 어느 학교 학생 $200$명을 대상으로 체험활동에 대한 선호도를 조사하였다. 이 조사에 참여한 학생은 문체험과 생태연구 중 하나를 선택하였고, 각각의 체험활동을 선택한 학생의 수는 다음과 같다.
이 조사에 참여한 학생 $200$명 중에서 임의로 선택한 $1$명이 생태연구를 선택한 학생일 때, 이 학생이 여학생일 확률은? [3점]
$(\text{단위: 명})$
$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \text{구분}&\text{문화체험}&\text{생태연구}&\text{합계}\\ \hline\text{남학생}&40&60&100\\ \hline\text{여학생}&50&50&100\\ \hline\text{합계}&90&110&200\\ \hline\end{array}$
① $\dfrac5{11}$ ② $\dfrac12$ ③ $\dfrac6{11}$ ④ $\dfrac59$ ⑤ $\dfrac35$
풀이
생태연구를 선택한 사건을 $A$, 여학생인 사건을 $B$라 하자. 구하는 확률은 조건부확률 $\mathrm P(B\mid A)$이다.
$\mathrm P(A)=\dfrac{110}{200}=\dfrac{11}{20}$이고 $\mathrm P(A\cap B)=\dfrac{50}{200}=\dfrac14$이다.
$\mathrm P(B\mid A)=\dfrac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}=\dfrac{\frac14}{\frac{11}{20}}=\dfrac5{11}$이다.
정답: ① $\dfrac5{11}$
10. 함수 $y=\sqrt{4-2x}+3$의 역함수의 그래프와 직선 $y=-x+k$가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 최솟값은? [3점]
① $1$ ② $3$ ③ $5$ ④ $7$ ⑤ $9$
풀이
함수 $y=-x+k$의 역함수도 $y=-x+k$이므로, 주어진 두 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나는 조건은 원래 함수 $y=\sqrt{4-2x}+3$과 직선 $y=-x+k$가 서로 다른 두 점에서 만나는 조건과 같다.
곡선 $y=\sqrt{4-2x}+3$은 정의역이 $x\le2$이고, 오른쪽 끝점이 $(2,3)$이다. 직선이 이 점을 지날 때 두 교점을 가지도록 하는 $k$의 값이 최소이다.
$3=-2+k$에서 $k=5$이다.
이를 확인하려면 $u=\sqrt{4-2x}\ge0$으로 놓는다. $x=2-\dfrac{u^2}{2}$를 대입하면 두 교점의 조건은 $u^2-2u+2(k-5)=0$이 $u\ge0$에서 서로 다른 두 해를 가지는 것이다. $k=5$에서는 $u=0,2$이고 $k<5$에서는 음수인 해가 하나 생겨 조건을 만족하지 않는다.
정답: ③ $5$
11. 함수 $f(x)=4x^3+x$에 대하여 $\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1n f\left(\dfrac{2k}{n}\right)$의 값은? [3점]
① $6$ ② $7$ ③ $8$ ④ $9$ ⑤ $10$
풀이
직사각형의 폭을 $\dfrac2n$으로 생각하면
$\begin{aligned}\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1n f\left(\dfrac{2k}{n}\right)&=\dfrac12\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^n\dfrac2n f\left(\dfrac{2k}{n}\right)\\&=\dfrac12\displaystyle\int\nolimits_0^2f(x)\,dx\\&=\dfrac12\displaystyle\int\nolimits_0^2(4x^3+x)\,dx\\&=\dfrac12\left[x^4+\dfrac12x^2\right]_0^2\\&=\dfrac12(16+2)=9\end{aligned}$
정답: ④ $9$
12. 함수 $f(x)=-x^4+8a^2x^2-1$이 $x=b$와 $x=2-2b$에서 극대일 때, $a+b$의 값은? (단, $a$, $b$는 $a>0$, $b>1$인 상수이다.) [3점]
① $3$ ② $5$ ③ $7$ ④ $9$ ⑤ $11$
풀이
$\begin{aligned}f'(x)&=-4x^3+16a^2x\\&=-4x(x^2-4a^2)\\&=-4x(x+2a)(x-2a)\end{aligned}$
$a>0$이므로 도함수의 부호는 $x=-2a$에서 양에서 음, $x=0$에서 음에서 양, $x=2a$에서 양에서 음으로 변한다. 따라서 극대가 되는 두 점의 $x$좌표는 $-2a$, $2a$이다.
따라서 $b+(2-2b)=2a+(-2a)=0$이므로 $b=2$이다.
또한 $b(2-2b)=(2a)(-2a)$이므로 $-4=-4a^2$, $a=1$이다.
따라서 $a+b=1+2=3$이다.
정답: ① $3$
13. 어느 농장에서 수확하는 파프리카 $1$개의 무게는 평균이 $180\,\mathrm g$, 표준편차가 $20\,\mathrm g$인 정규분포를 따른다고 한다. 이 농장에서 수확한 파프리카 중에서 임의로 선택한 파프리카 $1$개의 무게가 $190\,\mathrm g$ 이상이고 $210\,\mathrm g$ 이하일 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [3점]
$\begin{array}{|c|c|}\hline z&\mathrm P(0\le Z\le z)\\ \hline0.5&0.1915\\ \hline 1.0&0.3413\\ \hline1.5&0.4332\\ \hline 2.0&0.4772\\ \hline \end{array}$
① $0.0440$ ② $0.0919$ ③ $0.1359$ ④ $0.1498$ ⑤ $0.2417$
풀이
파프리카 한 개의 무게를 $X\,(\mathrm g)$이라 하면 $X\sim \mathrm N(180,20^2)$이다.
$Z=\dfrac{X-180}{20}$으로 표준화하면 $Z\sim\mathrm N(0,1)$이다.
$\begin{aligned}\mathrm P(190\le X\le210)&=\mathrm P\left(\dfrac{190-180}{20}\le Z\le\dfrac{210-180}{20}\right)\\&=\mathrm P(0.5\le Z\le1.5)\\&=\mathrm P(0\le Z\le1.5)-\mathrm P(0\le Z\le0.5)\\&=0.4332-0.1915=0.2417\end{aligned}$
정답: ⑤ $0.2417$