좌표에서 두 점 사이의 거리는 수직선에서는 좌표의 차의 절댓값으로, 좌표평면에서는 피타고라스 정리를 이용하여 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 두 경우의 거리 공식을 정리하고 간단한 예제로 확인해 보겠습니다.
두 점 사이의 거리
수직선 위의 두 점 사이의 거리
- 수직선 위의 두 점 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 사이의 거리 $\overline{AB}$
- $\overline{AB}=\overline{AB}=|x_2-x_1|$
- 수직선 위의 원점 $O(0)$과 점 $A(x_1)$ 사이의 거리 $\overline{OA}$
- $\overline{OA}=|x_1|$
$|x_2-x_1|=|x_1-x_2|$이므로 두 점의 좌표 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
설명
수직선 위의 두 점 $A(x_1)$, $B(x_2)$ 사이의 거리 $\overline{AB}$는 $x_1$, $x_2$ 의 대소관계에 따라 큰값에서 작은 값을 빼서 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $x_1\le x_2$일 때, $\overline{AB}=x_2-x_1$
- $x_1>x_2$일 때, $\overline{AB}=x_1-x_2$
큰수에서 작은 수를 빼는 연산은 두 수의 차이를 계산하는 절댓값으로 표현할 수 있으므로, $\overline{AB}=|x_2-x_1|$입니다.
두 점 $A(-2)$, $B(3)$ 사이의 거리를 구해 봅시다.
풀이
$\overline{AB}=|3-(-2)|=|5|=5$
수직선에서는 두 좌표의 차에 절댓값을 취하면 거리를 구할 수 있습니다. 좌표평면에서는 가로 방향과 세로 방향의 거리 차를 직각삼각형의 두 변으로 보고 같은 원리를 확장합니다.
좌표평면 위의 두 점 사이의 거리
- 좌표평면 위의 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$ 사이의 거리 $\overline{AB}$
- $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
- 좌표평면 위의 원점 $O(0, 0)$과 점 $A(x_1, y_1)$ 사이의 거리 $\overline{OA}$
- $\overline{OA}=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$
$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$이므로 두 점의 좌표 순서는 결과에 영향을 주지 않습니다.
설명
그림과 같이 두 점 $A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$에서 각각 $x$축, $y$축에 평행하게 그은 직선의 교점을 $C$라 하면 점 $C$의 좌표는 $(x_2, y_1)$이고, 삼각형 $ABC$는 직각삼각형이고 선분의 길이는 다음과 같습니다.
- $\overline{AC}=|x_2-x_1|$, $\overline{BC}=|y_2-y_1|$
피타고라스 정리를 적용하면
$\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2=|x_2-x_1|^2+|y_2-y_1|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$이고 따라서 $\overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$입니다.
두 점 $A(1,-3)$, $B(6,9)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
풀이
$\overline{AB}=\sqrt{(6-1)^2+\{9-(-3)\}^2}=\sqrt{169}=13$
두 점 사이의 거리 공식은 이후 선분의 내분점과 외분점, 직선과 원의 방정식 등을 다룰 때 반복해서 활용됩니다. 두 좌표의 차를 먼저 확인하고 제곱하여 더한 뒤 제곱근을 취하는 과정을 익혀 둡시다.