이차방정식의 두 실근 $\alpha$, $\beta$와 상수 $p$, $q$의 대소관계는 근을 직접 구하지 않고도 이차함수의 그래프를 이용하여 판단할 수 있습니다. 이를 근의 분리라고 하며, 이차항의 계수 $a$와 경계에서의 함숫값의 부호를 이용하면 상수가 두 근의 사이에 있는지 또는 바깥에 있는지를 판단할 수 있습니다. 이때 함숫값 조건을 $a$와 반대 부호로 사용하는 경우에는 서로 다른 두 실근의 존재가 함께 보장되지만, $a$와 같은 부호로 사용하는 경우에는 판별식과 축의 위치를 추가로 확인해야 합니다. 이번 글에서는 근의 위치를 여러 유형으로 나누어 각 조건이 왜 필요한지 증명 과정을 통해 정리해 보겠습니다.
이차방정식의 실근의 위치
계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$과 이에 대응하는 이차함수 $y=f(x)$, $f(x)=ax^2+bx+c$에 대하여 두 실근 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha\le\beta$)와 두 상수 $p$, $q$ ($p<q$)의 상대적인 대소관계를 따지는 것을 근의 분리라고 하고, 다음 세가지 기준을 사용해 조건을 정할 수 있습니다.
- $a$와 $f(p)$의 부호: 두 근에 대한 $p$의 위치 결정
- $f(x)=0$의 판별식: 실근의 존재성 (1을 통해 실근의 존재가 확실치 않을 때)
- $y=f(x)$의 축의 위치: $p$ $q$에 대한 축의 상대적 위치 결정 (1, 2를 만족하는 여러 대소관계 중 일부를 제외할 때)
근의분리 유형
상수와 두 근의 대소관계를 따질 때 항상 이 세 조건을 각각 확인해야 하는 것은 아닙니다. 먼저 $a$와 $f(p)$의 부호가 서로 다르면 $p$가 두 근 사이에 놓이게 되어 서로 다른 두 실근의 존재가 함께 보장되므로 판별식 조건을 따로 확인할 필요가 없습니다.
반면 $a$와 $f(p)$의 부호가 같은 경우에는 실근의 존재가 보장되지 않으므로 판별식 조건이 필요합니다. 또한 여러 가지 가능한 대소관계 중 원하는 경우만 선택해야 하는 경우에는 축의 위치를 추가로 확인합니다.
함숫값 조건에 $a$와 다른 부호가 있을 때
계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$과 이에 대응하는 이차함수 $y=f(x)$, $f(x)=ax^2+bx+c$에 대하여, $f(p)$ $f(q)$의 부호 조건에 $a$와 다른 부호가 있다면 중간값 정리에 의해 서로 다른 두 실근의 존재가 보장됩니다. 따라서 이 경우에는 판별식 조건을 따로 확인하지 않아도 됩니다. 이 유형에 대해 구체적으로 정리해 봅시다.
상수가 두 근 사이
$a$의 부호에 따라 상수$p$가 두 근 $\alpha$, $\beta$사이에 있을 필요충분조건, 즉$\alpha<p<\beta$일 필요충분조건은 다음과 같습니다.
- $a>0$ 일 때, $\alpha<p<\beta$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)<0$
- $a<0$ 일 때, $\alpha<p<\beta$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)>0$
$\alpha<p<\beta$ $\Longleftrightarrow$ $af(p)<0$
$a>0$일 때$f(p)<0$
$a<0$일 때 $f(p)>0$
증명
$a>0$인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여 다음이 성립함을 보이면 충분합니다.
- $\alpha<p<\beta$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)<0$
$(\Longrightarrow)$
$a>0$ 일 때 두 실근 $\alpha$, $\beta$ 사이에 $p$가 있다면, $\alpha<p<\beta$이고, 그래프를 통해 $f(p)<0$임을 알 수 있습니다.
$(\Longleftarrow)$
반대로 $a>0$ 이고, $f(p)<0$이면 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$이므로 $p$보다 충분히 작은 $x$와 충분히 큰 $x$에서 함수값은 양수입니다. 따라서 중간값 정리에 의해 $f(\alpha)=0$, $f(\beta)=0$인 두 근 $\alpha$, $\beta$가 존재하고, $\alpha<p<\beta$를 만족합니다.
- $a>0$ 이고, $f(p)<0$이면 두 근의 존재성이 보장되고, 대소관계가 $\alpha<p<\beta$으로 유일하게 결정됩니다. 따라서 판별식과 축에 대한 조건은 따로 살펴보지 않아도 됩니다.
비슷한 방법으로 $a<0$인 경우도 증명할 수 있습니다.
이 증명의 핵심은 $a$와 $f(p)$의 부호가 서로 다르면 중간값 정리에 의해 서로 다른 두 근의 존재성을 보장하므로 판별식을 사용하지 않아도 되고, 가능한 대소관계가 $\alpha<p<\beta$ 뿐이므로 축의 조건을 더 확인하지 않아도 됨을 이해하는 것입니다.
두 상수 사이에 한 실근
두 상수 $p$, $q$ ($p<q$)사이에 한 실근이 있을 필요충분조건, 즉 $p<\alpha<q<\beta$ 또는 $\alpha<p<\beta<q$일 필요충분조건은 다음과 같습니다.
- $p$, $q$사이 실근이 하나$\Longleftrightarrow$ $f(p)f(q)<0$
$p$, $q$사이 실근이 하나 $\Longleftrightarrow$ $f(p)f(q)<0$
$a>0$
$a<0$
증명하는 과정에서 판별식과 축의 조건이 필요하지 않음을 정확하게 이해하는 과정이 중요합니다.
증명
두 상수 사이에 한 근만 있는 경우는 $p<\alpha<q<\beta$ 또는 $\alpha<p<\beta<q$이므로 다음을 보이면 충분합니다.
- $p<\alpha<q<\beta$ 또는 $\alpha<p<\beta<q$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)f(q)<0$
$(\Longrightarrow)$
$p<\alpha<q<\beta$ 또는 $\alpha<p<\beta<q$인 경우 그래프를 통해 $f(p)$, $f(q)$의 부호가 서로 반대임을 알 수 있고 $f(p)f(q)<0$가 성립합니다.
$(\Longleftarrow)$
$a>0$일 때, $f(p)f(q)<0$이면 두 상수 사이에 한 근만 있는지 살펴봅시다.
- $a>0$, $f(p)<0$ $f(q)>0$이면 $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$이므로 중간값 정리에 의해 $\alpha$, $\beta$가 존재하고, $\alpha<p<\beta$를 만족합니다. $p<q$이고 $f(q)>0$이므로 그림 상에서 $q$는 $\beta$ 보다 오른쪽에 있고, 대소관계는 $\alpha<p<\beta<q$로 유일하게 결정됩니다.
- $a>0$, $f(p)<0$ $f(q)>0$이면 두 근의 존재성이 보장되고, 대소관계가 유일하게 결정됩니다. 따라서 판별식 조건과 축의 조건을 따질 필요가 없습니다.
- $a>0$, $f(p)>0$ $f(q)<0$이면, $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\infty$, $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=\infty$이므로 중간값 정리에 의해 $\alpha$, $\beta$가 존재하고, $\alpha<q<\beta$를 만족합니다. $p<q$이고 $f(p)>0$이므로 그림 상에서 $p$는 $\alpha$ 보다 왼쪽에 있고, 대소관계는 $p<\alpha<q<\beta$로 유일하게 결정됩니다.
- $a>0$, $f(p)>0$ $f(q)<0$인 경우에도 두 근의 존재성이 보장되고, 대소관계가 유일하게 결정됩니다. 따라서 판별식 조건과 축의 조건을 따질 필요가 없습니다.
(1) (2)를 종합하면, $a>0$일 때, $f(p)f(q)<0$이면 두 상수 사이에 한 근만 있게 됩니다.
$a<0$인 경우에도 비슷하게 보일 수 있습니다.
$a$와 $f(p)$ 또는 $a$와 $f(q)$ 둘 중 하나는 부호가 서로 반대이므로, 중간값 정리에 의해 서로 다른 두 근의 존재성이 보장되므로 판별식을 사용하지 않아도 되고, 모든 가능한 대소관계는 두 상수 사이에 한 근만 있는 경우 뿐이므로 축의 조건도 더 확인하지 않아도 됨을 이해하는 것이 핵심입니다.
함숫값 조건이 모두 $a$와 같은 부호일 때
계수가 실수인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$과 이에 대응하는 이차함수 $y=f(x)$, $f(x)=ax^2+bx+c$에 대하여 함숫값 $f(p)$, $f(q)$의 부호 조건이 모두 $a$와 동일 부호인 경우에는(중간값 정리 사용불가) 두 실근의 존재성이 확실하지 않기 때문에 판별식 조건이 필요합니다. 이 유형에 대해 정리해 봅시다.
두 실근이 상수보다 크다
두 실근 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha\le\beta$)와 상수 $p$에 대하여
두 실근이 상수보다 클 필요충분조건, 즉 $p<\alpha\le\beta$일 필요충분조건은 다음과 같습니다.
- $a>0$일 때, $p<\alpha\le\beta$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)>0$ $D\ge0$ $p<-\dfrac{b}{2a}$
- $a<0$일 때, $p<\alpha\le\beta$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)<0$ $D\ge0$ $p<-\dfrac{b}{2a}$
$p<\alpha\le\beta$ $\Longleftrightarrow$ $af(p)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}$
$a>0$일 때 $f(p)>0$
$a<0$일 때 $f(p)<0$
증명
먼저 $a>0$일 때, 다음 명제를 증명해 봅시다.
- $p<\alpha\le\beta$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}$
($\Longrightarrow$)
$a>0$일 때 $p<\alpha\le\beta$라고 하면 두 실근이 존재하므로 $D\ge0$입니다. 또한 $a>0$인 이차함수는 두 근의 바깥쪽에서 함수값이 양수이므로, $p$가 두 근보다 왼쪽에 있으면 $f(p)>0$입니다.
이차함수의 축은 두 근의 중점이므로 이므로 $\dfrac{\alpha+\beta}{2}=-\dfrac{b}{2a}$이고, 따라서 $p<-\dfrac{b}{2a}$입니다.
($\Longleftarrow$)
$a>0$에 대하여 $f(p)>0$로는 두 실근의 존재가 확실하지 않습니다. 따라서 두 실근 $D\ge0$조건을 추가해야 합니다.
$a>0$, $f(p)>0$, $D\ge0$일 때, 두 실근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha\le\beta$)라고 하면 $p<\alpha\le\beta$ 또는 $\alpha\le\beta<p$둘 중 하나를 만족합니다. 여기서 $p<\alpha\le\beta$로 대소관계를 좁히기 위해서 축의 조건 $p<-\dfrac{b}{2a}$가 필요합니다.
따라서 $a>0$일 때 $f(p)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}$이면 대소관계는 $p<\alpha\le\beta$로 확정 됩니다.
$a<0$인 경우도 비슷하게 보일 수 있습니다.
두 근 $\alpha$, $\beta$와 상수$p$가 $p<\alpha\le\beta$를 만족하기 위해서는 $f(p)$의 부호는 $a$와 동일해야 합니다. 이 조건으로 그래프로 그려보면 두 실근의 존재성이 보장되지 않으므로 판별식 조건 $D\ge0$가 필요합니다. 함숫값 부호와 판별식 조건으로 가능한 대소관계는 $p<\alpha\le\beta$, $\alpha\le\beta<p$이므로 $p<\alpha\le\beta$만 남길 수 있는 축의 조건도 필요합니다.
두 실근이 상수보다 작다
두 실근 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha\le\beta$)와 상수 $p$에 대하여
두 실근이 상수보다 작을 필요충분조건, 즉 $\alpha\le\beta<p$일 필요충분조건은 다음과 같습니다.
- $a>0$일 때, $\alpha\le\beta<p$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)>0$ $D\ge0$ $p>-\dfrac{b}{2a}$
- $a<0$일 때, $\alpha\le\beta<p$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)<0$ $D\ge0$ $p>-\dfrac{b}{2a}$
$\alpha\le\beta<p$ $\Longleftrightarrow$ $af(p)>0$, $D\ge0$, $p>-\dfrac{b}{2a}$
$a>0$일 때 $f(p)>0$
$a<0$일 때 $f(p)<0$
증명
앞에서 살펴본 $p<\alpha\le\beta$의 경우와 판단 방법은 거의 같습니다. 차이점은 이번에는 상수 $p$가 두 근의 오른쪽에 있어야 한다는 것입니다.
($\Longrightarrow$) 앞서 살펴본 바와 같이 당연히 성립
($\Longleftarrow$)
$a>0$에 대하여 $f(p)>0$로는 두 실근의 존재를 보장하지 않습니다. 따라서 두 실근 $D\ge0$조건을 추가해야 합니다.
$a>0$, $f(p)>0$, $D\ge0$일 때, 두 실근을 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha\le\beta$)라고 하면 $p<\alpha\le\beta$ 또는 $\alpha\le\beta<p$둘 중 하나를 만족합니다. 여기서 $\alpha\le\beta<p$로 대소관계를 좁히기 위해서 축의 조건 $p>-\dfrac{b}{2a}$가 필요합니다.
따라서 $a>0$일 때 $f(p)>0$, $D\ge0$, $p>-\dfrac{b}{2a}$이면 대소관계는 $\alpha\le\beta<p$로 확정 됩니다.
$a<0$인 경우도 비슷하게 보일 수 있습니다.
두 근 $\alpha$, $\beta$와 상수$p$가 $\alpha\le\beta<p$를 만족하기 위해서는 $f(p)$의 부호는 $a$와 동일해야 합니다. 이 조건으로 그래프로 그려보면 두 실근의 존재성이 보장되지 않으므로 판별식 조건 $D\ge0$가 필요합니다. 함숫값 부호와 판별식 조건으로 가능한 대소관계는 $p<\alpha\le\beta$, $\alpha\le\beta<p$이므로 $\alpha\le\beta<p$만 남길 수 있는 축의 조건도 필요합니다.
두 실근이 두 상수 사이
두 실근 $\alpha$, $\beta$ ($\alpha\le\beta$)와 상수 $p$, $q$ ($p<q$)에 대하여
두 실근이 두 상수 사이에 있을 필요충분조건, 즉 $p<\alpha\le\beta<q$일 필요충분조건은 다음과 같습니다.
- $a>0$일 때 $p<\alpha\le\beta<q$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)>0$, $f(q)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}<q$
- $a<0$일 때 $p<\alpha\le\beta<q$ $\Longleftrightarrow$ $f(p)<0$, $f(q)<0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}<q$
$p<\alpha\le\beta<q$ $\Longleftrightarrow$ $af(p)>0$, $af(q)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}<q$
$a>0$일 때 $f(p)>0$, $f(q)>0$
$a<0$일 때 $f(p)<0$, $f(q)<0$
3 설명
$a>0$인 경우에 대해 증명하면 다음과 같습니다.
($\Longrightarrow$)
$a>0$이고 $p<\alpha\le\beta<q$ 이면, 그래프를 통해 $f(p)>0$, $f(q)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}<q$임은 당연합니다. $a<0$인 경우도 비슷하게 자명하게 성립합니다.
($\Longleftarrow$)
$a>0$일 때 $f(p)>0$, $f(q)>0$인 조건은 두 실근의 존재성을 보장하지 않습니다. 따라서 $D\ge0$조건이 필요합니다.
$a>0$이고 $f(p)>0$, $f(q)>0$, $D\ge0$일 때 대소관계는 $p<q<\alpha\le\beta$, $p<\alpha\le\beta<q$, $\alpha\le\beta<p<q$중 하나 입니다. 여기서 $p<\alpha\le\beta<q$로 좁히려면 축의 조건 $p<-\dfrac{b}{2a}<q$이 필요합니다.
따라서 $a>0$일 때 $f(p)>0$, $f(q)>0$, $D\ge0$, $p<-\dfrac{b}{2a}<q$이면 대소관계는 $p<\alpha\le\beta<q$로 확정 됩니다.
두 근 $\alpha$, $\beta$와 상수$p$ $q$가 $p<\alpha\le\beta<q$를 만족하기 위해서 $a$와 $f(p)$, $f(q)$의 부호가 같아야 합니다. 이 조건으로 그래프로 그려보면 두 실근의 존재성이 보장되지 않으므로 판별식 조건 $D\ge0$가 필요합니다. 함숫값 부호와 판별식 조건으로 가능한 대소관계는 $p<q<\alpha\le\beta$, $p<\alpha\le\beta<q$, $\alpha\le\beta<p<q$이고, $p<\alpha\le\beta<q$만 남길 수 있는 축의 조건도 필요합니다.
근의 분리는 판별식, 함숫값, 축의 조건을 항상 모두 확인하는 것이 아니라 근의 위치에 따라 필요한 조건만 선택하여 사용하는 것이 중요합니다. 함숫값 조건을 $a$와 반대 부호로 사용하면 기준점이 두 근 사이에 놓이면서 서로 다른 두 실근의 존재가 보장되므로 판별식을 따로 확인할 필요가 없습니다. 반대로 함숫값 조건을 $a$와 같은 부호로 사용하면 두 실근의 존재가 보장되지 않으므로 판별식이 필요하고, 여러 가능한 대소관계 중 원하는 경우를 결정하려면 축의 위치까지 확인해야 합니다. 따라서 그래프에서 가능한 근의 위치를 먼저 생각하고, 함숫값의 부호를 기준으로 판별식과 축의 조건이 필요한지 판단하는 흐름으로 정리하면 근의 분리를 체계적으로 이해할 수 있습니다.