여러 개의 부등식이 동시에 주어지면 각각의 부등식을 따로 푼 뒤, 모든 부등식을 함께 만족하는 공통부분을 찾아야 합니다. 이러한 형태를 연립부등식이라 하며, 각 부등식이 일차부등식이면 연립일차부등식이라고 합니다. 이번 글에서는 연립부등식과 연립일차부등식의 뜻을 정리하고, 각 부등식의 해를 수직선에 나타내어 공통부분을 찾는 방법과 $A< B< C$ 꼴의 연립부등식, 해가 하나뿐이거나 없는 경우까지 살펴보겠습니다.
연립일차부등식
두 개 이상의 부등식을 한 쌍으로 묶어서 나타낸 것을 연립부등식이라 하고, 각각의 부등식이 일차부등식인 연립부등식을 연립일차부등식이라 합니다. 연립부등식에서 각 부등식의 공통인 해를 그 연립부등식의 해라 하고, 연립부등식의 해를 구하는 것을 연립부등식을 푼다고 합니다.
연립일차부등식: $\begin{cases} (일차식)<0\cdots(1)\\[1em] (일차식)<0\cdots(2) \end{cases}$
연립일차부등식의 풀이
연립일차부등식은 다음과 같은 단계에 따라 풀이 합니다.
- 각각의 부등식을 풉니다.
- 각 부등식의 해를 하나의 수직선 위에 나타냅니다.
- 공통부분을 찾아 연립부등식의 해를 구합니다.
연립부등식 $\begin{cases}4x>3x-3\quad\cdots(ㄱ)\\x-2\le-3\quad\cdots(ㄴ)\end{cases}$을 풀어봅시다.
풀이
(ㄱ)을 풀면 $x>-3$이고, (ㄴ)을 풀면 $x\le-1$입니다. (ㄱ), (ㄴ)의 해를 하나의 수직선 위에 나타내고 공통부분을 찾으면 연립부등식의 해는 다음과 같습니다.
$-3< x\le-1$
일반적으로 $a< b$일 때 다음과 같은 연립부등식의 해를 표현하는 방법을 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$\begin{cases}x\ge a\\x< b\end{cases}\cdots(1)$, $\begin{cases}x\ge a\\x> b\end{cases}\cdots(2)$, $\begin{cases}x\le a\\x< b\end{cases}\cdots(3)$
설명
$a< b$이면 $b$는 $a$보다 오른쪽에 있고, 두 일차부등식의 해를 각각 표현하여 겹치는 영역으로 연립부등식의 해를 구할 수 있습니다.
(1) $\begin{cases}x\ge a\\x< b\end{cases}$
따라서 $a\le x< b$
(2) $\begin{cases}x\ge a\\x> b\end{cases}$
따라서 $x> b$
(3) $\begin{cases}x\le a\\x< b\end{cases}$
따라서 $ x\le a$
연립부등식은 각각의 부등식의 해를 구한 뒤, 모든 부등식을 동시에 만족하는 공통부분을 찾아야 합니다.
$A< B< C$ 꼴의 연립부등식
$A< B< C$는 $A< B$이고 동시에 $B< C$라는 뜻이므로 다음과 같이 연립부등식으로 고쳐서 풀어야 합니다.
- $\begin{cases}A< B\\B< C\end{cases}$
주의
$\begin{cases}A< B\\A< C\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}A< C\\B< C\end{cases}$의 꼴로 고쳐서 풀지 않도록 주의합니다.
연립부등식 $x<2x+3\le5x-3$을 $\begin{cases}A< B\\B< C\end{cases}$꼴로 변형해 풀어 봅시다.
풀이
주어진 부등식을 $\begin{cases}A< B\\B< C\end{cases}$꼴로 나타내면 다음과 같습니다.
$\begin{cases}x<2x+3\cdots(1)\\[1em]2x+3\le5x-3\cdots(2)\end{cases}$
(1) (2)의 해는 각각 $x>-3$, $x \ge 2$ 이므로 $x \ge 2$가 해가 됩니다.
연립부등식의 해는 보통 일정한 범위로 나타나지만, 각 부등식의 공통부분에 따라 해가 하나뿐이거나 해가 없는 경우도 있습니다.
해가 특수한 연립부등식
연립부등식을 풀기 위하여 각 부등식의 해를 수직선 위에 나타내었을 때, 해가 하나뿐이거나 해가 없는 경우도 있습니다.
해가 하나뿐인 경우
연립부등식 $\begin{cases}x\le3\quad\cdots(ㄱ)\\x\ge3\quad\cdots(ㄴ)\end{cases}$을 풀어봅시다.
풀이
(ㄱ), (ㄴ)을 수직선 위에 나타내면 공통부분은 $x=3$뿐입니다.
따라서 연립부등식의 해는 $x=3$입니다.
따라서 두 일차부등식의 해가 다음과 같이 정리될 때 연립부등식의 해는 하나 뿐입니다.
$\begin{cases}x\le a\\x\ge a\end{cases}\Longrightarrow x=a$
해가 없는 경우
연립부등식 $\begin{cases}x<-3\quad\cdots(ㄱ)\\x>2\quad\cdots(ㄴ)\end{cases}$에 대해 생각해 봅시다.
풀이
(ㄱ), (ㄴ)을 수직선 위에 나타내면 두 해의 공통부분이 없습니다.
따라서 연립부등식의 해는 없습니다.
따라서 다음과 같은 경우에는 각 연립부등식의 해에 공통부분이 없으므로 연립부등식의 해가 없습니다.
$\begin{cases}x\le a\\x\ge b\end{cases}\ (단,\ a< b)\cdots(1)$, $\begin{cases}x< a\\x> a\end{cases}\cdots(2)$, $\begin{cases}x< a\\x\ge a\end{cases}\cdots(3)$
설명
각 연립부등식의 영역을 수직선에 나타내 공통부분을 확인해보면, 다음과 같고, 따라서 해가 없음을 알 수 있습니다.
(1) $\begin{cases}x\le a\\x\ge b\end{cases}\cdots(1)$ (단, $a< b$)
(2) $\begin{cases}x< a\\x> a\end{cases}\cdots(2)$
(3) $\begin{cases}x< a\\x\ge a\end{cases}\cdots(3)$
연립일차부등식은 각 부등식을 먼저 풀고, 그 해를 하나의 수직선 위에 나타내어 공통부분을 찾는 것이 핵심입니다. $A< B< C$ 꼴은 $A< B$와 $B< C$로 나누어 생각해야 하며, 공통부분의 모양에 따라 해가 구간으로 나타나거나 하나의 값만 남을 수 있고, 공통부분이 없으면 해가 없습니다.