부정방정식 풀이

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부정방정식은 방정식만으로 해를 하나로 정하기 어려운 경우가 많기 때문에 미지수에 주어진 조건을 함께 이용하여 풀이합니다. 정수 조건이 주어지면 식을 두 일차식의 곱이 정수가 되는 형태로 변형하여 약수와 배수의 성질을 이용할 수 있고, 실수 조건이 주어지면 완전제곱식이나 판별식을 활용할 수 있습니다. 이번 글에서는 정수 조건과 실수 조건이 있는 부정방정식의 풀이 원리를 정리하고, 각 조건에 맞게 식을 변형하여 해를 구하는 과정을 예제를 통해 살펴보겠습니다.

부정방정식

일반적으로 방정식의 개수와 미지수의 개수는 같습니다. 그런데 방정식의 개수가 미지수의 개수보다 적을 때는 근이 무수히 많아서 그 근을 정할 수 없게 되는데 이러한 방정식을 부정방정식이라 합니다.

  • 부정방정식: 근이 무수히 많은 방정식. (미지수의 개수보다 방정식의 개수가 적을 때)
    • 정수조건 또는 실수 조건이 주어질 때 근이 확정 될 수 있음.

부정방정식의 풀이 방법

부정방정식에 정수 조건이 주어진 경우와 실수 조건이 주어진 경우의 기본적인 풀이 방법에 대해 정리해 봅시다.

정수 조건이 있을 때

정수조건이 있을 때 $(일차식)\times(일차식)=(정수)$로 변형하여 약수와 배수의 성질을 이용하여 부정방정식을 풀이할 수 있습니다.

  1. $(일차식)\times(일차식)=(정수)$의 꼴로 변형한 후 약수와 배수의 성질을 이용한다.
  2. 근과 계수의 관계를 이용하여 $(일차식)\times(일차식)=(정수)$의 꼴로 변형한 후 (1)을 이용해 부정방정식을 푼다.

방정식 $xy-x-y-2=0$을 만족시키는 정수 $x$, $y$의 값을 구해 봅시다.

풀이

$xy-x-y-2=0$에서 $x(y-1)-(y-1)=3$이고, $(x-1)(y-1)=3$입니다. $x$, $y$가 정수이므로 $x-1$, $y-1$도 정수이고 둘의 곱이 $3$인 경우는 다음과 같습니다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&(1)&(2)&(3)&(4)\\
\hline
\boxed{x-1} & 1 & 3 & -1 & -3\\
\hline
\boxed{y-1} & 3 & 1 & -3 & -1\\
\hline
\end{array}$

  1. $x-1=1$, $y-1=3$일 때, $x=2$, $y=4$
  2. $x-1=3$, $y-1=1$일 때, $x=4$, $y=2$
  3. $x-1=-1$, $y-1=-3$일 때, $x=0$, $y=-2$
  4. $x-1=-3$, $y-1=-1$일 때, $x=-2$, $y=0$

①~④에서 구하는 $x$, $y$의 값은 $\begin{cases}x=2\\y=4\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=4\\y=2\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=0\\y=-2\end{cases}$ 또는 $\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}$입니다.

이차방정식 $x^2+(m-1)x+m+1=0$의 두 근이 정수가 되도록 하는 실수 $m$의 값과 그때의 두 근을 구해봅시다.

풀이

이차방정식 $x^2+(m-1)x+m+1=0$의 두 근 $\alpha$, $\beta$에 대하여, 두 근이 정수이므로 $\alpha$, $\beta$는 정수입니다. 근과 계수의 관계에 의해 다음이 성립합니다.

  1. $\alpha+\beta=-(m-1)=1-m\cdots(1)$
  2. $\alpha\beta=m+1\cdots(2)$.

(1), (2)를 더하면 $\alpha\beta+\alpha+\beta=2$이고, $(일차식)\times(일차식)=(정수)$으로 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

  • $(\alpha+1)(\beta+1)=3$

$\alpha$, $\beta$가 정수이므로 $\alpha+1$, $\beta+1$도 정수이고, 두 정수의 곱이 $3$이 되는 경우를 정리하면 다음과 같습니다.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\hline
&(1)&(2)&(3)&(4)\\
\hline
\boxed{\alpha+1} & 1 & 3 & -1 & -3\\
\hline
\boxed{\beta+1} & 3 & 1 & -3 & -1\\
\hline
\end{array}$

따라서 두 근 $\alpha$, $\beta$는 다음 두 경우로 정리할 수 있습니다.

  1. $\alpha=0$, $\beta=2$인 경우
    근의 곱 $\alpha\beta=m+1$을 이용하면 $0\times2=m+1$, 따라서 $m=-1$
  2. $\alpha=2$, $\beta=0$인 경우는 1과 동일 $m=-1$
  3. $\alpha=-2$, $\beta=-4$인 경우
    근의 곱 $\alpha\beta=m+1$을 이용하면 $(-2)\times(-4)=m+1$, 따라서 $m=7$
  4. $\alpha=-4$, $\beta=-2인 경우는 3과 동일 $m=7$

따라서 구하는 값은 $m=-1\text{일 때 }x=0,\ 2$이고, $m=7\text{일 때 }x=-4,\ -2$ 입니다.

실수 조건이 있을 때

실수 조건이 있는 부정방정식은 $A^2+B^2=0$의 꼴로 변형하여 $A=0$, $B=0$을 이용하거나 판별식 $D\ge0$을 이용해 풀이할 수 있습니다.

  1. $A^2+B^2=0$의 꼴로 변형한 후 실수 $A$, $B$에 대하여 $A=0$, $B=0$임을 이용한다.
  2. 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 후 판별식 $D\ge0$임을 이용한다.
1 설명

실수의 제곱은 항상 $0$ 이상이므로, 실수 조건이 있는 부정방정식을 여러 항으로 이루어진 식을 완전제곱식의 합으로 바꾼 결과가 $A^2+B^2=0$라면 $A=0,\ B=0$을 이용해 풀 수 있습니다.

2 설명

한 문자에 대하여 이차방정식으로 정리했을 때 그 문자가 실수값을 가져야 하므로, 해당 이차방정식은 실근을 가져야 합니다. 따라서 판별식 $D$에 대하여 $D\ge0$ 이라는 조건을 이용할 수 있습니다.

방정식 $x^2-2xy+2y^2+2x+2=0$을 만족시키는 실수 $x$, $y$의 값을 구해 봅시다.

풀이

$x^2-2xy+2y^2+2x+2=0$의 좌변을 내림차순으로 정리하고 완전제곱식으로 변형하면 다음과 같습니다.

$x^2-2(y-1)x+2y^2+2=0$
$\l{x^2-2(y-1)x+{\color{red}(y-1)^2}\r}-{\color{red}(y-1)^2}+2y^2+2=0$
$\l{x-(y-1)\r}^2+(y^2+2y+1)=0$
$(x-y+1)^2+(y+1)^2=0\cdot(1)$

이때 $x$, $y$가 실수이므로 $A=x-y+1$, $B=y+1$도 실수이고 다음을 만족합니다.

  1. $A\ge0$, $B\ge0$
  2. (1)에 의해 $A^2+B^2=0$

따라서 $A=x-y+1=0$, $B=y+1=0$이므로 $x=-2$, $y=-1$입니다.

    다른 풀이

    주어진 방정식의 좌변을 $x$에 대하여 내림차순으로 정리한 식 $x^2-2(y-1)x+2y^2+2=0\cdots(1)$에 대하여 $x$가 실수이므로 이차방정식 (1)이 실근을 가져야 합니다. (1)의 판별식을 $D$에 대하여, $\dfrac{D}{4}\ge0$를 만족하는 $x$, $y$값을 구하면 충분합니다.

    $\dfrac{D}{4}=(y-1)^2-(2y^2+2)\ge0$
    $y^2+2y+1\le0$
    $(y+1)^2\le0\cdots(2)$

    이때 $y$가 실수이므로 $A=y+1$도 실수이므로 다음이 성립합니다.

    1. $A^2\ge0$
    2. (2)에 의해 $A^2\le0$

    따라서 $A=y+1=0$이고, y=-1$입니다. $y=-1$을 (1)에 대입하면 $x^2+4x+4=0$이고, $(x+2)^2=0$이므로 $x=-2$입니다.

    따라서 $x=-2$, $y=-1$입니다.

    부정방정식에서는 식 자체뿐 아니라 미지수에 주어진 조건을 어떻게 활용하느냐가 중요합니다. 정수 조건에서는 $(일차식)\times(일차식)=(정수)$의 꼴로 변형하여 가능한 약수의 경우를 조사하고, 근과 계수의 관계가 주어진 경우에도 같은 형태로 연결하여 풀이할 수 있습니다. 실수 조건에서는 완전제곱식의 합과 실수의 제곱이 $0$ 이상이라는 성질을 이용하거나, 한 문자에 대한 이차방정식으로 정리한 뒤 판별식 $D\ge0$을 이용할 수 있습니다. 따라서 문제에서 주어진 조건을 먼저 확인하고 그 조건에 알맞은 형태로 식을 변형하는 것이 부정방정식 풀이의 핵심입니다.