두 개 이상의 방정식이 같은 값을 해로 가질 때 그 값을 공통근이라고 합니다. 공통근을 구하는 가장 직접적인 방법은 각 방정식을 인수분해하여 공통으로 나타나는 근을 찾는 것이지만, 인수분해가 어렵거나 식의 구조가 복잡한 경우에는 두 방정식의 최고차항이나 상수항을 소거하여 공통근의 후보를 구할 수 있습니다. 이번 글에서는 공통근의 뜻과 기본적인 구하는 방법을 정리하고, 소거해서 얻은 방정식의 근과 실제 공통근 사이의 포함관계까지 함께 살펴보겠습니다.
공통근을 갖는 방정식
두 방정식 $(x+2)(x-3)=0$, $(x+2)(x-5)=0$에서 $x=-2$는 두 방정식을 동시에 만족시킨다. 이처럼 두 개 이상의 방정식을 동시에 만족시키는 미지수의 값을 공통근이라 합니다.
공통근 구하는 방법
두 방정식에서 공통근을 실제로 구하는 방법은 다음과 같습니다.
- 인수분해 이용: 두 방정식을 각각 인수분해하여 공통근을 찾는다.
- 최고차항 또는 상수항 소거
- 공통근을 $a$라 하고, $x=a$를 주어진 방정식에 대입한다.
- $a$에 대한 두 방정식의 최고차항 또는 상수항을 소거한다.
- 앞에서 얻은 방정식의 해 중에서 공통근 $a$를 구한다.
공통근과 소거한 방정식의 근
두 방정식 $f(x)=0$, $g(x)=0$해와 최고차항이나 상수항을 소거한 새로운 방정식 $h(x)=Af(x)+Bg(x)=0$ ($A\ne0$, $B\ne0$)의 해에 대하여 다음이 성립합니다.
- ($f(x)=0$, $g(x)=0$의 공통근)은 ($Af(x)+Bg(x)=0$의 근)에 포함된다.
- ($Af(x)+Bg(x)=0$의 근)이 항상 ($f(x)=0$, $g(x)=0$의 공통근)이 되는 것은 아니다.
- $Af(x)+Bg(x)=0$의 해 $x=\alpha$에 대해 $f(\alpha)=0$이면 $g(\alpha)=0$
(1) (2)의 관계는 포함관계로 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
$\boxed{공통근의\ 집합} \subseteq \boxed{소거된\ 방정식의\ 근의\ 집합}$
1 설명
$x=\alpha$가 두 방정식의 공통근이라면 $f(\alpha)=0$, $g(\alpha)=0$ 이므로 $Af(\alpha)+Bg(\alpha)=A\cdot0+B\cdot0=0$ 이 되어 $\alpha$는 $Af(x)+Bg(x)=0$의 근도 되기 때문입니다.
2 설명
두 이차방정식 $f(x)=x^2-x-6=0$, $g(x)=x^2-3x-10=0$에 대하여 $5f(x)-3g(x)=0$을 이용해 상수항을 소거하여 정리하면 $2x^2+4x=0$이고, $2x(x+2)=0$, $x=0$ 또는 $x=-2$입니다. 원래 두 방정식의 근은 각각
- $f(x)=0$의 근: $x=-2$또는 $x=3$
- $g(x)=0$의 근: $x=-2$또는 $x=5$
이므로 실제 공통근은 $x=-2$뿐입니다. 소거 과정에서 나온 $x=0$은 두 원래 방정식 어느 것의 근도 아닙니다.
3. 설명
$h(x)=Af(x)+Bg(x)$ ($A\ne0$, $B\ne0$)라고 두면, $h(x)=0$의 해 $x=\alpha$에 대하여 $\alpha$가 $f(x)=0$의 해이면, 다음이 성립합니다.
$g(x)=\dfrac{1}{B} \l(h(x)-Af(x)\r)$로 나타낼 수 있고 $g(\alpha)=\dfrac{1}{B} \l(h(\alpha)-Af(\alpha)\r)=0$을 만족합니다.
소거된 방정식의 근의 후보 $\alpha$가 원래 두 방정식 중 하나만 만족하는지 확인해도 충분함을 알 수 있습니다.
$x^2-x-6=0$, $x^2-3x-10=0$의 공통근을 세 가지 방법으로 구해 봅시다.
- 인수분해를 이용하는 방법
- 최고차항 소거
- 상수항 소거
1 인수분해
- $x^2-x-6=0$에서 $(x+2)(x-3)=0$이므로 $x=-2$ 또는 $x=3$
- $x^2-3x-10=0$에서 $(x+2)(x-5)=0$이므로 $x=-2$ 또는 $x=5$
따라서 공통근은 $x=-2$입니다.
2 최고차항 소거
공통근을 $a$라 두면 $a^2-a-6=0\quad\cdots$ (ㄱ) $a^2-3a-10=0\quad\cdots$ (ㄴ)을 만족하고, $(ㄱ)-(ㄴ)$을 하면 $2a+4=0$이고, $a=-2$입니다.
$a=-2$을 대입하면 준식을 모두 만족하므로 공통근이 됩니다.
3 상수항 소거
공통근을 $a$라 하면 $a^2-a-6=0\quad\cdots(ㄱ)$ $a^2-3a-10=0\quad\cdots(ㄴ)$을 만족하고$5\times(ㄱ)-3\times(ㄴ)$으로 상수항을 소거하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$2a^2+4a=0$이고, $2a(a+2)=0$, $a=0$ 또는 $a=-2$입니다. 그런데 $a=0$은 (ㄱ), (ㄴ)을 만족시키지 않으므로 $a=-2$입니다.
공통근을 구할 때에는 먼저 각 방정식을 직접 인수분해할 수 있는지 확인하는 것이 좋습니다. 인수분해가 어렵다면 공통근을 문자로 놓고 두 방정식의 최고차항이나 상수항을 소거하여 후보를 구할 수 있습니다. 이때 실제 공통근은 소거된 방정식의 근에 포함되지만, 소거된 방정식의 모든 근이 공통근이 되는 것은 아닙니다. 따라서 소거 과정에서 얻은 값을 원래 방정식 중 하나에 다시 대입하여 공통근인지 확인하는 과정이 필요합니다.