이차방정식의 근의 공식은 단순히 외워서 사용하는 공식이 아니라, 이차방정식을 $\boxed{\text{완전제곱식}}=\boxed{\text{상수}}$의 꼴로 변형한 뒤 제곱근 풀이를 적용하여 유도할 수 있습니다. 이 과정을 이해하면 근의 공식이 어떤 원리에서 만들어졌는지 자연스럽게 알 수 있고, 일차항의 계수가 짝수인 경우에는 계산을 더 간단하게 만든 짝수공식도 같은 원리로 설명할 수 있습니다. 이번 글에서는 일반적인 근의 공식을 완전제곱식 변형을 통해 유도하고, 이어서 짝수공식을 근의 공식에 직접 대입하는 방법과 완전제곱식을 이용하는 방법으로 각각 증명해 보겠습니다.
근의 공식 증명
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 근의공식은 다음과 같습니다.
- 근의 공식: $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
이 공식은 $a^2+bx+c=0$을 $\boxed{완전제곱식}=\boxed{상수}$꼴로 바꾸고 제곱근 풀이를 적용하는 과정을 거쳐 유도할 수 있습니다. 과정이 복잡하기 때문에 $2x^2+3x+1=0$을 함께 변형하면서 근의 공식을 증명을 정리해 보겠습니다.
$\boxed{완전제곱식}=\boxed{상수}$꼴로 변형
| $2x^2+6x+1=0$ | $ax^2+bx+c=0$ |
|---|---|
| $2x^2+6x=-1$ | $ax^2+bx=-c$ |
| $x^2+3x+\boxed{\strut\quad}$$=-\dfrac{1}{2}+\boxed{\strut\quad}$ | $x^2+\dfrac{b}{a}x+\boxed{\strut\quad}$$=-\dfrac{c}{a}+\boxed{\strut\quad}$ |
| $x^2+3x+\boxed{(\dfrac{3}{2})^2}$$=-\dfrac{1}{2}+\boxed{(\dfrac{3}{2})^2}$ | $x^2+\dfrac{b}{a}x+\boxed{(\dfrac{b}{2a})^2}$$=-\dfrac{c}{a}+\boxed{(\dfrac{b}{2a})^2}$ |
| $\left( x+\dfrac{3}{2} \right)^2$$=\dfrac{9-2}{4}$ | $\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2$$=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ |
제곱근 풀이를 이용해 정리
| $\left( x+\dfrac{3}{2} \right)^2$$=\dfrac{9-2}{4}$ | $\left( x+\dfrac{b}{2a} \right)^2$$=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$ |
|---|---|
| $x+\dfrac{3}{2}$$=\pm\sqrt{\dfrac{9-2}{4}}$ | $x+\dfrac{b}{2a}$$=\pm \sqrt{\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}}$ |
| $x+\dfrac{3}{2}$$=\pm\dfrac{\sqrt{9-2}}{2}$ | $x+\dfrac{b}{2a}$$=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{|2a|}$ |
| $x=-\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{\sqrt{9-2}}{2}$ | $x=-\dfrac{b}{2a}\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ |
| $x=\dfrac{-3\pm\sqrt{7}}{2}$ | $x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ |
켤레근의 성질
이차방정식의 두 근은 서로 독립적으로 나타나는 것이 아니라, 방정식의 계수와 근의 공식 구조에 따라 일정한 관계를 갖는 경우가 있습니다. 특히 계수가 유리수인 이차방정식에서 한 근이 $p+q\sqrt{m}$의 꼴이면 다른 한 근은 $p-q\sqrt{m}$의 꼴로 나타나고(중학교), 계수가 실수인 이차방정식에서 한 허근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$가 됩니다(고등학교).
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$에서
- $a$, $b$, $c$가 유리수일 때, 한 근이 $p+q\sqrt{m}$이면 다른 한 근은 $p-q\sqrt{m}$이다.
(단, $p$, $q$는 유리수, $q\ne0$, $\sqrt{m}$은 무리수) - $a$, $b$, $c$가 실수일 때, 한 근이 $p+qi$이면 다른 한 근은 $p-qi$이다.
(단, $p$, $q$는 실수, $q\ne0$, $i=\sqrt{-1}$)
▶ $q\ne0$일 때 $p+q\sqrt{m}$과 $p-q\sqrt{m}$, $p+qi$와 $p-qi$를 각각 켤레근이라 한다.
설명
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 두 근을 $\alpha$, $\beta$라 하고 판별식을 $D$라 하면 근의 공식에 의하여 다음과 같이 둘 수 있습니다.
- $\alpha=-\dfrac{b}{2a}+\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$, $\beta=-\dfrac{b}{2a}-\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$
- $a$, $b$, $c$가 유리수이고, $\sqrt{D}$가 무리수이면 두 근은 다음과 같은 꼴이고,
$\alpha=p+q\sqrt{m}$, $\beta=p-q\sqrt{m}$ 꼴이다.
(단, $p$, $q$는 유리수, $q\ne0$, $\sqrt{m}$은 무리수) - $a$, $b$, $c$가 실수이고, $\sqrt{D}$가 허수이면
$\alpha=p+qi$, $\beta=p-qi$ 꼴이다.
(단, $p$, $q$는 실수, $q\ne0$, $i=\sqrt{-1}$)
두 상황에 대한 간단한 예를 들면 다음과 같습니다.
- $a$, $b$, $c$가 유리수일 때, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 한 근이 $1+\sqrt{3}$이면 다른 한 근은 $1-\sqrt{3}$이다.
- $a$, $b$, $c$가 실수일 때, 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$의 한 근이 $2-i$이면 다른 한 근은 $2+i$이다.
짝수공식
일차항이 짝수인 이차방정식 $ax^2+2b’x+c=0\quad(a\ne0)$ 의 근의 공식은 다음과 같이 더 간단히 정리할 수 있습니다.
- $\boxed{x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}}$
이 공식을 두 가지 방법으로 증명해 정리해 봅시다.
근의 공식을 이용한 증명
일반적인 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$ 의 근의 공식은 아래와 같습니다.
- $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\cdots(1)$
(1)을 이용해 이차방정식 $ax^2+2b’x+c=0$에서 아래의 짝수공식이 성립함을 보여봅시다.
- $\boxed{x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}}$
증명
이차방정식 $ax^2+2b’x+c=0$의 일차항의 계수가 $2b’$이므로 (1)에 $b=2b’$를 대입해 정리해 봅시다.
$x=\dfrac{-2b’\pm\sqrt{(2b’)^2-4ac}}{2a}$
$=\dfrac{-2b’\pm\sqrt{4b’^2-4ac}}{2a}$
$=\dfrac{-2b’\pm\sqrt{4(b’^2-ac)}}{2a}$
$=\dfrac{-2b’\pm2\sqrt{b’^2-ac}}{2a}$
분자와 분모를 $2$로 나누어 정리하면 짝수공식을 얻을 수 있습니다.
$\boxed{x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}}$
완전제곱식을 이용한 증명
근의 공식을 사용하지 않고 이차방정식 $ax^2+2b’x+c=0$의 짝수공식을 유도해 봅시다.
- $\boxed{x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}}$
증명
근의 공식을 유도하는 과정과 동일하게 $ax^2+2b’x+c=0$의 양변을 $a$로 나누고 문자는 좌변 상수는 우변으로 이항하여 $\boxed{완전제곱식}=\boxed{상수}$ 꼴로 변형한 다음 제곱근풀이를 적용해 정리해 봅시다.
$\boxed{완전제곱식}=\boxed{상수}$변형
$x^2+\boxed{\dfrac{2b’}{a}}x=-\dfrac{c}{a}$ (이항)
좌변을 완전제곱식으로 만들기 위해 상수항에 $\boxed{일차항 계수}$의 절반의 제곱이 필요합니다.
$x^2+\dfrac{2b’}{a}x+\left(\dfrac{b’}{a}\right)^2
=-\dfrac{c}{a}+\left(\dfrac{b’}{a}\right)^2$
$\left(x+\dfrac{b’}{a}\right)^2
=\dfrac{b’^2-ac}{a^2}$
제곱근 풀이
$x+\dfrac{b’}{a}=\pm\dfrac{\sqrt{b’^2-ac}}{|a|}$
따라서 $\boxed{x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{b’^2-ac}}{a}}$입니다.
근의 공식은 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$을 완전제곱식의 형태로 바꾸고 제곱근 풀이를 적용하여 얻을 수 있으며, 짝수공식 역시 이 원리에서 자연스럽게 이어집니다. 특히 $ax^2+2b’x+c=0$처럼 일차항의 계수가 짝수인 경우에는 일반적인 근의 공식에 $b=2b’$를 대입하여 간단히 정리할 수도 있고, 처음부터 완전제곱식으로 변형하여 직접 유도할 수도 있습니다. 결국 짝수공식은 새로운 별개의 공식이 아니라 근의 공식의 구조를 간단하게 정리한 형태이므로, 유도 과정을 함께 이해해 두면 공식을 더 정확하고 안정적으로 사용할 수 있습니다.