가우스 기호는 실수를 일정한 정수 구간으로 나누어 나타내는 기호로, 가우스 $x$의 범위에 따라 기호의 값이 달라집니다. 따라서 가우스 방정식은 먼저 주어진 범위를 정수 단위로 나누고, 각 범위에서 가우스 기호의 값을 정한 뒤 방정식을 풀어야 합니다. 이번 글에서는 가우스 기호의 뜻과 값을 구하는 방법을 살펴보고, 이를 포함한 방정식을 범위별로 나누어 풀이하는 과정을 정리해 보겠습니다.
가우스 기호
실수 $x$에 대하여 $x$보다 크지 않은 최대의 정수를 $[x]$로 나타내는데, 이때 기호 $[\quad]$를 가우스 기호라 합니다. 정수 $n$에 대하여
- $[x]=n \Longleftrightarrow n\le x<n+1$
- $[x]$를 ‘가우스 $x$’라 읽는다.
개념을 다음에 적용해 봅시다.
- $[2.5]$, $[-1.6]$, $\left[\dfrac{1}{2}\right]$, $[1]$, $[2.5]$
설명
- $[2.5]$이면 $2.5$보다 크지 않은 정수는 $2$, $1$, $0$, $-1$, $-2$, $\cdots$이고 이 중에서 가장 큰 것은 $2$이므로 $[2.5]=2$ 입니다.
이 과정을 통해 $[x]$의 값은 수직선에서 $x$보다 작거나 같은 정수 중 최대 정수를 찾으면 됨을 알 수 있습니다.
따라서 나머지 가우스 기호의 값은 다음과 같습니다. $[-1.6]=-2$, $\left[\dfrac{1}{2}\right]=0$, $[1]=1$, $[2.5]=2$
가우스 방정식
$0<x<2$일 때, 방정식 $3x^2-2x=[x]$를 풀어봅시다. (단, $[x]$는 $x$보다 크지 않은 최대의 정수)
풀이
$[x]$의 값은 정수($n$)를 기준으로 값이 변하므로 아래와 같이 $0<x<2$의 범위를 가우스값이 일정한 구간으로 나누어 생각하는 것이 좋습니다.
- $[x]=0$인 범위 $0<x<1$
- $[x]=1인 범위 $1\le x <2$
⑴ $0<x<1$일 때, $[x]=0$이므로
$3x^2-2x=0$
$x(3x-2)=0$
$x=0$ 또는 $x=\dfrac{2}{3}$
그런데 $0<x<1$이므로 $x=\dfrac{2}{3}$.
⑵ $1\le x<2$일 때, $[x]=1$이므로
$3x^2-2x=1$
$3x^2-2x-1=0$
$(3x+1)(x-1)=0$
$x=-\dfrac{1}{3}$ 또는 $x=1$
그런데 $1\le x<2$이므로 $x=1$
⑴, ⑵에서 $x=\dfrac{2}{3}$ 또는 $x=1$
가우스 기호를 포함한 방정식은 $[x]$의 값이 일정하게 유지되는 정수 구간을 기준으로 범위를 나누는 것이 핵심입니다. 각 구간에서 $[x]$를 하나의 정수로 바꾸어 일반적인 방정식으로 풀이한 뒤, 구한 해가 처음에 정한 범위에 실제로 포함되는지 확인해야 합니다. 특히 $n\le x<n+1$이면 $[x]=n$이라는 기본 성질을 익혀 두면 복잡한 가우스 기호 방정식도 같은 원리로 정리할 수 있습니다.