이차방정식을 제대로 이해하려면 먼저 어떤 식을 이차방정식이라고 부르는지부터 정확히 구분해야 합니다. 겉으로 보기에 $x^2$이 포함되어 있더라도 식을 정리했을 때 이차항이 사라지면 이차방정식이 아니며, $\dfrac{1}{x}$처럼 다항식이 아닌 항이 포함된 식도 이차방정식으로 볼 수 없습니다. 이번 글에서는 이차방정식의 정의와 해의 의미를 정리하고, 주어진 식이 실제로 이차방정식인지 판단하는 방법을 살펴본 다음, 방정식 $ax^2+bx+c=0$에서 $a$의 값에 따라 어떻게 경우를 나누어 생각해야 하는지 정리해 보겠습니다.
이차방정식
이차방정식 정의
$x$에 대한 이차방정식이란 간단히 말해 이항을 통해 $(x에 대한 이차식)=0$ 꼴로 정리 할 수 있는 식입니다. 이를 수식으로 나타내면 아래와 같습니다.
- $x$에 대한 이차방정식 : $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$
개념 확인 문제
$2x^2+x-1=2x(x-3)$이 이차방정식인지 확인하여라.
풀이
$2x^2+x-1=2x(x-3)$
$2x^2+x-1=2x^2-6x$
$7x-1=0$
따라서 이차방정식이 아니다.
$\dfrac{1}{x}+3x-2=0$이 이차방정식인지 확인하여라.
풀이
- 잘못된 풀이
$\dfrac{1}{x}+3x-2=0$
$3x^2-2x+1=0$
따라서 준식은 이차방정식이다. (X) - 바른 풀이
$\;\dfrac{1}{x}+3x-2$는 다항식이 아니다.
($\because\;\dfrac{1}{x}$ : 숫자를 문자로 나눈 것은 항이 아니다.)
따라서 준식은 이차방정식이 아니다.
관련 개념 정리
- $ax^2+bx+c=0$ 이 이차방정식일 조건 : $a\neq0$
- 이차방정식의 해 : $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$이 참이 되게 하는 모든 $x$값
- $x=\alpha$가 $ax^2+bx+c=0 \; (a\neq0)$의 해 : $a\alpha^2+b\alpha+c=0$을 만족
- 이차방정식을 푼다 : 이차방정식의 해를 모두 구한다.
방정식 $ax^2+bx+c=0$
이차방정식 $ax^2+bx+c=0$라 함은 $a\ne0$이라는 뜻을 포함합니다. 따라서 일반적인 $ax^2+bx+c=0$의 방정식의 경우는 아래와 같이 경우를 나누어 풀이해야 합니다.
- 방정식 $ax^2+bx+c=0$의 풀이
- $a\ne0$일 때: 이차방정식 $ax^2+bx+c=0$을 풀이
- $a=0$일 때: 방정식 $bx+c=0$을 풀이
$x$에 대한 이차방정식은 식을 정리했을 때 $ax^2+bx+c=0$ $(a\ne0)$의 꼴이 되는 방정식입니다. 따라서 식에 처음부터 $x^2$이 포함되어 있는지만 확인할 것이 아니라, 모든 항을 한쪽으로 이항하고 정리한 뒤 실제로 이차식이 남는지를 확인해야 합니다. 또한 $ax^2+bx+c=0$이라는 표현이 단순한 방정식으로 주어진 경우에는 $a=0$의 가능성도 따로 생각해야 하므로, $a\ne0$이면 이차방정식으로, $a=0$이면 $bx+c=0$인 일차방정식으로 나누어 풀이하는 것이 중요합니다.