실수의 범위에서는 음수의 제곱근을 나타낼 수 없지만, 허수단위 $i$를 이용하면 $\sqrt{-a}$와 같은 수를 복소수의 범위에서 표현할 수 있습니다. 특히 $\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$와 같이 음수의 제곱근을 허수단위로 나타내는 방법을 이해하면, 음수의 제곱근이 포함된 곱셈과 나눗셈도 계산할 수 있습니다. 이번 글에서는 $-2$의 제곱근을 통해 음수의 제곱근의 의미를 살펴보고, $\sqrt{a}\sqrt{b}$와 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$의 계산에서 근호 안의 수의 부호에 따라 어떤 성질이 성립하는지 정리해 보겠습니다.
음수의 제곱근
-2의 제곱근
허수단위에서 $x^2=-1$을 만족하는 $x$값을 $-1$의 제곱근이라 하고, 기호로 $\pm \sqrt{-1}$로 나타내고, 이중에서 양의부호를 갖는 $\sqrt{-1}$을 허수단위로 정의했습니다. 이제 $-2$의 제곱근에 대해 살펴보기 위해 다음의 질문에 대해 생각해 봅시다.
$-2$의 제곱근도 부호가 다른 두 개가 존재하고 루트를 이용해 다음과 같이 표기하기로 약속합니다.(중학교 제곱근정의)
- $-2$의 제곱근의 표기방법
- $+$ 부호를 갖는 $-2$의 제곱근 기호: $\sqrt{-2}$
- $-$ 부호를 갖는 $-2$의 제곱근 기호: $-\sqrt{-2}$
위의 표기법에 등장한 기호와 허수단위($i$)를 이용해 확장한 복소수에서 찾아 1:1로 연결하는 작업이 필요합니다. $-2$의 두 제곱근이 다음과 같이 복소수와 연결됨을 설명해 봅시다.
- ($+$ 부호를 갖는 -2의 제곱근: $\sqrt{-2})=\sqrt{2}i$
- ($-$ 부호를 갖는 -2의 제곱근: $-\sqrt{-2})=-\sqrt{2}i$
설명
$\sqrt{2}i$, $-\sqrt{2}i$가 $x^2=-2$를 만족하는 해 임을 보이면 충분합니다.
- $\l(\sqrt{2}i\r)^2=(-i)^2\times \l(\sqrt{2}\r)^2=-2$
- $\l(-\sqrt{2}i\r)^2=(-i)^2\times \l(\sqrt{2}\r)^2=-2$
$\sqrt{2}i$, $-\sqrt{2}i$는 제곱하면 $-2$가 되는 수이고, 정의에 따른 표기법에 따라 이 두 수를 다음과 같이 표기할 수 있습니다.
- $+$ 부호를 갖는 -2의 제곱근: $\sqrt{-2}=\sqrt{2}i$
- $-$ 부호를 갖는 -2의 제곱근: $-\sqrt{-2}=-\sqrt{2}i$
음수의 제곱근
위의 사실을 통해 $a>0$에 대하여, $-a$의 제곱근은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
- $-a$의 제곱근: $\pm\sqrt{-a}=\pm \sqrt{a}i$
- $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$
- $-\sqrt{-a}=-\sqrt{a}i$
음수의 제곱근의 성질
$\sqrt{a}\sqrt{b}$ 계산
$a\ne0$, $b\ne0$인 경우에 대하여 $\sqrt{a}\sqrt{b}$를 계산한 결과는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
- $a>0$, $b>0$일 때 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
- $a>0$, $b<0$일 때 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ($a<0$, $b>0$도 동일)
- $a<0$, $b<0$일 때 $\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$
참고: $a=0$ 또는 $b=0$인 경우에는 위의 두식 $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, $\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$을 모두 만족합니다.
1은 중학교 3학년 제곱근의 연산에서 다루었습니다 여기서는 2, 3에 대해서만 다루도록 하겠습니다.
2 설명
$a>0$, $b<0$일 때
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{a}\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-b})}$
$=\sqrt{a}\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-b})}\ i=\sqrt{a(\bbox[#ffff00]{-b})}\ i\cdots(1)$
$=\sqrt{a(\bbox[#ffff00]{-b})(-1)}=\sqrt{ab}$
3 설명
$a<0$, $b<0$일 때
$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-a})}\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-b})}$
$=\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-a})}\ i \times \sqrt{(\bbox[#ffff00]{-b})}\ i=\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-a})(\bbox[#ffff00]{-b})}\ (i)^2\cdots(1)$
$=-\sqrt{ab}$
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 계산
$a\ne0$, $b\ne0$인 경우에 대하여 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$의 계산 결과는 다음과 같습니다.
- $a>0$, $b>0$이면 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
- $a>0$, $b<0$이면 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
- $a<0$, $b>0$이면 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
- $a<0$, $b<0$이면 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
참고: 분모 $b\ne0$이고 $a=0$ 인 경우에는 위의 두식 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$, $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}$을 모두 만족합니다.
1은 중학교 3학년 제곱근의 연산에서 다루었습니다 여기서는 2, 3, 4에 대해서만 다루도록 하겠습니다.
2 설명
$a>0$, $b<0$일 때
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-b})}}$$=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-b})}\ i}$
$=\sqrt{\dfrac{a}{\bbox[#ffff00]{-b}}}\ \dfrac{i}{i^2}\cdots(1)$
$=\sqrt{-\dfrac{a}{b}}\ (-i)=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
3 설명
$a<0$, $b>0$일 때
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-a})}}{\sqrt{b}}$
$=\dfrac{\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-a})}\ i}{\sqrt{b}}$$=\sqrt{\dfrac{\bbox[#ffff00]{-a}}{b}}\ i \cdots(1)$
$=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
4 설명
$a<0$, $b<0$일 때
$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-a})}}{\sqrt{-(\bbox[#ffff00]{-b}}}$
$=\dfrac{\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-a})}\ i}{\sqrt{(\bbox[#ffff00]{-b})}\ i}=\sqrt{\dfrac{(\bbox[#ffff00]{-a})}{(\bbox[#ffff00]{-b})}}\cdots (1)$
$=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
정리
- $\sqrt{a}\sqrt{b}$에 대하여
- $a>0$, $b<0$일 때 $\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$$
- 그 밖의 경우: $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$$
- $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (단, $b\ne0$
- $a>0$, $b<0$일 때 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
- 그 밖의 경우: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$
추가
- $\sqrt{a}\sqrt{b}=-\sqrt{ab}$이면 $a<0$, $b<0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$
- $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=-\sqrt{\dfrac{a}{b}}$, ($b\ne0$) 이면 $a>0$, $b<0$ 또는 $a=0$
1 설명
$a$, $b$ 모든 부호 조합에 대한 결과를 생각하면 결론을 내릴 수 있습니다.
- $a$, $b$ 둘중 하나가 되면 이식은 당연히 만족합니다.
- $a\ne0$, $b\ne0$인 모든 경우는 위에서 증명을 통해 $a<0$, $b<0$일 때만 성립함을 알 수 있습니다.
$a$, $b$의 모든 조합을 고려했으므로, 위의 식을 만족하면, $a<0$, $b<0$ 또는 $a=0$ 또는 $b=0$ 입니다.
2 설명
분모 $b\ne0$을 제외한 $a$, $b$ 모든 부호 조합에 대한 결과를 생각하면 결론을 내릴 수 있습니다.
- $a=0$이면 당연히 성립하게 됩니다.
- $a\ne0$, $b\ne0$인 모든 경우는 위에서 증명을 통해 $a>0$, $b<0$일 때만 성립함을 알 수 있습니다.
$a$, $b$의 모든 조합을 고려했으므로, 위의 식을 만족하면, $a>0$, $b<0$ 또는 $a=0$ 입니다.
$\sqrt{-3}\sqrt{-2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{-5}}$의 값을 계산해 봅시다.
설명
(1) $\sqrt{-3}\sqrt{-2}=\sqrt{3}i\times\sqrt{2}i=\sqrt{6}i^2=-\sqrt{6}$
- 주의 $\sqrt{-3}\sqrt{-2}\ne\sqrt{(-3)\times(-2)}$
(2) $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{-5}}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}i}=\dfrac{\sqrt{2}i}{\sqrt{5}i^2}=-\sqrt{\dfrac{2}{5}}i=-\sqrt{-\dfrac{2}{5}}$
음수의 제곱근은 허수단위 $i$를 이용하여 $\sqrt{-a}=\sqrt{a}i$의 꼴로 나타낼 수 있습니다. 이를 이용하면 음수의 제곱근이 포함된 곱셈과 나눗셈도 계산할 수 있지만, 실수 범위에서 사용하던 제곱근의 곱셈과 나눗셈 성질을 항상 그대로 적용할 수 있는 것은 아닙니다. 특히 $\sqrt{a}\sqrt{b}$와 $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$를 계산할 때에는 $a$, $b$의 부호를 먼저 확인하고, 필요한 경우 허수단위 $i$를 이용해 음수의 제곱근을 바꾸어 계산하는 것이 중요합니다. 이러한 부호에 따른 계산 원리를 정확히 이해해 두면 이후 복소수와 이차방정식의 계산에서도 혼동을 줄일 수 있습니다.