절댓값 방정식

절댓값 기호 안의 식의 값이 $0$이 되는 ($x-1=0$) $x$의 값은 $x=1$을 기준으로 $x$값이 변화할 때 절댓값의 부호가 바뀌기 때문에 이를 기준으로 다음과 같이 나누어 풀이하여야 합니다.

1. $x<1$일 때, $x-1<0$이므로 $|x-1|=-(x-1)$로 계산하여 정리하면, $-(x-1)=2x+7$이고 $x=-2$
   입니다. 마지막으로 구한 해($x=-2$)가 $x<1$의 범위를 만족하므로 $x=-2$는 해가 됩니다.
2. $x\ge1$일 때, $x-1\ge0$이므로 $|x-1|=(x-1)$로 계산하여 정리하면 $x-1=2x+7$이고 $x=-8$ 입니다. 그런데 $x\ge1$이므로 $x=-8$은 해가 아니다.

⑴, ⑵에서 해는 $x=-2$입니다.

절댓값안이 0이 되는 값이 $x=0$ 이므로 $\boxed{x<0}\ | \ \boxed{x\ge0}$로 나누어 풀면 됩니다.

1. $x<0$일 때 (준식)은 $x^2-2x-5=0$이 되고, 이를 풀면 $x=1\pm\sqrt{6}$입니다. 주어진 범위 $x<0$를 만족하는 해는 $x=1-\sqrt{6}$입니다.
2. $x\ge0$일 때 (준식)은 $x^2+2x-5=0$이 되고, 이를 풀면 $x=-1\pm\sqrt{6}$입니다. 주어진 범위 $x\ge0$를 만족하는 해는 $x=-1+\sqrt{6}$입니다.

따라서 $x=1-\sqrt{6}$또는 $x=-1+\sqrt{6}$ 입니다.

$x^2=\l| x \r|^2$이므로 $|x|=X$로 치환하여 정리하면 다음과 같은 이차방정식을 얻을 수 있습니다.

• $X^2+2X-5=0$, 해는 $X=-1\pm\sqrt{6}$

$X\ge0$이므로 $X=-1+\sqrt{6}$만 근이되고, $X=|x|$이므로, $|x|=-1+\sqrt{6}$, $x=\pm(-1+\sqrt{6})$입니다.

따라서 $x=1-\sqrt{6}$또는 $x=-1+\sqrt{6}$ 입니다.

$\sqrt{x^2}=|x|$이므로 $(준식)=|x-2|+1=x^2-|x|$로 고쳐서 풀 수 있습니다.

$|x|$, $|x-2|$의 부호가 바뀌는 기준은 각각 $x=0$, $x=2$이고, 범위를 다음과 같이 나누어 풀면 됩니다.

$\boxed{x<0}\ | \ \boxed{0\le x \le 2}\ | \ \boxed{x\ge2}$

1. $x<0$이면, $|x-2|+1=x^2-|x|$는 $-x+2+1=x^2-(-x)$이고 정리하여 해를 구하면
   $x^2+2x-3=0$,\ $(x+3)(x-1)=0$,\ $x=-3$ 또는 $x=1$
   $x<0$을 만족하는 해는 $x=-3$ 입니다.
2. $0\le x<2$이면, $-x+2+1=x^2-x$이고 정리하여 해를 구하면
   $x^2=3$, $x=\pm\sqrt{3}$이고, $0\le x<2$를 만족하는 해는 $x=\sqrt{3}$입니다.
3. $x\ge2$이면, $x-2+1=x^2-x$이고 정리하여 해를 구하면,
   $x^2-2x+1=0$, $(x-1)^2=0$, $x=1$(중근)이고, $x\ge2$를 만족하는 해는 없습니다.

따라서 주어진 방정식의 해는 $x=-3$, $x=\sqrt{3}$입니다.